Déformation de Différentes Sections Transversales
Comprendre la Déformation de Différentes Sections Transversales
Un projet de construction d’un petit pont piétonnier en milieu urbain. Ce pont doit supporter à la fois son propre poids et la charge des piétons. Nous allons calculer la contrainte maximale et la déformation d’une poutre de ce pont en considérant trois types de sections transversales : rectangulaire, circulaire et en forme de I.
Pour comprendre le Calcul des moments d’inertie, cliquez sur le lien.
Données
- Longueur de la poutre, L = 10 m.
- Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m (inclut le poids de la structure et la charge des piétons).
- Matériau : Acier (Module d’élasticité, E = 210 GPa ; Limite d’élasticité, \( \sigma_y = 250 \, \text{MPa} \)).
Dimensions des sections
- Rectangulaire : largeur b = 300 mm, hauteur h = 600 mm.
- Circulaire : diamètre d = 500 mm.
- En forme de I : hauteur h = 600 mm, largeur de la bride \( b_f = 300 \, \text{mm} \), épaisseur de la bride \( t_f = 25 \, \text{mm} \), épaisseur de l’âme \( t_w = 15 \, \text{mm} \).
Questions:
1. Calculer la charge totale sur la poutre.
2. Calculer le moment fléchissant maximal (\( M_{\text{max}} \)).
3. Calculer le moment d’inertie (\( I \)) pour chaque section.
4. Calculer la contrainte maximale dans chaque section.
5. Calculer la flèche maximale pour chaque type de section.
Correction : Déformation de Différentes Sections Transversales
1. Calcul de la charge totale sur la poutre
La charge totale \(P\) est obtenue en multipliant la charge uniformément répartie \(q\) par la longueur \(L\) de la poutre.
Formule :
\[ P = q \times L \]
Données :
- \(q = 5\,\text{kN/m}\),
- \(L = 10\,\text{m}\)
Calcul :
\[ P = 5\,\text{kN/m} \times 10\,\text{m} \] \[ P = 50\,\text{kN} \]
2. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au centre de la poutre.
Formule :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q \times L^2}{8} \]
Données :
- \(q = 5\,\text{kN/m}\),
- \(L = 10\,\text{m}\)
Calcul :
\[ M_{\text{max}} = \frac{5\,\text{kN/m} \times (10\,\text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 100}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{500}{8} = 62,5\,\text{kN·m} \]
Remarque : Pour utiliser cette formule, on suppose que la poutre est simplement appuyée.
3. Calcul du moment d’inertie (\(I\)) pour chaque section
A. Section rectangulaire
Le moment d’inertie d’une section rectangulaire par rapport à l’axe neutre est donné par la formule suivante.
Formule :
\[ I_{\text{rect}} = \frac{b \times h^3}{12} \]
Données :
- \(b = 300\,\text{mm} = 0,3\,\text{m}\),
- \(h = 600\,\text{mm} = 0,6\,\text{m}\)
Calcul :
\[ I_{\text{rect}} = \frac{0,3 \times (0,6)^3}{12} \] \[ I_{\text{rect}} = \frac{0,3 \times 0,216}{12} \] \[ I_{\text{rect}} = \frac{0,0648}{12} \] \[ I_{\text{rect}} \approx 0,0054\,\text{m}^4 \]
B. Section circulaire
Le moment d’inertie d’une section circulaire par rapport à son axe neutre est calculé avec la formule suivante.
Formule :
\[ I_{\text{circ}} = \frac{\pi \times d^4}{64} \]
Données :
- \(d = 500\,\text{mm} = 0,5\,\text{m}\)
Calcul :
1. Calcul de \(d^4\) :
\[ (0,5)^4 = 0,0625\,\text{m}^4 \]
2. Application de la formule :
\[ I_{\text{circ}} = \frac{\pi \times 0,0625}{64} \] \[ I_{\text{circ}} \approx \frac{0,19635}{64} \] \[ I_{\text{circ}} \approx 0,00307\,\text{m}^4 \]
C. Section en I (I-beam)
Pour une section en I, on décompose la section en trois rectangles : les deux brides (flanges) et l’âme (web). On calcule d’abord le moment d’inertie de chaque élément par rapport à son propre centre, puis on applique le théorème des axes parallèles pour obtenir le moment d’inertie par rapport à l’axe neutre global.
