Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure
Comprendre l’Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure
Un bâtiment en acier de 10 étages est situé dans une zone sismique de niveau intermédiaire. Le bâtiment doit être analysé pour déterminer sa réponse spectrale aux vibrations sismiques en supposant un modèle de sol type II (sols moyennement rigides). L’exercice vise à calculer le spectre de réponse de l’édifice en fonction des paramètres sismiques locaux et des caractéristiques dynamiques du bâtiment.
Pour comprendre l’Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Hauteur totale du bâtiment (H): 30 mètres
- Nombre d’étages (N): 10
- Masse par étage (m): 5000 kg
- Rigidité par étage (k): 75,000 N/m
- Amortissement (ζ): 5%
- Accélération de la gravité (g): 9.81 m/s²
- Coefficient de comportement (Q): 3
- Accélération spectrale de base (S): 1.0 g (zones de sismicité moyenne)
- Période propre du premier mode (T1): Estimée selon \(T_1 = \frac{10}{\sqrt{N}}\) secondes
- Facteur de réduction de l’accélération (R): 5
Questions:
Calculer la réponse spectrale du bâtiment pour le premier mode de vibration en utilisant les informations ci-dessus. Utiliser la formule du spectre de réponse élastique simplifié pour estimer la demande sismique.
Correction : Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure
1. Calcul de la période propre \(T_1\)
La période propre du premier mode est une grandeur caractéristique qui dépend du nombre d’étages et de la distribution de la masse et de la rigidité. Dans cet exercice, on donne une relation simplifiée indiquée sous la forme
\[ T_1 = \frac{10}{\sqrt{N}} \quad \text{(secondes)} \]
Cette expression permet d’obtenir une estimation de \(T_1\) en fonction du nombre d’étages \(N\).
Formule
\[ T_1 = \frac{10}{\sqrt{N}} \]
Données
- Nombre d’étages \(N = 10\).
Calcul
\[ T_1 = \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{10}{3.1623} \approx 3.16 \text{ s} \]
2. Calcul de la réponse spectrale pour le premier mode
Dans le cadre d’un spectre de réponse élastique simplifié, la demande sismique sur la structure est souvent exprimée sous forme d’une accélération spectrale. Dans cet exercice, nous utilisons une formule qui tient compte d’un coefficient de comportement (Q) ainsi que d’un facteur de réduction de l’accélération (R). L’idée est que le comportement non linéaire et l’amortissement effectif réduisent la demande par rapport à une analyse strictement élastique. La formule utilisée ici est :
Formule
\[ S_{a1} = \frac{S \times g \times Q}{R} \]
Données
- Accélération spectrale de base \(S = 1.0\) (en g, soit \(1.0 \times 9.81\, \text{m/s}^2 = 9.81\, \text{m/s}^2\)).
- Accélération de la gravité \(g = 9.81\, \text{m/s}^2\).
- Coefficient de comportement \(Q = 3\).
- Facteur de réduction de l’accélération \(R = 5\).
Calcul
1. Calcul de la valeur brute \(S \times g\) :
\[ 1.0 \times 9.81 = 9.81\, \text{m/s}^2 \]
2. Multiplication par le coefficient de comportement \(Q\) :
\[ 9.81 \times 3 = 29.43\, \text{m/s}^2 \]
3. Division par le facteur de réduction \(R\) :
\[ S_{a1} = \frac{29.43}{5} \approx 5.886\, \text{m/s}^2 \]
Conclusion
La réponse spectrale du bâtiment pour le premier mode de vibration, calculée selon la formule simplifiée, est :
\[ S_{a1} \approx 5.89\, \text{m/s}^2 \]
En résumé, nous avons :
1. Calcul de \(T_1\) : \(T_1 \approx 3.16\) s.
2. Calcul de la réponse spectrale : \(S_{a1} \approx 5.89\, \text{m/s}^2\).
Ce résultat donne une estimation de la demande sismique sur la structure dans le cadre d’une analyse élastique simplifiée tenant compte des effets de ductilité et d’amortissement par l’intermédiaire des facteurs \(Q\) et \(R\).
Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure
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