Détermination du Coefficient de Tassement (mv)
Comprendre la Détermination du Coefficient de Tassement (mv)
Vous êtes un ingénieur géotechnique chargé de l’étude des fondations pour un nouveau bâtiment commercial qui sera construit sur un site urbain. Le terrain est caractérisé par une couche d’argile compressible d’une épaisseur de 10 mètres, reposant sous une couche de sable de 5 mètres d’épaisseur.
Données fournies :
- Épaisseur de la couche d’argile (H) : 10 mètres
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Indice des vides initial (e₀) : 0.8
- Pression initiale (σ₀) : 50 kPa
- Module de compressibilité (Cc) : 0.3
- Module de recompression (Cr) : 0.1
- Pression de préconsolidation (\(\sigma_p\)) : 75 kPa
- Surcharge uniforme additionnelle (Δσ) : 50 kPa
- Module de compression secondaire (Cα) : 0.03
- Temps initial pour le calcul du tassement secondaire (t₁) : 1 an
- Temps final pour le calcul du tassement secondaire (t₂) : 10 ans
Questions:
1. Détermination du coefficient de tassement (mv) :
- Calculez le coefficient de tassement \( m_v \).
2. Calcul du tassement primaire dû à une surcharge :
- Utilisez la formule \( S = H \cdot \frac{C_c}{{1+e_0}} \cdot \log\left(\frac{\sigma_0 + \Delta \sigma}{\sigma_0}\right) \) pour déterminer le tassement primaire causé par la surcharge additionnelle.
3. Calcul du tassement total après surcharge :
- Après avoir ajouté la surcharge, la pression effective au-dessus de la pression de préconsolidation augmente. Estimez le tassement additionnel et calculez le tassement total.
4. Calcul du tassement secondaire :
- Évaluer le tassement secondaire sur la période spécifiée.
5. Conclusion sur le tassement final :
- Additionnez les tassements primaire, additionnel et secondaire pour obtenir le tassement final.
- Utilisez ces résultats pour évaluer et gérer le comportement des fondations du bâtiment commercial en cours de planification.
Correction : Détermination du Coefficient de Tassement (mv)
Remarque sur les logarithmes : Dans les formules de tassement en mécanique des sols, l’indice logarithmique est souvent pris en base 10 lorsque les indices Cc et Cr sont définis en log10. Nous utiliserons donc log₁₀ dans les calculs.
1. Calcul du coefficient de tassement (\(m_v\))
But : Déterminer le coefficient de tassement \(m_v\) qui relie le tassement primaire à l’augmentation de la contrainte.
Formule utilisée
\[ m_v = \frac{\displaystyle \frac{C_c}{1+e_0} \cdot \log_{10}\left(\frac{\sigma_0+\Delta \sigma}{\sigma_0}\right)}{\Delta \sigma} \]
Substitution des valeurs
- Calcul de \(1+e_0\) :
\[ 1 + 0,8 = 1,8 \]
- Calcul du rapport de modules :
\[ \frac{C_c}{1+e_0} = \frac{0,3}{1,8} \approx 0,16667 \]
- Calcul du logarithme :
\[ \log_{10}\left(\frac{\sigma_0+\Delta \sigma}{\sigma_0}\right) = \log_{10}\left(\frac{50+50}{50}\right) \] \[ =\log_{10}(2) \approx 0,3010 \]
- Surcharge : \(\Delta \sigma = 50\) kPa
Calcul
\[ m_v = \frac{0,16667 \times 0,3010}{50} \] \[ m_v \approx \frac{0,05017}{50} \] \[ m_v \approx 0,0010034 \quad \text{m}^2/\text{kN} \]
Conclusion : Le coefficient de tassement \(m_v\) est d’environ \(1,00 \times 10^{-3}\) m\(^2\)/kN.
2. Calcul du tassement primaire dû à une surcharge (formule simplifiée)
But : Calculer le tassement primaire en appliquant directement la formule :
Formule utilisée
\[ S = H \cdot \frac{C_c}{1+e_0} \cdot \log_{10}\left(\frac{\sigma_0+\Delta \sigma}{\sigma_0}\right) \]
Substitution des valeurs
- \(H = 10\) m
- \(\frac{C_c}{1+e_0} = \frac{0,3}{1,8} \approx 0,16667\)
- \(\log_{10}\left(\frac{50+50}{50}\right) = \log_{10}(2) \approx 0,3010\)
Calcul
\[ S = 10 \times 0,16667 \times 0,3010 \] \[ S \approx 10 \times 0,05017 \] \[ S \approx 0,5017 \quad \text{m} \]
Conclusion :
En appliquant la formule sans tenir compte de la préconsolidation, le tassement primaire serait d’environ 0,50 m.