Données :
- Hauteur totale : \(h = 600\,\text{mm} = 0,6\,\text{m}\),
- Largeur de la bride : \(b_f = 300\,\text{mm} = 0,3\,\text{m}\),
- Épaisseur de la bride : \(t_f = 25\,\text{mm} = 0,025\,\text{m}\),
- Épaisseur de l’âme : \(t_w = 15\,\text{mm} = 0,015\,\text{m}\)
- Hauteur de l’âme : \(h_w = h – 2t_f = 600 – 50 = 550\,\text{mm} = 0,55\,\text{m}\)
Calcul des brides (haute et basse) :
1. Moment d’inertie de la bride par rapport à son propre centre :
\[ I_{\text{flange, local}} = \frac{b_f \times t_f^3}{12} \] \[ I_{\text{flange, local}} = \frac{0,3 \times (0,025)^3}{12} \] \[ I_{\text{flange, local}} = \frac{0,3 \times 1,5625 \times 10^{-5}}{12} \] \[ I_{\text{flange, local}} \approx 3,9063 \times 10^{-7}\,\text{m}^4 \]
2. Aire de la bride :
\[ A_f = b_f \times t_f \] \[ A_f = 0,3 \times 0,025 \] \[ A_f = 0,0075\,\text{m}^2 \]
3. Distance entre le centre de la bride et le centre de gravité global de la section :
Le centre de gravité global se trouve au milieu de la hauteur totale, soit à \(y = \frac{h}{2} = 0,3\,\text{m}\). Pour la bride supérieure, le centre se situe à
\[ y = h – \frac{t_f}{2} \] \[ y = 0,6 – 0,0125 \] \[ y = 0,5875\,\text{m}. \]
La distance \(d\) est :
\[ d = 0,5875 – 0,3 \] \[ d = 0,2875\,\text{m} \]
4. Application du théorème des axes parallèles pour la bride supérieure :
\[ I_{\text{flange, sup}} = I_{\text{flange, local}} + A_f \times d^2 \] \[ I_{\text{flange, sup}} = 3,9063 \times 10^{-7} + 0,0075 \times (0,2875)^2 \] \[ I_{\text{flange, sup}} \approx 0,00061995\,\text{m}^4 \] \((\text{le terme } I_{\text{flange, local}} \text{ est négligeable})\)
La bride inférieure est symétrique, donc :
\[ I_{\text{flange, inf}} \approx 0,00061995\,\text{m}^4 \]
Calcul de l’âme (web) :
1. Moment d’inertie de l’âme par rapport à son centre (qui coïncide avec le centre global) :
\[ I_{\text{web}} = \frac{t_w \times h_w^3}{12} \]
\[ h_w^3 = (0,55)^3 \approx 0,16638\,\text{m}^3 \]
\[ \Rightarrow \quad I_{\text{web}} = \frac{0,015 \times 0,16638}{12} \] \[ I_{\text{web}} \approx \frac{0,0024957}{12} \] \[ I_{\text{web}} \approx 0,0002080\,\text{m}^4 \]
Moment d’inertie total de la section en I :
\[ I_{\text{I}} = I_{\text{flange, sup}} + I_{\text{flange, inf}} + I_{\text{web}} \] \[ I_{\text{I}} \approx 0,00061995 + 0,00061995 + 0,0002080 \] \[ I_{\text{I}} \approx 0,0014489\,\text{m}^4 \]
En arrondissant :
\[ I_{\text{I}} \approx 0,00145\,\text{m}^4 \]
4. Calcul de la contrainte maximale dans chaque section
La contrainte maximale due à la flexion s’obtient avec la formule :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \times c}{I} \]
où \(c\) est la distance entre l’axe neutre et la fibre extrême.
Données communes :
- \(M_{\text{max}} = 62,5\,\text{kN·m} = 62\,500\,\text{N·m}\)
- Pour chaque section, \(c\) dépend de la géométrie.
