Études de cas pratique

EGC

Loi des Mailles et Loi d’Ohm

Loi des Mailles et Loi d’Ohm

Loi des Mailles et Loi d’Ohm

Comprendre la Loi des Mailles et la Loi d’Ohm

La loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) sont des fondements de l'analyse des circuits électriques. La loi d'Ohm (\(U = RI\)) établit une relation entre la tension (\(U\)) aux bornes d'une résistance (\(R\)) et le courant (\(I\)) qui la traverse. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Ces lois permettent de déterminer les courants et les tensions en divers points d'un circuit, ainsi que les résistances équivalentes de groupements de résistances en série ou en parallèle. L'application correcte de ces lois est essentielle pour la conception, l'analyse et le dépannage des circuits électriques.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique simple suivant, alimenté par une source de tension continue.

Caractéristiques du circuit :

  • Tension de la source (\(E\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(6 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(12 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(3 \, \Omega\)
  • Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont montées en parallèle. Ce groupement parallèle est en série avec \(R_1\) et \(R_4\).
Schéma du Circuit Électrique
E 24V + - R1 (4Ω) A R2 (6Ω) R3 (12Ω) B R4 (3Ω) It I2 I3 Circuit Électrique avec Résistances en Série et Parallèle

Schéma du circuit électrique étudié.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{23}\)) du groupement parallèle des résistances \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit vue par la source.
  3. Calculer le courant total (\(I_t\)) débité par la source.
  4. Calculer la tension (\(U_{AB}\)) aux bornes du groupement parallèle (entre les points A et B).
  5. Calculer les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
  6. Vérifier la loi des nœuds au point A (ou B).
  7. Calculer la tension (\(U_{R1}\)) aux bornes de \(R_1\) et la tension (\(U_{R4}\)) aux bornes de \(R_4\).
  8. Vérifier la loi des mailles pour la maille extérieure (passant par E, \(R_1\), \(R_2\) (ou \(R_3\)), et \(R_4\)).
  9. Calculer la puissance totale (\(P_t\)) fournie par la source.
  10. Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1, P_2, P_3, P_4\)) et vérifier que leur somme est égale à \(P_t\).

Correction : Loi des Mailles et Loi d’Ohm

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{23}\)) du groupement parallèle

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{23}\) est donnée par \(\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\), ou \(R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 6 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 12 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{6 \, \Omega \times 12 \, \Omega}{6 \, \Omega + 12 \, \Omega} \\ &= \frac{72 \, \Omega^2}{18 \, \Omega} \\ &= 4 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle \(R_2\) et \(R_3\) est \(R_{23} = 4 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit

Principe :

La résistance totale équivalente est la somme des résistances en série : \(R_1\), \(R_{23}\), et \(R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(R_{23} = 4 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 3 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 4 \, \Omega + 4 \, \Omega + 3 \, \Omega \\ &= 11 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 11 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_t\)) débité par la source

Principe :

Le courant total est donné par la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : \(I_t = E / R_{\text{eq}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_t = \frac{E}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • Tension de la source (\(E\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) : \(11 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_t &= \frac{24 \, \text{V}}{11 \, \Omega} \\ &\approx 2.1818 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total débité par la source est \(I_t \approx 2.182 \, \text{A}\).

Question 4 : Tension (\(U_{AB}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension \(U_{AB}\) aux bornes du groupement parallèle (\(R_{23}\)) est donnée par la loi d'Ohm : \(U_{AB} = R_{23} \cdot I_t\), car le courant total \(I_t\) traverse ce groupement équivalent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{AB} = R_{23} \cdot I_t\]
Données spécifiques :
  • \(R_{23} = 4 \, \Omega\)
  • \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_{AB} &= 4 \, \Omega \times 2.1818 \, \text{A} \\ &\approx 8.7272 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(U_{AB} \approx 8.727 \, \text{V}\).

Question 5 : Courants \(I_2\) et \(I_3\)

Principe :

Les courants dans les branches parallèles \(R_2\) et \(R_3\) peuvent être calculés en utilisant la loi d'Ohm, car la tension \(U_{AB}\) est appliquée à chacune d'elles : \(I_2 = U_{AB} / R_2\) et \(I_3 = U_{AB} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{U_{AB}}{R_2}\] \[I_3 = \frac{U_{AB}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(U_{AB} \approx 8.7272 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 6 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 12 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{8.7272 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \approx 1.4545 \, \text{A} \\ I_3 &= \frac{8.7272 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \approx 0.72727 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les courants sont \(I_2 \approx 1.455 \, \text{A}\) et \(I_3 \approx 0.727 \, \text{A}\).

Question 6 : Vérification de la loi des nœuds au point A

Principe :

La loi des nœuds stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Au nœud A, \(I_t\) entre et \(I_2\) et \(I_3\) sortent. Donc, \(I_t = I_2 + I_3\).

Données spécifiques :
  • \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\)
  • \(I_2 \approx 1.4545 \, \text{A}\)
  • \(I_3 \approx 0.72727 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &\approx 1.4545 \, \text{A} + 0.72727 \, \text{A} \\ &\approx 2.18177 \, \text{A} \end{aligned} \]

Cette valeur est très proche de \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\). Les petites différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 6 : La loi des nœuds est vérifiée au point A (\(I_t \approx I_2 + I_3\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(R_2\) était égale à \(R_3\), comment se répartiraient les courants \(I_2\) et \(I_3\) ?

