Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Comprendre les Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Vous êtes un ingénieur géotechnique chargé d’analyser les contraintes dans un échantillon de sol prélevé sur un site de construction prévu pour un immeuble de bureaux.

L’échantillon de sol est soumis à un test triaxial pour déterminer ses propriétés mécaniques, notamment sa résistance au cisaillement. Les résultats du test vous fournissent les contraintes principales appliquées sur l’échantillon.

Votre tâche est de déterminer les contraintes normales et de cisaillement maximales agissant sur l’échantillon de sol à l’aide du cercle de Mohr.

Données:

  • Contrainte principale majeure (\(\sigma_1\)): 150 kPa
  • Contrainte principale mineure (\(\sigma_3\)): 50 kPa
  • Orientation de l’échantillon: La contrainte principale majeure est verticale.

Questions:

1. Dessiner le cercle de Mohr pour l’échantillon de sol.
2. Calculer la contrainte normale maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)).
3. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)).
4. Déterminer l’orientation des plans sur lesquels ces contraintes maximales agissent.

Correction : Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

1. Cercle de Mohr pour l’échantillon de sol.

A. Calcul du centre et du rayon du cercle de Mohr

Pour un élément de sol soumis à des contraintes principales \(\sigma_1\) (majeure) et \(\sigma_3\) (mineure), le cercle de Mohr permet de déterminer graphiquement les contraintes agissant sur des plans inclinés par rapport aux axes principaux.

Centre \(C\) du cercle

Le centre du cercle est situé à une contrainte normale moyenne entre les deux contraintes principales.

Il est calculé comme la moyenne de \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\).

\[ C = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \] \[
C = \frac{150 + 50}{2} \] \[ C = 100 \, \text{kPa} \]

Rayon \(R\) du cercle

Le rayon du cercle correspond à la moitié de la différence entre les contraintes principales, représentant la variation maximale de la contrainte de cisaillement.

\[ R = \frac{\sigma_1 – \sigma_3}{2} \] \[
R = \frac{150 – 50}{2} \] \[ R = 50 \, \text{kPa} \]

Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

2. Calcul de la contrainte normale maximale \(\sigma_{max}\)

La contrainte normale maximale agissant sur l’échantillon est trouvée en ajoutant le rayon du cercle au centre.

\[ \sigma_{max} = C + R \]

Cela donne

\[ \sigma_{max} = 100 + 50 \] \[ \sigma_{max} = 150 \, \text{kPa} \]

qui est égale à la contrainte principale majeure \(\sigma_1\), comme attendu pour cet état de contrainte.

3. Calcul de la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{max}\)

La contrainte de cisaillement maximale est égale au rayon du cercle de Mohr, car c’est la valeur maximale que la contrainte de cisaillement peut atteindre pour n’importe quelle orientation du plan de coupe dans l’échantillon.

\[ \tau_{max} = R = 50 \, \text{kPa} \]

4. Détermination de l’orientation des plans

Les contraintes maximales (normale et de cisaillement) agissent sur des plans orientés à 45° par rapport aux directions des contraintes principales.

Cela est dû à la géométrie du cercle de Mohr, où un déplacement angulaire de \(2\theta\) sur le cercle correspond à une rotation physique de \(\theta\) dans l’échantillon de sol.

Résumé de la Correction

Le centre du cercle de Mohr (\(C\)) se trouve à 100 kPa, et son rayon (\(R\)) est de 50 kPa. La contrainte normale maximale (\(\sigma_{max}\)) est de 150 kPa, correspondant à la contrainte principale majeure.

La contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) est de 50 kPa et se produit sur des plans inclinés à 45° par rapport aux axes principaux de contrainte.

Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

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