Déformation Axiale Due à la Température

Comprendre la Déformation Axiale Due à la Température

Un ingénieur civil doit concevoir un pylône de transmission électrique qui traverse une région soumise à des variations de température extrêmes. Le pylône est constitué d’une série de barres en acier alignées verticalement et horizontalement, exposées à des températures variant de -20°C en hiver à 40°C en été. L’ingénieur doit calculer la déformation axiale de ces barres pour s’assurer que la structure peut supporter ces changements sans risque de défaillance.

Comprendre le calcul du Cisaillement simple d’un axe et de le Calcul des déformations dans une poutre,cliquez sur les liens

Données de l’exercice:

Matériau: Acier
Module d’Young (E): 210 GPa (gigapascals)
Coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)): \(12 \times 10^{-6} / ^\circ C\)
Longueur initiale de la barre (\(L_0\)): 30 m
Diamètre de la barre (\(d\)): 5 cm
Température initiale (\(T_0\)): 20°C
Charge axiale appliquée (\(P\)): 50 kN (kilonewtons)
Température finale (\(T_1\)): 40°C

Questions:

1. Calcul de la déformation due à la charge axiale:

Déterminer la déformation axiale causée par la charge appliquée

2. Calcul de la déformation due au changement de température:

Calculer la déformation axiale due au changement de température

3. Déformation totale:

Déterminer la déformation totale de la barre en additionnant les déformations dues à la charge et à la dilatation thermique.

Correction : Déformation Axiale Due à la Température

Module d’Young (E) : 210 GPa = \(210 \times 10^9\) Pa
Charge axiale (P) : 50 kN = 50 000 N

1. Calcul de la déformation due à la charge axiale

La déformation axiale due à une charge (ou allongement par traction) est donnée par la loi de Hooke appliquée en traction, qui s’exprime par :

\[ \delta_{\text{charge}} = \frac{P \times L_0}{A \times E} \]

où :

\(P\) est la charge appliquée,
\(L_0\) la longueur initiale,
\(A\) l’aire de la section transversale de la barre,
\(E\) le module d’Young.

Calcul de l’aire de la section transversale

Pour une section circulaire :

\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]

Substitution des valeurs :

\[ A = \frac{\pi \times (0,05)^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0,0025}{4} \] \[ A \approx \frac{0,00785}{4} \] \[ A \approx 0,0019635 \; \text{m}^2 \]

Substitution dans la formule

\[ \delta_{\text{charge}} = \frac{50\,000 \times 30}{0,0019635 \times 210 \times 10^9} \] \[ \delta_{\text{charge}} = \frac{1\,500\,000}{412\,335\,000} \] \[ \delta_{\text{charge}} \approx 0,003636 \; \text{m} \]

Soit environ 3,64 mm.

2. Calcul de la déformation due au changement de température

La dilatation linéaire due à une variation de température est donnée par :

\[ \delta_{\text{temp}} = \alpha \times \Delta T \times L_0 \]

où :

\(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique,
\(\Delta T = T_1 – T_0\) est l’écart de température,
\(L_0\) est la longueur initiale.

Calcul de l’écart de température

\[ \Delta T = T_1 – T_0 \] \[ \Delta T = 40^\circ\text{C} – 20^\circ\text{C} \] \[ \Delta T = 20^\circ\text{C} \]

Substitution dans la formule

\[ \delta_{\text{temp}} = 12 \times 10^{-6} \times 20 \times 30 \] \[ \delta_{\text{temp}} = 12 \times 10^{-6} \times 600 \] \[ \delta_{\text{temp}} = 7,2 \times 10^{-3} \; \text{m} \]

Soit 7,2 mm.

3. Déformation totale

La déformation totale de la barre est obtenue en additionnant la déformation due à la charge axiale et la déformation due à la dilatation thermique :

\[ \delta_{\text{total}} = \delta_{\text{charge}} + \delta_{\text{temp}} \] \[ \delta_{\text{total}} = 0,003636 \; \text{m} + 0,0072 \; \text{m} \] \[ \delta_{\text{total}} \approx 0,010836 \; \text{m} \]

Soit environ 10,84 mm.