Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé
Comprendre les Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé
Une section rectangulaire de bois lamellé-collé est analysée pour déterminer les contraintes résultant de différentes sollicitations. La section a des dimensions spécifiques et est composée de plusieurs lamelles superposées.
Pour comprendre l’Analyse d’un Système de Plancher en Bois, cliquez sur le lien.
Dimensions de la Section :
- Largeur : 200 mm
- Hauteur : 400 mm
- Épaisseur des lamelles : 100 mm
- Nombre de lamelles : 4 (numérotées de 1 à 4)
Sollicitations Appliquées :
- Effort normal (Nx) :
- Direction : Axiale
- Intensité : +720 kN
- Nature : Traction (Tr)
- Effort tranchant (Vy) :
- Direction : Verticale
- Intensité : +19 200 daN
- Nature : Cisaillement
- Moment fléchissant (Mz) :
- Axe : Horizontal
- Intensité : +48 MN·m
- Nature : Flexion
Questions :
Calculer et exprimer les contraintes générées par chaque sollicitation :
- Dans les fibres extrêmes (en haut et en bas de la section)
- Dans les fibres intermédiaires (au niveau des plans de collage des lamelles)
Correction : Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé
1. Calcul de la contrainte normale due à l’effort axial (\(N_x\))
L’effort axial en traction réparti sur l’aire de la section engendre une contrainte uniforme dans toute la section. La contrainte est donnée par la formule :
\[ \sigma_N = \frac{N_x}{A} \]
Formule
\[ \sigma_N = \frac{N_x}{A} \quad \text{avec} \quad A = \text{largeur} \times \text{hauteur} \]
Données
- \(N_x = +720\,\text{kN} = 720\,000\,\text{N}\)
- Largeur \(b = 200\,\text{mm}\)
- Hauteur \(h = 400\,\text{mm}\)
- Aire \(A = 200\,\text{mm} \times 400\,\text{mm} = 80\,000\,\text{mm}^2\)
Calcul
\[ \sigma_N = \frac{720\,000\,\text{N}}{80\,000\,\text{mm}^2} \] \[ \sigma_N = 9\,\text{N/mm}^2 \quad (9\,\text{MPa}) \]
2. Calcul de la contrainte due au moment fléchissant (\(M_z\))
Le moment fléchissant induit une contrainte qui varie linéairement selon la distance \(y\) par rapport à l’axe neutre (situé au centre de la hauteur). La contrainte en flexion est donnée par :
\[ \sigma_M = \frac{M_z \cdot y}{I} \]
où \(I\) est le moment d’inertie de la section rectangulaire.
a) Formule et données pour le moment d’inertie
Pour une section rectangulaire :
\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
- \(b = 200\,\text{mm}\)
- \(h = 400\,\text{mm}\)
Calcul de \(I\) :
\[ I = \frac{200 \times 400^3}{12} \] \[ I = \frac{200 \times 64\,000\,000}{12} \] \[ I = \frac{12\,800\,000\,000}{12} \] \[ I \approx 1\,066\,666\,667\,\text{mm}^4 \quad (\approx 1.07 \times 10^9\,\text{mm}^4) \]
b) Conversion et calcul pour \(M_z\)
Le moment fléchissant est donné en MN·m :
- \(M_z = +48\,\text{MN·m} = 48 \times 10^6\,\text{N·m}\)
Pour être cohérent avec les unités en mm, on convertit en N·mm :
\[ 48\,\text{MN·m} = 48 \times 10^6\,\text{N·m} \times 1\,000\,\frac{\text{mm}}{\text{m}} \] \[ = 48 \times 10^9\,\text{N·mm} \]
c) Calcul pour les fibres extrêmes
Les fibres extrêmes se situent à \(y = \frac{h}{2} = 200\,\text{mm}\) de l’axe neutre.
\[ \sigma_{M,\text{extrêmes}} = \frac{48 \times 10^9\,\text{N·mm} \times 200\,\text{mm}}{1.07 \times 10^9\,\text{mm}^4} \]
Calcul :
\[ \sigma_{M,\text{extrêmes}} \approx \frac{9.6 \times 10^{12}}{1.07 \times 10^9} \] \[ \sigma_{M,\text{extrêmes}} \approx 8\,971\,\text{N/mm}^2 \quad (\text{arrondi à } \approx 9\,000\,\text{MPa}) \]
Remarque sur le signe :
En flexion, si l’on considère un moment positif qui engendre une compression dans la fibre supérieure et une traction dans la fibre inférieure, la contrainte totale se combinera à la contrainte normale \( \sigma_N \).
