Matrices et Déterminants
Comprendre le calcul des matrices et déterminants
Considérez la matrice \( A \) suivante :
\[ A = \begin{pmatrix}
4 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -4 \\
2 & 1 & 8
\end{pmatrix} \]
1. Calculez le déterminant de la matrice \( A \).
2. Trouvez l’inverse de la matrice \( A \), si elle existe.
3. Considérez le système d’équations linéaires suivant, où \( X \) est la matrice des inconnues :
\[ A \cdot X = B \]
avec
\[ B = \begin{pmatrix}
12 \\
-25 \\
32
\end{pmatrix} \]
Résolvez pour \( X \) en utilisant la matrice inverse de \( A \), si possible.
4. Interprétez le résultat du point 3 en termes d’applications possibles en génie civil.
Correction : matrices et déterminants
1. Calcul du déterminant de la matrice \(A\)
Le déterminant se calcule par développement selon la première ligne :
\[ \det(A)=4\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 11 \\ -4 & 8\end{pmatrix} – 3\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 11 \\ -1 & 8\end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 6 \\ -1 & -4\end{pmatrix}. \]
Calcul des mineurs :
- Pour le premier mineur :
\[ \det\begin{pmatrix}6 & 11 \\ -4 & 8\end{pmatrix} = 6\cdot8 – (-4)\cdot11 \] \[ = 48 + 44 \] \[ = 92. \]
- Pour le deuxième mineur :
\[ \det\begin{pmatrix}-2 & 11 \\ -1 & 8\end{pmatrix} = (-2)\cdot8 – (-1)\cdot11 \] \[ = -16 + 11 \] \[ = -5. \]
- Pour le troisième mineur :
\[ \det\begin{pmatrix}-2 & 6 \\ -1 & -4\end{pmatrix} = (-2)\cdot(-4) – (-1)\cdot6 \] \[ = 8 + 6 \] \[ = 14. \]
Substitution dans la formule :
\[ \det(A) =4\cdot92 – 3\cdot(-5) + 2\cdot14 \] \[ \det(A) = 368 + 15 + 28 \] \[ \det(A) = 411. \]
Conclusion :
Le déterminant de la matrice A est 411.
2. Calcul de l’inverse de la matrice \(A\)
L’inverse de \(A\) s’exprime par :
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\, \text{adj}(A), \]
où l’adjointe \(\text{adj}(A)\) est la transposée de la matrice des cofacteurs.
Étape 2.1 : Calcul des cofacteurs
Pour chaque élément \(a_{ij}\) de \(A\), le cofacteur \(C_{ij}\) est donné par :
\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}), \]
avec \(M_{ij}\) le mineur obtenu en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\).
- \(C_{11}\) :
\[ M_{11} = \begin{pmatrix}6 & 11 \\ -4 & 8\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{11}) = 92 \]
\[ \Rightarrow C_{11} = +92 \]
- \(C_{12}\) :
\[ M_{12} = \begin{pmatrix}-2 & 11 \\ -1 & 8\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{12}) = -5 \]
\[ \Rightarrow C_{12} = -(-5) = +5 \].
- \(C_{13}\) :
\[ M_{13} = \begin{pmatrix}-2 & 6 \\ -1 & -4\end{pmatrix}\]
\[\det(M_{13}) = 14\]
\[\Rightarrow C_{13} = +14\]
- \(C_{21}\) :
\[ M_{21} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ -4 & 8\end{pmatrix}\]
\[\det(M_{21}) = 3\cdot8 – (-4)\cdot2 \] \[\det(M_{21})= 24 + 8 = 32\]
\(\Rightarrow C_{21} = -32\) (car \((-1)^{2+1} = -1\)).
- \(C_{22}\) :
\[ M_{22} = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -1 & 8\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{22}) = 4\cdot8 – (-1)\cdot2 \] \[ \det(M_{22}) = 32 + 2 = 34 \]
\[ \Rightarrow C_{22} = +34 \]
- \(C_{23}\) :
\[ M_{23} = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ -1 & -4\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{23}) = 4\cdot(-4) – (-1)\cdot3 \] \[ \det(M_{23}) = -16 + 3 = -13 \]
\[ \Rightarrow C_{23} = -(-13) = +13 \]
- \(C_{31}\) :
\[ M_{31} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 6 & 11\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{31}) = 3\cdot11 – 6\cdot2 \] \[ \det(M_{31}) = 33 – 12 = 21 \]
\[ \Rightarrow C_{31} = +21 \]
- \(C_{32}\) :
\[ M_{32} = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -2 & 11\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{32}) = 4\cdot11 – (-2)\cdot2 = 44 + 4 = 48 \]
\(\Rightarrow C_{32} = -48\) (car \((-1)^{3+2} = -1\)).