Cependant, cette formule est valable pour un sol entièrement normalement consolidé.
3. Correction pour la présence d’une préconsolidation
La pression initiale \(\sigma_0\) (50 kPa) est inférieure à la pression de préconsolidation \(\sigma_p\) (75 kPa). Ainsi, la compression de la couche d’argile se produit en deux étapes :
- Pour la tranche de contrainte allant de 50 kPa à 75 kPa, le sol est dans la zone surconsolidée ; on utilise le module de recompression \(C_r\).
- Pour la tranche allant de 75 kPa à 100 kPa (\(\sigma_0+\Delta \sigma\)), le sol est normalement consolidé ; on utilise le module de compression \(C_c\).
a) Tassement en zone surconsolidée (50 kPa \(\rightarrow\) 75 kPa)
Formule
\[ S_1 = H \cdot \frac{C_r}{1+e_0} \cdot \log_{10}\left(\frac{\sigma_p}{\sigma_0}\right) \]
Substitution des valeurs
- \(H = 10\) m
- \(\frac{C_r}{1+e_0} = \frac{0,1}{1,8} \approx 0,05556\)
- \(\log_{10}\left(\frac{75}{50}\right) = \log_{10}(1,5) \approx 0,1761\)
Calcul
\[ S_1 = 10 \times 0,05556 \times 0,1761 \] \[ S_1 \approx 10 \times 0,00978 \] \[ S_1 \approx 0,0978 \quad \text{m} \]
Arrondi à 0,10 m.
b) Tassement en zone normalement consolidée (75 kPa \(\rightarrow\) 100 kPa)
Formule
\[ S_2 = H \cdot \frac{C_c}{1+e_0} \cdot \log_{10}\left(\frac{\sigma_0+\Delta \sigma}{\sigma_p}\right) \]
Substitution des valeurs
- \(H = 10\) m
- \(\frac{C_c}{1+e_0} = \frac{0,3}{1,8} \approx 0,16667\)
- \(\log_{10}\left(\frac{100}{75}\right) = \log_{10}(1,3333) \approx 0,1249\)
Calcul
\[ S_2 = 10 \times 0,16667 \times 0,1249 \] \[ S_2 \approx 10 \times 0,02082 \] \[ S_2 \approx 0,2082 \quad \text{m} \]
Arrondi à 0,21 m.
Tassement primaire total (corrigé)
\[ S_{\text{primaire}} = S_1 + S_2 \] \[ S_{\text{primaire}} \approx 0,10 \, \text{m} + 0,21 \, \text{m} \] \[ S_{\text{primaire}} \approx 0,31 \, \text{m} \]
Conclusion :
En tenant compte de la préconsolidation, le tassement primaire total est d’environ 0,31 m.
4. Calcul du tassement secondaire
But : Évaluer le tassement secondaire qui s’exprime par la déformation lente dans le temps après la consolidation primaire.
Formule utilisée
\[ S_{\text{secondaire}} = H \cdot C_{\alpha} \cdot \log_{10}\left(\frac{t_2}{t_1}\right) \]
Substitution des valeurs
- \(H = 10\) m
- \(C_{\alpha} = 0,03\)
- \(\log_{10}\left(\frac{10}{1}\right) = \log_{10}(10) = 1\)
Calcul
\[ S_{\text{secondaire}} = 10 \times 0,03 \times 1 \] \[ S_{\text{secondaire}} = 0,3 \quad \text{m} \]
Conclusion :
Le tassement secondaire est de 0,3 m.
5. Tassement final
But : Obtenir le tassement total en additionnant les tassements primaire (corrigé) et secondaire.
Calcul
\[ S_{\text{final}} = S_{\text{primaire}} + S_{\text{secondaire}} \] \[ S_{\text{final}} \approx 0,31 \, \text{m} + 0,3 \, \text{m} \] \[ S_{\text{final}} = 0,61 \, \text{m} \]
Conclusion :
Le tassement final attendu est d’environ 0,61 m.
Détermination du Coefficient de Tassement (mv)
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