Équations d’Euler et de Bernoulli

Équations d’Euler et de Bernoulli

Comprendre l’Équations d’Euler et de Bernoulli

Considérons un fluide incompressible s’écoulant dans un tube horizontal de diamètres différents. Le diamètre du tube à l’entrée est de D1 = 0.5 mètres et à la sortie est de D2 = 0.25 mètres.

Le fluide entre dans le tube avec une vitesse V1 = 2 m/s. La pression atmosphérique est de P_{\text{atm}} = 101325 Pa.

La densité du fluide est de \rho = 1000 kg/m^3. On néglige les effets de viscosité.

Objectif :

Calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube et la variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Étape 1 : Calcul des Aires et de la Vitesse à la Sortie

1. Calcul des Aires :

  • Pour A_1 (aire de l’entrée) :

    \[ A_1 = \pi \times \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \]

    \[ A_1 = \pi \times \left(\frac{0.5}{2}\right)^2 \]

    \[ A_1 = \pi \times 0.25^2 \, \text{m}^2 \]


    \[ A_1 = \pi \times 0.0625 \, \text{m}^2 \]

  • Pour A_2 (aire de la sortie) :

    \[ A_2 = \pi \times \left(\frac{D_2}{2}\right)^2 \]

    \[ A_2 = \pi \times \left(\frac{0.25}{2}\right)^2 \]

    \[ A_2 = \pi \times 0.125^2 \, \text{m}^2 \]


    \[ A_2 = \pi \times 0.015625 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la Vitesse à la Sortie V_2 :

En appliquant l’équation de continuité A_1 V_1 = A_2 V_2 :

    \[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \]

    \[ V_2 = \frac{\pi \times 0.0625}{\pi \times 0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]


    \[ V_2 = \frac{0.0625}{0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]


    \[ V_2 = 4 \times 2 \, \text{m/s} = 8 \, \text{m/s} \]

Étape 2 : Calcul de la Pression à la Sortie

1. Application de l’Équation de Bernoulli :

En utilisant P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 :

101325 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (8 \, \text{m/s})^2
101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa}

    \[ 102325 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa} \]

Résolution pour P_2 :

    \[ P_2 = 102325 \, \text{Pa} - 32000 \, \text{Pa} \]


    \[ P_2 = 70325 \, \text{Pa} \]

Conclusion :

La vitesse du fluide à la sortie du tube est V_2 = 8 \, \text{m/s}. La variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube est P_1 - P_2 = 101325 \, \text{Pa} - 70325 \, \text{Pa} = 31000 \, \text{Pa}.

Équations d’Euler et de Bernoulli

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