A. Section rectangulaire
- \(c = \frac{h}{2} = \frac{0,6}{2} = 0,3\,\text{m}\),
- \(I_{\text{rect}} = 0,0054\,\text{m}^4\)
Calcul :
\[ \sigma_{\text{rect}} = \frac{62\,500 \times 0,3}{0,0054} \] \[ \sigma_{\text{rect}} \approx \frac{18\,750}{0,0054} \] \[ \sigma_{\text{rect}} \approx 3\,472\,222\,\text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{rect}} \approx 3,47\,\text{MPa} \]
B. Section circulaire
- \(c = \frac{d}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25\,\text{m}\),
- \(I_{\text{circ}} \approx 0,00307\,\text{m}^4\)
Calcul :
\[ \sigma_{\text{circ}} = \frac{62\,500 \times 0,25}{0,00307} \] \[ \sigma_{\text{circ}} \approx \frac{15\,625}{0,00307} \] \[ \sigma_{\text{circ}} \approx 5\,086\,000\,\text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{circ}} \approx 5,09\,\text{MPa} \]
C. Section en I
- \(c = \frac{h}{2} = 0,3\,\text{m}\),
- \(I_{\text{I}} \approx 0,00145\,\text{m}^4\)
Calcul :
\[ \sigma_{\text{I}} = \frac{62\,500 \times 0,3}{0,00145} \] \[ \sigma_{\text{I}} \approx \frac{18\,750}{0,00145} \] \[ \sigma_{\text{I}} \approx 12\,931\,034\,\text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{I}} \approx 12,93\,\text{MPa} \]
5. Calcul de la flèche maximale pour chaque type de section
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, la flèche maximale \(\delta_{\text{max}}\) est donnée par :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, E \, I} \]
où \(E\) est le module d’élasticité et \(I\) le moment d’inertie de la section.
Données communes :
- \(q = 5\,\text{kN/m} = 5000\,\text{N/m}\),
- \(L = 10\,\text{m}\),
- \(E = 210\,\text{GPa} = 210 \times 10^9\,\text{N/m}^2\)
A. Pour la section rectangulaire
- \(I_{\text{rect}} = 0,0054\,\text{m}^4\)
Calcul :
1. Calcul du numérateur :
\[ 5 \times q \times L^4 = 5 \times 5000 \times (10)^4 \] \[ = 5 \times 5000 \times 10\,000 \] \[ = 250\,000\,000\,\text{N·m}^4 \]
2. Calcul du dénominateur :
\[ 384 \times E \times I_{\text{rect}} = 384 \times 210 \times 10^9 \times 0,0054 \] \[ \approx 384 \times (1,134 \times 10^9) \] \[ \approx 435,456 \times 10^9 \] \[ = 4,35456 \times 10^{11} \]
3. Flèche maximale :
\[ \delta_{\text{rect}} = \frac{250\,000\,000}{4,35456 \times 10^{11}} \] \[ \delta_{\text{rect}} \approx 5,74 \times 10^{-4}\,\text{m} \] \[ \delta_{\text{rect}} \approx 0,57\,\text{mm} \]
B. Pour la section circulaire
- \(I_{\text{circ}} \approx 0,00307\,\text{m}^4\)
Calcul :
1. Numérateur identique : \(250\,000\,000\,\text{N·m}^4\).
2. Dénominateur :
\[ = 384 \times 210 \times 10^9 \times 0,00307 \] \[ \approx 384 \times (644,7 \times 10^6) \] \[ \approx 2,476 \times 10^{11} \]
3. Flèche maximale :
\[ \delta_{\text{circ}} = \frac{250\,000\,000}{2,476 \times 10^{11}} \] \[ \delta_{\text{circ}} \approx 1,01 \times 10^{-3}\,\text{m} \] \[ \delta_{\text{circ}} \approx 1,01\,\text{mm} \]
C. Pour la section en I
- \(I_{\text{I}} \approx 0,00145\,\text{m}^4\)
Calcul :
1. Numérateur : \(250\,000\,000\,\text{N·m}^4\).
2. Dénominateur :
\[ = 384 \times 210 \times 10^9 \times 0,00145 \] \[ \approx 384 \times (304,5 \times 10^6) \] \[ \approx 1,16832 \times 10^{11} \]
3. Flèche maximale :
\[ \delta_{\text{I}} = \frac{250\,000\,000}{1,16832 \times 10^{11}} \] \[ \delta_{\text{I}} \approx 2,14 \times 10^{-3}\,\text{m} \] \[ \delta_{\text{I}} \approx 2,14\,\text{mm} \]
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