Forces de poussée et moment agissant (théorie de Rankine)
Comprendre les forces de poussée et moment agissant au bas d’un mur (théorie de Rankine)
Soit un mur de soutènement de hauteur h, retournant de la terre sur son côté gauche. La surface derrière le mur est plane.
Les caractéristiques du sol sont données par son angle de frottement interne \(\phi\) et sa masse volumique apparente \(\gamma\). Le mur a un frottement à sa base avec le sol décrit par l’angle \(\delta\).
Données :
\begin{align*}
h & = 5 \text{ m} \\
\phi & = 30^\circ \\
\gamma & = 18 \text{ kN/m}^3 \\
\delta & = 20^\circ
\end{align*}
Pour comprendre la Pressions de Terre au Repos et en Mouvement, cliquez sur lien.
Questions:
1. Poussée de terre active (Ea) selon Rankine:
Utilisez la théorie de Rankine pour déterminer la poussée de terre active maximale au bas du mur.
2. Position de la ligne d’action de la poussée active:
Calculez la distance \(z\) du bas du mur au point d’application de la force de poussée active.
3. Moment agissant au bas du mur:
Calculez le moment exercé par la poussée active au bas du mur.
Correction : forces de poussée et moment agissant
1. Poussée de Terre Active (Ea) selon Rankine
Pour déterminer la poussée de terre active maximale au bas du mur, nous commençons par calculer le coefficient de poussée de terre actif (\(Ka\)) avec la formule :
\[ Ka = \tan^2 \left( 45^\circ – \frac{\phi}{2} \right) \]
En substituant \(\phi = 30^\circ\) :
\[ Ka = \tan^2 \left( 45^\circ – 15^\circ \right) \] \[ Ka = \tan^2(30^\circ) \approx 0.333 \]
La poussée active est ensuite calculée à l’aide de la formule corrigée :
\[ Ea = \frac{1}{2} \gamma h^2 Ka \]
En substituant les valeurs :
\[ Ea = \frac{1}{2} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (5 \, \text{m})^2 \times 0.333 \] \[ Ea \approx 75 \, \text{kN/m} \]
2. Position de la Ligne d’Action de la Poussée Active
La distance \(z\) du bas du mur au point d’application de la force de poussée active, pour un mur de soutènement selon la théorie de Rankine, est habituellement à \(\frac{h}{3}\) de la base. Ainsi :
\[ z = \frac{h}{3} \]
En substituant \(h = 5 \, \text{m}\) :
\[ z = \frac{5 \, \text{m}}{3} \approx 1.67 \, \text{m} \]
3. Moment Agissant au Bas du Mur
Le moment \(M\) exercé par la poussée active au bas du mur est calculé à l’aide de la formule :
\[ M = Ea \times z \]
En utilisant les valeurs corrigées pour \(Ea\) et \(z\) :
\[ M = 75 \, \text{kN/m} \times 1.67 \, \text{m} \] \[ M \approx 125 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]
Conclusion:
La poussée de terre active maximale au bas du mur est d’environ \(75 \, \text{kN/m}\), avec le point d’application de cette force situé à environ \(1.67 \, \text{m}\) du bas.
Le moment agissant au bas du mur, en conséquence de cette poussée, est d’environ \(125 \, \text{kN}\cdot\text{m}\).
Forces de poussée et moment agissant
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