- \(C_{33}\) :
\[ M_{33} = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ -2 & 6\end{pmatrix} \]
\[ \det(M_{33}) = 4\cdot6 – (-2)\cdot3 \] \[ \det(M_{33}) = 24 + 6 = 30 \]
\[ \Rightarrow C_{33} = +30 \]
La matrice des cofacteurs est donc :
\[ \begin{pmatrix}
92 & 5 & 14 \\
-32 & 34 & 13 \\
21 & -48 & 30
\end{pmatrix}. \]
Étape 2.2 : Calcul de l’adjointe
L’adjointe est la transposée de la matrice des cofacteurs :
\[ \text{adj}(A)=\begin{pmatrix}
92 & -32 & 21 \\
5 & 34 & -48 \\
14 & 13 & 30
\end{pmatrix}. \]
Étape 2.3 : Expression de l’inverse
On a alors :
\[ A^{-1} = \frac{1}{411}\begin{pmatrix}
92 & -32 & 21 \\
5 & 34 & -48 \\
14 & 13 & 30
\end{pmatrix}. \]
3. Résolution du système \(A\cdot X = B\)
On considère le système où la matrice \(B\) est donnée par :
\[ B=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 5 \\
3 & 2
\end{pmatrix}. \]
Étape 3.1 : Formule de résolution
Si \(A\) est inversible, la solution s’obtient par :
\[ X = A^{-1}\cdot B. \]
Étape 3.2 : Calcul de \(X\)
Nous avons déjà :
\[ A^{-1}=\frac{1}{411}\begin{pmatrix}
92 & -32 & 21 \\
5 & 34 & -48 \\
14 & 13 & 30
\end{pmatrix}. \]
On calcule le produit \(M = \text{adj}(A)\cdot B\) :
1. Première ligne de \(M\) :
- Élément (1,1) :
\[ = 92\cdot1 + (-32)\cdot(-2) + 21\cdot3 \] \[ = 92 + 64 + 63 \] \[ = 219. \]
- Élément (1,2) :
\[ = 92\cdot2 + (-32)\cdot5 + 21\cdot2 \] \[ = 184 – 160 + 42 \] \[ = 66. \]
2. Deuxième ligne de \(M\) :
- Élément (2,1) :
\[ = 5\cdot1 + 34\cdot(-2) + (-48)\cdot3 \] \[ = 5 – 68 – 144 \] \[ = -207. \]
- Élément (2,2) :
\[ = 5\cdot2 + 34\cdot5 + (-48)\cdot2 \] \[ = 10 + 170 – 96 \] \[ = 84. \]
3. Troisième ligne de \(M\) :
- Élément (3,1) :
\[ = 14\cdot1 + 13\cdot(-2) + 30\cdot3 \] \[ = 14 – 26 + 90 \] \[ = 78. \]
- Élément (3,2) :
\[ = 14\cdot2 + 13\cdot5 + 30\cdot2 \] \[= 28 + 65 + 60 \] \[ = 153. \]
On obtient :
\[ M=\begin{pmatrix}
219 & 66 \\
-207 & 84 \\
78 & 153
\end{pmatrix}. \]
Ainsi,
\[ X = \frac{1}{411}\begin{pmatrix}
219 & 66 \\
-207 & 84 \\
78 & 153
\end{pmatrix}. \]
Étape 3.3 : Simplification des fractions
On peut simplifier chaque coefficient en divisant numérateur et dénominateur par 3 (puisque \(411=3\times137\)) :
- \(219/411 = (219\div3)/(411\div3)=73/137\)
- \(66/411 = 22/137\)
- \(-207/411 = -69/137\)
- \(84/411 = 28/137\)
- \(78/411 = 26/137\)
- \(153/411 = 51/137\)
La solution s’écrit donc :
\[ X=\begin{pmatrix}
\frac{73}{137} & \frac{22}{137} \\
-\frac{69}{137} & \frac{28}{137} \\
\frac{26}{137} & \frac{51}{137}
\end{pmatrix}. \]
4. Interprétation en génie civil
La résolution du système \(A\cdot X = B\) permet de déterminer la matrice \(X\) des inconnues. En génie civil, de tels systèmes interviennent souvent dans l’analyse des structures. Par exemple :
- Analyse de structures :
La matrice \(A\) peut représenter les coefficients d’un système d’équations modélisant l’équilibre des forces dans une structure (poutres, trémies ou cadres). La solution \(X\) fournit les valeurs inconnues, telles que les déplacements ou les forces internes, permettant d’évaluer la stabilité et la résistance de la structure. - Méthode des éléments finis :
Dans la modélisation numérique, les matrices et leurs inverses sont utilisées pour calculer les déplacements nodaux et les contraintes dans des réseaux de structures. Ainsi, le calcul de \(A^{-1}\) et la résolution de \(A\cdot X = B\) facilitent l’optimisation et la vérification de la sécurité des constructions.
En résumé, la démarche analytique présentée ici est essentielle pour résoudre des problèmes pratiques en génie civil, où l’évaluation des forces et des déformations est primordiale pour garantir la fiabilité des ouvrages.
Matrices et déterminants
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