Question 7 : Tensions \(U_{R1}\) et \(U_{R4}\)

Principe :

Le courant total \(I_t\) traverse les résistances \(R_1\) et \(R_4\). On utilise la loi d'Ohm.

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{R1} = R_1 \cdot I_t\] \[U_{R4} = R_4 \cdot I_t\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 3 \, \Omega\)
  • \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_{R1} &= 4 \, \Omega \times 2.1818 \, \text{A} \approx 8.7272 \, \text{V} \\ U_{R4} &= 3 \, \Omega \times 2.1818 \, \text{A} \approx 6.5454 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Les tensions sont \(U_{R1} \approx 8.727 \, \text{V}\) et \(U_{R4} \approx 6.545 \, \text{V}\).

Question 8 : Vérification de la loi des mailles

Principe :

Pour la maille extérieure passant par E, \(R_1\), \(R_2\), \(R_4\) (et retour à E), la somme algébrique des tensions doit être nulle : \(E - U_{R1} - U_{AB} - U_{R4} = 0\) (en considérant \(U_{AB}\) comme la tension aux bornes de \(R_2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E - U_{R1} - U_{AB} - U_{R4} = 0\]
Données spécifiques :
  • \(E = 24 \, \text{V}\)
  • \(U_{R1} \approx 8.7272 \, \text{V}\)
  • \(U_{AB} \approx 8.7272 \, \text{V}\) (tension aux bornes de \(R_2\))
  • \(U_{R4} \approx 6.5454 \, \text{V}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} \text{Somme des tensions} &= 24 \, \text{V} - 8.7272 \, \text{V} - 8.7272 \, \text{V} - 6.5454 \, \text{V} \\ &= 24 - 23.9998 \, \text{V} \\ &\approx 0.0002 \, \text{V} \end{aligned} \]

La somme est très proche de zéro, confirmant la loi des mailles (les écarts sont dus aux arrondis).

Résultat Question 8 : La loi des mailles est vérifiée pour la maille extérieure.

Question 9 : Puissance totale (\(P_t\)) fournie par la source

Principe :

La puissance fournie par une source de tension continue est \(P_t = E \cdot I_t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_t = E \cdot I_t\]
Données spécifiques :
  • \(E = 24 \, \text{V}\)
  • \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_t &= 24 \, \text{V} \times 2.1818 \, \text{A} \\ &\approx 52.3632 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La puissance totale fournie par la source est \(P_t \approx 52.36 \, \text{W}\).

Question 10 : Puissances dissipées et vérification

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est \(P_R = R I^2 = U I = U^2/R\). La somme des puissances dissipées par toutes les résistances doit être égale à la puissance totale fournie par la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 = R_1 I_t^2\] \[P_2 = R_2 I_2^2\] \[P_3 = R_3 I_3^2\] \[P_4 = R_4 I_t^2\] \[\sum P_i = P_t\]
Données spécifiques :
  • \(R_1=4\Omega, R_2=6\Omega, R_3=12\Omega, R_4=3\Omega\)
  • \(I_t \approx 2.1818 \, \text{A}\)
  • \(I_2 \approx 1.4545 \, \text{A}\)
  • \(I_3 \approx 0.72727 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= 4 \times (2.1818)^2 \approx 4 \times 4.7602 \approx 19.0408 \, \text{W} \\ P_2 &= 6 \times (1.4545)^2 \approx 6 \times 2.1155 \approx 12.693 \, \text{W} \\ P_3 &= 12 \times (0.72727)^2 \approx 12 \times 0.52893 \approx 6.347 \, \text{W} \\ P_4 &= 3 \times (2.1818)^2 \approx 3 \times 4.7602 \approx 14.2806 \, \text{W} \\ \sum P_i &\approx 19.0408 + 12.693 + 6.347 + 14.2806 \\ &\approx 52.3614 \, \text{W} \end{aligned} \]

Cette somme est très proche de \(P_t \approx 52.3632 \, \text{W}\). Les petites différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 10 : La somme des puissances dissipées (\(\approx 52.36 \, \text{W}\)) est égale à la puissance fournie par la source.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi d'Ohm stipule que :

2. Dans un groupement de résistances en parallèle, la grandeur qui est la même aux bornes de chaque résistance est :

3. La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de la conservation de :

Glossaire

Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité qui lie la tension (\(U\)) aux bornes d'un conducteur ohmique à l'intensité du courant (\(I\)) qui le traverse et à sa résistance (\(R\)) : \(U = RI\).
Loi des Mailles (Loi de Kirchhoff pour les tensions)
Dans toute boucle fermée (maille) d'un circuit électrique, la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) est nulle.
Loi des Nœuds (Loi de Kirchhoff pour les courants)
En tout point d'un circuit où des conducteurs se rencontrent (nœud), la somme algébrique des intensités des courants qui y entrent est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent (conservation de la charge).
Résistance Électrique (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Courant Électrique (\(I\))
Débit de charges électriques. Unité : Ampère (A).
Tension Électrique (\(U\) ou \(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (V).
Puissance Électrique (\(P\))
Quantité d'énergie électrique transférée ou dissipée par unité de temps. Pour une résistance, \(P = UI = RI^2 = U^2/R\). Unité : Watt (W).
Circuit en Série
Montage où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse.
Circuit en Parallèle (ou Dérivation)
Montage où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à leurs bornes.
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet dans un circuit qu'un groupement de plusieurs résistances.
Maille
Boucle fermée dans un circuit électrique.
Nœud
Point de connexion entre trois conducteurs ou plus dans un circuit.
Loi des Mailles et Loi d’Ohm - Exercice d'Application

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