Équations d’Euler et de Bernoulli

Équations d’Euler et de Bernoulli

Comprendre l’Équations d’Euler et de Bernoulli

Considérons un fluide incompressible s’écoulant dans un tube horizontal de diamètres différents. Le diamètre du tube à l’entrée est de D1 = 0.5 mètres et à la sortie est de D2 = 0.25 mètres.

Le fluide entre dans le tube avec une vitesse V1 = 2 m/s. La pression atmosphérique est de \( P_{\text{atm}} = 101325 \) Pa.

La densité du fluide est de \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\). On néglige les effets de viscosité.

Objectif :

Calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube et la variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Étape 1 : Calcul des Aires et de la Vitesse à la Sortie

1. Calcul des Aires :

  • Pour \(A_1\) (aire de l’entrée) :

\[ A_1 = \pi \times \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times \left(\frac{0.5}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times 0.25^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_1 = \pi \times 0.0625 \, \text{m}^2 \]

  • Pour \(A_2\) (aire de la sortie) :

\[ A_2 = \pi \times \left(\frac{D_2}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times \left(\frac{0.25}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times 0.125^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_2 = \pi \times 0.015625 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la Vitesse à la Sortie \(V_2\) :

En appliquant l’équation de continuité \(A_1 V_1 = A_2 V_2\) :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \] \[ V_2 = \frac{\pi \times 0.0625}{\pi \times 0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = \frac{0.0625}{0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = 4 \times 2 \, \text{m/s} = 8 \, \text{m/s} \]

Étape 2 : Calcul de la Pression à la Sortie

1. Application de l’Équation de Bernoulli :

En utilisant \[P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2\] :

\[101325 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (8 \, \text{m/s})^2\] \[101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa}\] \[ 102325 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa} \]

Résolution pour \(P_2\) :

\[ P_2 = 102325 \, \text{Pa} – 32000 \, \text{Pa} \]
\[ P_2 = 70325 \, \text{Pa} \]

Conclusion :

La vitesse du fluide à la sortie du tube est \(V_2 = 8 \, \text{m/s}\). La variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube est \(P_1 – P_2 = 101325 \, \text{Pa} – 70325 \, \text{Pa} = 31000 \, \text{Pa}\).

Équations d’Euler et de Bernoulli

D’autres exercices d’hydraulique:

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