Équations d’Euler et de Bernoulli

Comprendre l’Équations d’Euler et de Bernoulli

Considérons un fluide incompressible s’écoulant dans un tube horizontal de diamètres différents. Le diamètre du tube à l’entrée est de D1 = 0.5 mètres et à la sortie est de D2 = 0.25 mètres.

Le fluide entre dans le tube avec une vitesse V1 = 2 m/s. La pression atmosphérique est de \( P_{\text{atm}} = 101325 \) Pa.

La densité du fluide est de \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\). On néglige les effets de viscosité.

Objectif :

Calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube et la variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Étape 1 : Calcul des Aires et de la Vitesse à la Sortie

1. Calcul des Aires :

• Pour \(A_1\) (aire de l’entrée) :

\[ A_1 = \pi \times \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times \left(\frac{0.5}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times 0.25^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_1 = \pi \times 0.0625 \, \text{m}^2 \]

• Pour \(A_2\) (aire de la sortie) :

\[ A_2 = \pi \times \left(\frac{D_2}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times \left(\frac{0.25}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times 0.125^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_2 = \pi \times 0.015625 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la Vitesse à la Sortie \(V_2\) :

En appliquant l’équation de continuité \(A_1 V_1 = A_2 V_2\) :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \] \[ V_2 = \frac{\pi \times 0.0625}{\pi \times 0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = \frac{0.0625}{0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = 4 \times 2 \, \text{m/s} = 8 \, \text{m/s} \]

Étape 2 : Calcul de la Pression à la Sortie

1. Application de l’Équation de Bernoulli :

En utilisant \[P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2\] :

\[101325 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (8 \, \text{m/s})^2\] \[101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa}\] \[ 102325 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa} \]

Résolution pour \(P_2\) :

\[ P_2 = 102325 \, \text{Pa} – 32000 \, \text{Pa} \]
\[ P_2 = 70325 \, \text{Pa} \]

Conclusion :

La vitesse du fluide à la sortie du tube est \(V_2 = 8 \, \text{m/s}\). La variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube est \(P_1 – P_2 = 101325 \, \text{Pa} – 70325 \, \text{Pa} = 31000 \, \text{Pa}\).

Équations d’Euler et de Bernoulli

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