- Fibre supérieure : \(\sigma_{\text{tot}} = \sigma_N – \sigma_{M}\)
- Fibre inférieure : \(\sigma_{\text{tot}} = \sigma_N + \sigma_{M}\)
d) Calcul pour les fibres intermédiaires (au niveau des plans de collage)
Les plans de collage se situent entre les lamelles. Dans la pile de 4 lamelles (chacune de \(100\,\text{mm}\) d’épaisseur), on considère par exemple la limite entre la 1ère et la 2ème lamelle, qui se trouve à \(y = 100\,\text{mm}\) de l’axe neutre (soit 100 mm du bord supérieur, puisque l’axe neutre est à 200 mm).
\[ \sigma_{M,\text{intermédiaires}} = \frac{48 \times 10^9\,\text{N·mm} \times 100\,\text{mm}}{1.07 \times 10^9\,\text{mm}^4} \]
Calcul :
\[ \sigma_{M,\text{intermédiaires}} \approx \frac{4.8 \times 10^{12}}{1.07 \times 10^9} \] \[ \sigma_{M,\text{intermédiaires}} \approx 4\,485\,\text{N/mm}^2 \quad (\text{arrondi à } \approx 4\,500\,\text{MPa}) \]
3. Calcul de la contrainte due à l’effort tranchant (\(V_y\))
La contrainte de cisaillement dans une section rectangulaire se calcule à partir de la formule :
\[ \tau = \frac{3}{2} \cdot \frac{V_y}{A} \]
Cette formule donne la contrainte de cisaillement maximale, qui intervient au niveau de l’axe neutre.
Formule
\[ \tau = \frac{3}{2} \cdot \frac{V_y}{b \cdot h} \]
Données
- \(V_y = +19\,200\,\text{daN}\)
Convertissons en N : \(1\,\text{daN} = 10\,\text{N} \Rightarrow V_y = 19\,200 \times 10 = 192\,000\,\text{N}\) - \(b = 200\,\text{mm}\)
- \(h = 400\,\text{mm}\)
- Aire \(A = b \cdot h = 200 \times 400 = 80\,000\,\text{mm}^2\)
Calcul
\[ \tau = \frac{3}{2} \cdot \frac{192\,000\,\text{N}}{80\,000\,\text{mm}^2} \] \[ \tau = \frac{3}{2} \cdot 2.4\,\text{N/mm}^2 \] \[ \tau = 3.6\,\text{N/mm}^2 \quad (3.6\,\text{MPa}) \]
4. Synthèse des contraintes dans la section
a) Contraintes combinées
Les sollicitations se superposent. Ainsi, la contrainte totale dans une fibre donnée est la somme de la contrainte normale et de la contrainte due à la flexion.
Fibres extrêmes (haut et bas) :
- Contrainte normale : \(+9\,\text{MPa}\)
- Contrainte de flexion : \(\approx 9\,000\,\text{MPa}\)
Fibre supérieure (compression) :
\[ \sigma_{\text{tot}} = 9 – 9\,000 \] \[ \sigma_{\text{tot}} \approx -8\,991\,\text{MPa} \]
Fibre inférieure (traction) :
\[ \sigma_{\text{tot}} = 9 + 9\,000 \] \[ \sigma_{\text{tot}} \approx 9\,009\,\text{MPa} \]
Fibres intermédiaires (au niveau des plans de collage) :
- Contrainte normale : \(+9\,\text{MPa}\)
- Contrainte de flexion : \(\approx 4\,500\,\text{MPa}\)
Fibre supérieure intermédiaire (compression) :
\[ \sigma_{\text{tot}} = 9 – 4\,500 \] \[ \sigma_{\text{tot}} \approx -4\,491\,\text{MPa} \]
Fibre inférieure intermédiaire (traction) :
\[ \sigma_{\text{tot}} = 9 + 4\,500 \] \[ \sigma_{\text{tot}} \approx 4\,509\,\text{MPa} \]
Note sur le cisaillement :
La contrainte de cisaillement maximale de \(3.6\,\text{MPa}\) s’applique principalement au niveau de l’axe neutre. Elle agit en complément des sollicitations normales et de flexion, mais sa répartition est différente et ne s’additionne pas directement aux contraintes normales dans l’analyse classique.
Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé
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