Équations d’Euler et de Bernoulli

Comprendre l’Équations d’Euler et de Bernoulli

Considérons un fluide incompressible s’écoulant dans un tube horizontal de diamètres différents. Le diamètre du tube à l’entrée est de D1 = 0.5 mètres et à la sortie est de D2 = 0.25 mètres. Le fluide entre dans le tube avec une vitesse V1 = 2 m/s. La pression atmosphérique est de \( P_{\text{atm}} = 101325 \) Pa. La densité du fluide est de \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\). On néglige les effets de viscosité.

Question :

Calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube et la variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

1. Calcul de la Vitesse à la Sortie du Tube

Dans un écoulement incompressible, le débit volumique reste constant le long du tube. Ceci s’exprime par l’équation de continuité :

\[ A_1 V_1 = A_2 V_2 \]

où :

\(A_1\) et \(A_2\) sont les aires de la section du tube à l’entrée et à la sortie,
\(V_1\) et \(V_2\) sont les vitesses du fluide à l’entrée et à la sortie.

L’aire d’une section circulaire est donnée par :

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Données

Diamètre à l’entrée : \(D_1 = 0.5\) m
Diamètre à la sortie : \(D_2 = 0.25\) m
Vitesse à l’entrée : \(V_1 = 2\) m/s

Calcul

1. Calculer les aires :

\[ A_1 = \frac{\pi (D_1)^2}{4} = \frac{\pi (0.5)^2}{4} \] \[ A_2 = \frac{\pi (D_2)^2}{4} = \frac{\pi (0.25)^2}{4} \]

2. Simplifier le rapport \( \frac{A_1}{A_2} \) :

Les constantes \(\frac{\pi}{4}\) se simplifient, ainsi :

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{(D_1)^2}{(D_2)^2} = \left(\frac{0.5}{0.25}\right)^2 = (2)^2 = 4 \]

3. Appliquer la formule de continuité pour trouver \(V_2\) :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \] \[ V_2 = 4 \times 2 = 8 \, \text{m/s} \]

2. Calcul de la Variation de Pression avec l’Équation de Bernoulli

Pour un écoulement dans un tube horizontal (pas de variation de hauteur), l’équation de Bernoulli s’écrit :

\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 \]

où :

\(P_1\) et \(P_2\) sont les pressions à l’entrée et à la sortie,
\(\rho\) est la densité du fluide,
\(V_1\) et \(V_2\) sont les vitesses du fluide.

Nous souhaitons calculer la variation de pression, soit :

\[ \Delta P = P_2 – P_1 \]

Données

\(P_1 = P_{\text{atm}} = 101325\) Pa
\(V_1 = 2\) m/s et \(V_1^2 = 4\) m\(^2\)/s\(^2\)
\(V_2 = 8\) m/s (calculé précédemment) et \(V_2^2 = 64\) m\(^2\)/s\(^2\)
Densité \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\)

Calcul

1. Isoler \(P_2\) dans l’équation de Bernoulli :

\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 – V_2^2) \]

2. Substituer les valeurs :

\[ P_2 = 101325 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4 – 64) \] \[ P_2 = 101325 – 30000 \] \[ P_2 = 71325 \, \text{Pa} \]

3. Variation de pression :

\[ \Delta P = P_2 – P_1 \] \[ \Delta P = 71325 – 101325 \] \[ \Delta P = -30000 \, \text{Pa} \]

Le signe négatif indique que la pression à la sortie est inférieure à celle à l’entrée.

Conclusion

Vitesse à la sortie : \(V_2 = 8 \, \text{m/s}\)
Variation de la pression entre l’entrée et la sortie :
\(\Delta P = -30000 \, \text{Pa} \quad (\text{i.e. } P_2 = 71325 \, \text{Pa})\)

Équations d’Euler et de Bernoulli

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