Dimensionnement d’un tirant en béton armé
Comprendre le Dimensionnement d’un tirant en béton armé
Dans le cadre d’un système de contreventement d’un bâtiment, un tirant en béton armé est employé pour transférer un effort axial de traction depuis une poutre principale vers un système d’ancrage. Ce tirant, de forme rectangulaire, est conçu de façon à ce que l’armature en acier supporte entièrement l’effort de traction (le béton étant inefficace en traction une fois fissuré). Le dimensionnement vise à déterminer la quantité minimale d’armatures nécessaire et à vérifier que la section proposée du tirant permet une bonne disposition des barres en respectant les exigences de couverture et d’espacement.
Données de l’exercice:
a. Effort de traction de calcul :
- \(N_d = 400 \, \text{kN} = 400000 \, \text{N}\)
b. Acier d’armature :
- Résistance caractéristique : \( f_{yk} = 500 \, \text{MPa} \)
- Coefficient de sécurité partiel pour l’acier : \( \gamma_s = 1.15 \)
- Résistance de calcul de l’acier :
\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \approx 434.78 \, \text{MPa} \]
(nous arrondirons ultérieurement à \(435 \, \text{MPa}\) pour les calculs)
c. Section proposée du tirant (béton armé) :
- Largeur : \( b = 200 \, \text{mm} \)
- Hauteur : \( h = 300 \, \text{mm} \)
d. Exigences relatives à la mise en œuvre de l’armature:
- Couverture minimale en béton sur tous les bords : \( c = 30 \, \text{mm} \)
- Espacement minimal entre barres : \( s_{min} = 20 \, \text{mm} \)
e. Longueur du tirant :
- \( L = 5 \, \text{m} = 5000 \, \text{mm} \) (cette donnée sera utilisée pour une vérification optionnelle de l’allongement sous traction)
f. Module d’élasticité de l’acier:
- \(E_s = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
Questions:
1. Calcul de l’aire d’armature nécessaire :
En considérant que l’armature supporte entièrement l’effort de traction, déterminer l’aire minimale d’armature \( A_{s, \min} \) requise.
2. Proposition de la solution d’armature :
Proposez une solution de disposition (nombre et diamètre des barres) permettant d’atteindre ou dépasser l’aire minimale \( A_{s, \min} \) obtenue, tout en respectant les contraintes de couverture (30 mm) et d’espacement (20 mm).
3. Vérification de la compatibilité de la section du tirant :
En vous appuyant sur la section proposée (\(200 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm}\)), vérifiez que la disposition choisie des armatures permet d’assurer la couverture minimale sur tous les bords et que l’espace disponible est suffisant pour la mise en place des barres.
4. (Optionnel – Serviceabilité) Vérification de l’allongement du tirant :
En supposant que l’allongement du tirant est essentiellement dû à l’armature (le béton étant considéré comme non sollicité en traction après fissuration), calculez l’allongement \( \delta \) du tirant sous l’effort \( N_d \) à l’aide de la formule :
\[ \delta = \frac{N_d \cdot L}{A_{s, \text{eff}} \cdot E_s} \]
où \( A_{s, \text{eff}} \) est l’aire totale d’armature réellement proposée. Comparez ce résultat avec des critères de déformation éventuellement imposés (par exemple, une déformation relative inférieure à 0,2 %).
Correction : Dimensionnement d’un tirant en béton armé
1. Calcul de l’aire d’armature minimale
Dans un tirant en traction, le béton (une fois fissuré) ne supporte plus l’effort et c’est l’armature en acier qui assure la résistance à la traction. L’aire minimale d’armature est donc déterminée en divisant l’effort de traction de calcul \(N_d\) par la résistance de calcul de l’acier \(f_{yd}\).
Formule:
\[ A_{s,\min} = \frac{N_d}{f_{yd}} \]
Données:
a. Effort de traction de calcul: \(N_d = 400000 \, \text{N}\)
b. Acier d’armature:
- Résistance caractéristique: \(f_{yk} = 500 \, MPa\)
- Coefficient de sécurité partiel pour l’acier: \(\gamma_s = 1.15\)
c. Calcul de la résistance de calcul de l’acier:
\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \] \[ f_{yd} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \] \[ f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa} \] Nous arrondirons à \(f_{yd} = 435 \, MPa\) pour simplifier.
Calcul:
\[ A_{s,\min} = \frac{400000 \, N}{435 \, \text{N/mm}^2} \] \[ A_{s,\min} \approx 919.54 \, \text{mm}^2 \]
Arrondi:
\[ A_{s,\min} \approx 920 \, \text{mm}^2 \]
2. Proposition d’une solution d’armature
Nous devons choisir un nombre de barres et leur diamètre afin que l’aire totale d’armature proposée \(A_{s,eff}\) soit supérieure ou égale à 920 mm\(^2\). Une solution classique consiste à utiliser des barres de 20 mm de diamètre.
