Machine Thermique à Cycle de Carnot
Comprendre la Machine Thermique à Cycle de Carnot
Vous travaillez en tant qu’ingénieur en thermodynamique dans une entreprise de développement de systèmes énergétiques.
Votre tâche est de concevoir une machine thermique opérant selon un cycle de Carnot, utilisée pour générer de l’électricité.
L’objectif est d’analyser l’efficacité et la puissance de sortie de cette machine.
Données:
- La source chaude de la machine thermique est à une température \( T_{\text{chaud}} = 600 \, \text{K} \).
- La source froide, à laquelle la chaleur est rejetée, est à \( T_{\text{froid}} = 300 \, \text{K} \).
- La machine absorbe \( Q_{\text{chaud}} = 1500 \, \text{J} \) de chaleur de la source chaude à chaque cycle.
Partie A – Calcul de l’Efficiacité du Cycle de Carnot
1. Calculez l’efficacité théorique du cycle de Carnot.
2. Déterminez la quantité de chaleur \( Q_{\text{froid}} \) rejetée à la source froide par cycle.
Partie B – Analyse de la Puissance de Sortie
1. Si la machine effectue 50 cycles par seconde, calculez la puissance de sortie de la machine.
2. Discutez comment des variations de \( T_{\text{chaud}} \) et \( T_{\text{froid}} \) pourraient affecter la puissance et l’efficacité de la machine.
Correction : Machine Thermique à Cycle de Carnot
Partie A – Calcul de l’Efficiacité du Cycle de Carnot
1. Calcul de l’efficacité théorique du cycle de Carnot
L’efficacité d’un cycle de Carnot est donnée par la formule :
\[ \eta = 1 – \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} \]
En insérant les valeurs données :
- \( T_{\text{chaud}} = 600 \, \text{K} \)
- \( T_{\text{froid}} = 300 \, \text{K} \)
Nous avons :
\[ \eta = 1 – \frac{300}{600} \] \[ \eta = 1 – 0.5 = 0.5 \]
Donc, l’efficacité du cycle de Carnot est de 50%.
2. Détermination de la quantité de chaleur \(Q_{\text{froid}}\) rejetée
La quantité de chaleur rejetée à la source froide par cycle est :
\[ Q_{\text{froid}} = Q_{\text{chaud}} \times (1 – \eta) \]
En utilisant
- \(Q_{\text{chaud}} = 1500 \, \text{J}\)
- \(\eta = 0.5\).
\[ Q_{\text{froid}} = 1500 \times (1 – 0.5) \] \[ Q_{\text{froid}} = 1500 \times 0.5 \] \[ Q_{\text{froid}} = 750 \, \text{J} \]
Partie B – Analyse de la Puissance de Sortie
1. Calcul de la puissance de sortie
La puissance de sortie est donnée par :
\[ P = \text{travail net par cycle} \times \text{nombre de cycles par seconde} \]
Le travail net par cycle est :
\[ W = Q_{\text{chaud}} – Q_{\text{froid}} \]
En utilisant les valeurs de
- \(Q_{\text{chaud}} = 1500 \, \text{J}\)
- \(Q_{\text{froid}} = 750 \, \text{J}\),
nous trouvons :
\[ W = 1500 – 750 \] \[ W = 750 \, \text{J} \]
Si la machine effectue 50 cycles par seconde, alors :
\[ P = 750 \times 50 \] \[ P = 37500 \, \text{J/s} \] \[ P = 37.5 \, \text{kW} \]
2. Discussion sur les effets de la variation de \(T_{\text{chaud}}\) et \(T_{\text{froid}}\)
- Si \(T_{\text{chaud}}\) augmente, l’efficacité \(\eta\) augmente, car la différence de température entre les sources chaude et froide devient plus grande.
Cela signifie que pour chaque unité de chaleur absorbée, plus de travail peut être converti.
- Si \(T_{\text{froid}}\) augmente, l’efficacité \(\eta\) diminue, car la capacité du cycle à convertir la chaleur en travail est réduite.
- La puissance \(P\) dépend de la quantité de travail net \(W\) produit par cycle et du nombre de cycles par seconde.
Toute augmentation de l’efficacité ou du travail net par cycle peut conduire à une augmentation de la puissance de sortie.
Machine Thermique à Cycle de Carnot
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