Déterminer les pertes de charge et pressions

Déterminer les pertes de charge et pressions

Comprendre comment déterminer les pertes de charge et de la pression

Dans un réseau d’irrigation, une pompe soulève l’eau d’une rivière et la transporte via un tuyau vers un réservoir situé sur une colline.

On souhaite déterminer les pertes de charge dans le système ainsi que la pression à la sortie de la pompe pour assurer un débit désiré.

Données :

  • Tuyau en acier galvanisé de longueur L = 200 m.
  • Diamètre intérieur du tuyau D = 0.15 m.
  • Vitesse de l’eau dans le tuyau v = 1.5 m/s.
  • Hauteur géométrique (différence de hauteur entre la rivière et le réservoir) h = 30 m.
  • Coefficient de rugosité de l’acier galvanisé \varepsilon = 0.00015 m.
  • Densité de l’eau \rho = 1000 kg/m^3.
  • Accélération due à la gravité g = 9.81 m/s^2.
  • Viscosité cinématique de l’eau \nu = 1.0 \times 10^{-6} m^2/s.

Questions :

  1. Détermination du régime d’écoulement
    Calculez le nombre de Reynolds Re de l’écoulement.
    Déterminez le régime d’écoulement : laminaire, transitionnel ou turbulent.
  2. Pertes de charge continues
    Si l’écoulement est turbulent, utilisez la formule de Colebrook pour estimer le coefficient de friction f (vous pourriez avoir besoin d’itérations ou d’une approximation pour résoudre l’équation).
    Calculez les pertes de charge continues h_f dans le tuyau.
  3. Pertes de charge singulières (pertes locales) :
    Supposons que le tuyau ait 3 coudes réguliers à 90° et une vanne entièrement ouverte. En utilisant des coefficients de perte typiques (par exemple, K = 0.9 pour un coude et K = 0.15 pour une vanne), estimez les pertes de charge singulières h_s pour ces éléments.
  4. Pression à la sortie de la pompe :
    En considérant seulement la hauteur géométrique et les pertes de charge, calculez la hauteur manométrique totale H que la pompe doit fournir.
    Convertissez cette hauteur en pression P en Pa.
    Si la pression atmosphérique est P_{atm} = 101325 Pa, quelle est la pression absolue à la sortie de la pompe?

Correction : Déterminer les pertes de charge et pression

1. Détermination du régime d’écoulement:

Nombre de Reynolds:

    \begin{align*}Re &= \frac{v \times D}{\nu} \\Re &= \frac{1.5 \times 0.15}{1.0 \times 10^{-6}} \\Re &= 225,000\end{align*}

Régime d’écoulement: 

Avec Re = 225,000, l’écoulement est turbulent (car Re > 4000).

2. Pertes de charge continues:

Coefficient de friction f:

La formule de Colebrook est transcendante. Sans un moyen itératif ou une méthode graphique, nous utiliserons ici une approximation simple.

Pour le but de cet exercice, supposons qu’après résolution (ou utilisation d’un graphique ou d’une table), f \approx 0.025.

Pertes de charge continues:

    \begin{align*}h_f &= \frac{f \times L \times v^2}{2 \times g \times D} \\h_f &= \frac{0.025 \times 200 \times 1.5^2}{2 \times 9.81 \times 0.15} \\h_f &\approx 28.68 \text{ m}\end{align*}

3. Pertes de charge singulières (pertes locales)

    \begin{align*}h_s &= K \times \frac{v^2}{2g}\end{align*}

Pour les 3 coudes:

    \begin{align*}h_{s,\text{coude}} &= 3 \times 0.9 \times \frac{1.5^2}{2 \times 9.81} \\h_{s,\text{coude}} &\approx 3.26 \text{ m}\end{align*}

Pour la vanne:

    \begin{align*}h_{s,\text{vanne}} &= 0.15 \times \frac{1.5^2}{2 \times 9.81} \\h_{s,\text{vanne}} &\approx 0.11 \text{ m}\end{align*}

Pertes de charge singulières totales:

    \begin{align*}h_s &= h_{s,\text{coude}} + h_{s,\text{vanne}} \\h_s &\approx 3.37 \text{ m}\end{align*}

4. Pression à la sortie de la pompe:

Hauteur manométrique totale:

    \begin{align*}H &= h + h_f + h_s \\H &= 30 + 28.68 + 3.37 \\H &\approx 62.05 \text{ m}\end{align*}

Conversion en pression:

    \[ P = \rho \times g \times H \]

    \[ P = 1000 \times 9.81 \times 62.05 \]

P &\approx 608,209.5 \text{ Pa} \text{ or } P \approx 608.21 \text{ kPa}

Pression absolue à la sortie de la pompe:

    \[ P_{\text{abs}} = P + P_{\text{atm}} \]

    \[ P_{\text{abs}} = 608,209.5 + 101,325 \]

P_{\text{abs}} \approx 709,534.5 \text{ Pa} \text{ or } P_{\text{abs}} \approx 709.53 \text{ kPa}

Ainsi, pour assurer un débit souhaité compte tenu des pertes de charge dans le système, la pression à la sortie de la pompe doit être d’environ 709.53 kPa.

Déterminer les pertes de charge et pressions

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