Formule pour l’aire d’une barre:
\[ A_{bar} = \frac{\pi \phi^2}{4} \]
Données:
- Diamètre des barres choisi: \(\phi = 20 \, mm\)
Calcul:
Calcul de l’aire d’une barre:
\[ A_{bar} = \frac{\pi \times (20 \, mm)^2}{4} \] \[ A_{bar} = \frac{\pi \times 400}{4} \] \[ A_{bar} = 100\pi \approx 314.16 \, mm^2 \]
Choix de la solution:
Nous proposons d’utiliser 4 barres de 20 mm, ce qui donne :
\[ A_{s,eff} = 4 \times 314.16 \] \[ A_{s,eff} \approx 1256.64 \, \text{mm}^2 \]
Cette aire est bien supérieure à \(A_{s,\min}\) (920 mm\(^2\)).
3. Vérification de la compatibilité de la section du tirant
Il convient de vérifier que la disposition des 4 barres dans la section proposée respecte :
- La couverture minimale en béton \(c = 30 \, mm\) sur tous les bords,
- L’espacement minimal entre barres \(s_{min} = 20 \, mm\).
Données:
- Dimensions de la section du tirant: Largeur: \(b = 200 \, mm\), Hauteur: \(h = 300 \, mm\).
- Couverture minimale: \(c = 30 \, \text{mm}\)
Calcul:
a. Direction horizontale (largeur):
La zone utile pour les centres des barres est :
\[ b_{eff} = b – 2c \] \[ b_{eff} = 200 \, \text{mm} – 2 \times 30 \, \text{mm} \] \[ b_{eff} = 140 \, \text{mm} \]
Pour disposer 2 barres sur cette largeur, il est possible de placer les centres de chacune à environ 30 mm du bord (couverture minimale) et à 140 mm d’écart maximal, ce qui satisfait l’espacement minimal (le diamètre de la barre étant 20 mm, il faut que l’écart entre les périmètres soit au moins 20 mm, soit un centre à centre minimum de\(20 + 20 = 40 \, \text{mm}\)).
b. Direction verticale (hauteur):
\[ h_{eff} = h – 2c \] \[ h_{eff} = 300 \, \text{mm} – 2 \times 30 \, \text{mm} \] \[ h_{eff} = 240 \, \text{mm} \]
La disposition en 2 rangées (2 barres par rangée) est aisée, en plaçant les centres des barres à une distance d’au moins 30 mm (couverture) du bord supérieur et inférieur, laissant un espace suffisant entre les rangées.
Conclusion :
La disposition de 4 barres de 20 mm (disposées en 2 rangées de 2 barres) dans une section de \(200 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm}\) respecte à la fois la couverture minimale de 30 mm et l’espacement minimal entre barres.
4. Vérification de l’allongement du tirant (Optionnel – Serviceabilité)
Après fissuration du béton en traction, l’allongement du tirant est principalement dû à l’acier. Il convient de vérifier que l’allongement est compatible avec les exigences de service (par exemple, une déformation relative inférieure à 0,2 %).
Formule:
\[ \delta = \frac{N_d \cdot L}{A_{s,\text{eff}} \cdot E_s} \]
Données:
- Effort de traction : \(N_d = 400000 \, \text{N}\)
- Longueur du tirant : \(L = 5000 \, \text{mm}\)
- Aire totale d’armature proposée : \(A_{s,\text{eff}} \approx 1256.64 \, \text{mm}^2\)
- Module d’élasticité de l’acier : \(E_s = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul:
a. Calcul du produit \(A_{s,\text{eff}} \cdot E_s\) :
\[ = 1256.64 \, \text{mm}^2 \times 210000 \, \text{N/mm}^2 \] \[ \approx 264000000 \, \text{N} \]
b. Calcul de l’allongement \(\delta\) :
\[ \delta = \frac{400000 \, \text{N} \cdot 5000 \, \text{mm}}{264000000 \, \text{N}} \] \[ \delta \approx 7.58 \, \text{mm} \]
c. Calcul de la déformation relative :
\[ \epsilon = \frac{\delta}{L} = \frac{7.58 \, \text{mm}}{5000 \, \text{mm}} \] \[ \epsilon \approx 0.00152 \text{ soit } 0.152\% \]
Cette déformation est inférieure à 0,2 %, ce qui est généralement acceptable.
Conclusion
La solution proposée consiste en :
- Aire minimale requise : \(\approx 920 \, \text{mm}^2\)
- Armature proposée : 4 barres de 20 mm (total \(\approx 1257 \, \text{mm}^2\))
- Disposition dans la section de \(200 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm}\) : Respect de la couverture de 30 mm et de l’espacement minimal
- Allongement du tirant: \(\approx 7.6 \, \text{mm}\) (déformation relative de 0.152 %)
Dimensionnement d’un tirant en béton armé
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