Critère de Rupture de Von Mises

Comprendre le critère de Rupture de Von Mises

Vous êtes ingénieur en génie civil et travaillez sur la conception d’une poutre en acier qui fera partie d’une structure de pont. Cette poutre sera soumise à divers types de charges et contraintes en service. Pour garantir la sécurité et la durabilité de la structure, vous devez vérifier que la poutre respecte le critère de rupture de Von Mises.

Pour comprendre le Calcul des déformations dans une poutre, cliquez sur le lien.

Données :

Matériau de la poutre: Acier avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
La poutre est soumise à un état de contrainte triaxial avec les contraintes principales suivantes :
- σ1 = 60 MPa (tension)
- σ2 = -30 MPa (compression)
- σ3 = 40 MPa (tension)
La poutre subit également une contrainte de cisaillement τxy = 20 MPa.

Question :

1. Calculez la contrainte équivalente de Von Mises pour la poutre.

2. Déterminez si la poutre répond aux critères de sécurité selon le critère de rupture de Von Mises.

3. Commentez sur la marge de sécurité de la conception.

Correction : critère de Rupture de Von Mises

1. Calcul de la contrainte équivalente de Von Mises

Le critère de Von Mises permet de déterminer si un matériau ductile (ici, l’acier) va céder sous un état de sollicitation multiaxial. L’idée est de transformer l’état de contraintes tridimensionnel en une contrainte équivalente, qui, si elle dépasse la limite d’élasticité, indiquera une mise en défaut du matériau.

Formule

Pour un état de contrainte 3D comportant trois contraintes principales, \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), \( \sigma_3 \), et une contrainte de cisaillement \( \tau_{xy} \) (agissant sur un plan particulier), la contrainte équivalente de Von Mises se calcule selon :

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac{(\sigma_1 – \sigma_2)^2 + (\sigma_2 – \sigma_3)^2 + (\sigma_3 – \sigma_1)^2}{2} + 3\,\tau_{xy}^2 }. \]

Remarque : Cette formule intègre la contribution des différences entre les contraintes normales (via les trois termes) et celle de la contrainte de cisaillement.

Données du problème:

– Matériau de la poutre : Acier avec une limite d’élasticité \( \sigma_{y} = 250\text{ MPa} \).

– Contraintes normales :

\( \sigma_1 = 60\text{ MPa} \) (tension)
\( \sigma_2 = -30\text{ MPa} \) (compression)
\( \sigma_3 = 40\text{ MPa} \) (tension)

– Contrainte de cisaillement :

\( \tau_{xy} = 20\text{ MPa} \)

Calcul détaillé:

1. Calcul des différences de contraintes:

\(\sigma_1 – \sigma_2 = 60 – (-30) = 90\text{ MPa},\)
\(\sigma_2 – \sigma_3 = -30 – 40 = -70\text{ MPa},\)
\(\sigma_3 – \sigma_1 = 40 – 60 = -20\text{ MPa}.\)

2. Calcul des carrés de ces différences

\((90)^2 = 8100\text{ MPa}^2,\)
\((-70)^2 = 4900\text{ MPa}^2,\)
\((-20)^2 = 400\text{ MPa}^2.\)

3. Somme et division par 2

\[ \frac{8100 + 4900 + 400}{2} = \frac{13400}{2} = 6700\text{ MPa}^2. \]

4. Contribution de la contrainte de cisaillement

\[ 3\,\tau_{xy}^2 = 3 \times (20)^2 = 3 \times 400 = 1200\text{ MPa}^2. \]

5. Somme totale sous la racine

\[ 6700 + 1200 = 7900\text{ MPa}^2. \]

6. Calcul de la contrainte équivalente de Von Mises

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{7900} \approx 88.9\text{ MPa}. \]

2. Vérification du critère de sécurité

Pour que la poutre reste dans le domaine élastique et ne cède pas, il faut que la contrainte équivalente calculée soit inférieure ou égale à la limite d’élasticité du matériau.

Limite d’élasticité de l’acier : \( 250\text{ MPa} \)
Contrainte équivalente calculée : \( \sigma_{VM} \approx 88.9\text{ MPa} \)

Conclusion

Puisque

\[ 88.9\text{ MPa} < 250\text{ MPa}, \]

la poutre respecte bien le critère de rupture de Von Mises et ne devrait pas entrer en plasticité sous l’état de charge considéré.

3. Commentaire sur la marge de sécurité

Calcul du facteur de sécurité

Le facteur de sécurité peut être défini comme le rapport entre la limite d’élasticité et la contrainte équivalente réelle :

\[ \text{Facteur de sécurité} = \frac{250\text{ MPa}}{88.9\text{ MPa}} \] \[ \text{Facteur de sécurité} \approx 2.81. \]

Interprétation

Un facteur de sécurité de 2.81 signifie que la poutre peut théoriquement supporter environ 2.8 fois la charge actuelle avant d’atteindre la limite d’élasticité.
Cela indique une marge de sécurité confortable, ce qui est essentiel dans les applications en génie civil pour tenir compte des incertitudes liées aux charges, aux imperfections de fabrication et aux variations des propriétés du matériau.

Conclusion Générale

Contrainte équivalente de Von Mises : \( \sigma_{VM} \approx 88.9\text{ MPa} \)
Comparaison : \( 88.9\text{ MPa} < 250\text{ MPa} \)
→ La poutre est bien en dessous de la limite d’élasticité.
Marge de sécurité : Un facteur de sécurité d’environ 2.81 indique une conception robuste et sécuritaire.

La poutre en acier répond ainsi aux critères de sécurité selon le critère de rupture de Von Mises.

Critère de Rupture de Von Mises

D’autres exercices de Rdm: