Contrainte ultime pour une charge inclinée
Comprendre la Contrainte ultime pour une charge inclinée
Vous êtes ingénieur en génie civil et devez concevoir les fondations d’un bâtiment. Une des fondations sera soumise à une charge inclinée due à la structure du bâtiment.
Votre tâche est de calculer la contrainte ultime de cette fondation pour assurer la sécurité et la stabilité de la construction.
Données :
- Charge appliquée (P) : 1500 kN
- Angle d’inclinaison de la charge (θ) par rapport à la verticale : 25 degrés
- Dimensions de la fondation : 2m x 3m
- Profondeur de la fondation : 1,5 m
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Angle de frottement du sol (φ) : 30 degrés
- Cohésion du sol (C) : 25 kN/m²
Questions :
- Calculez la contrainte verticale (σv) et la contrainte horizontale (σh) dues à la charge inclinée.
- Déterminez la contrainte ultime (qu) en utilisant la théorie de la capacité portante de Terzaghi ou une autre méthode appropriée.
- Évaluez si la contrainte ultime est suffisante pour supporter la charge appliquée. Considérez un facteur de sécurité de 3.
Correction : Contrainte ultime pour une charge inclinée
1. Calcul des contraintes verticale et horizontale
Contrainte Verticale (σv)
La contrainte verticale est due à la composante verticale de la charge. Elle se calcule comme suit :
\[ \sigma_v = \frac{P \cdot \cos(\theta)}{\text{Aire de la fondation}} \]
Avec \( P = 1500 \, \text{kN} \) et \( \theta = 25° \). L’aire de la fondation est \( 2m \times 3m = 6m^2 \).
\[ \sigma_v = \frac{1500 \cdot \cos(25°)}{6} \]
Calculons cette valeur.
\[ \sigma_v = \frac{1500 \cdot \cos(25°)}{6} \]
Le résultat pour la contrainte verticale (σv) est d’environ \( 226.58 \, \text{kN/m}^2 \).
Contrainte Horizontale (σh)
De manière similaire, la contrainte horizontale résulte de la composante horizontale de la charge :
\[ \sigma_h = \frac{P \cdot \sin(\theta)}{\text{Aire de la fondation}} \]
\[ \sigma_h = \frac{1500 \cdot \sin(25°)}{6} \]
Calculons cette valeur.
\[ \sigma_h = \frac{1500 \cdot \sin(25°)}{6} \]
Le résultat pour la contrainte horizontale (σh) est d’environ \( 105.65 \, \text{kN/m}^2 \).
2. Détermination de la contrainte ultime (qu)
Pour calculer la contrainte ultime, nous utiliserons la théorie de la capacité portante de Terzaghi. La formule est la suivante :
\( qu = C \cdot N_c + γ \cdot D_f \cdot N_q + 0.5 \cdot γ \cdot B \cdot N_γ \)
Où :
- \( C \) est la cohésion du sol \( (25 \, \text{kN/m}^2) \),
- \( \gamma \) est le poids volumique du sol \( (18 \, \text{kN/m}^3) \),
- \( D_f \) est la profondeur de la fondation \( (1.5 \, \text{m}) \),
- \( B \) est la largeur de la fondation \( (2 \, \text{m}) \).
Les facteurs \( N_c \), \( N_q \), et \( N_γ \) dépendent de l’angle de frottement \( φ \) (30°). Supposons que nous avons les valeurs suivantes :
- \( N_c = 30.14 \),
- \( N_q = 18.4 \),
- \( N_γ = 22.5 \).
Calculons maintenant la contrainte ultime :
\( qu = 25 \cdot 30.14 + 18 \cdot 1.5 \cdot 18.4 + 0.5 \cdot 18 \cdot 2 \cdot 22.5 \)
Le résultat pour la contrainte ultime (qu) est d’environ \( 1655.3 \, \text{kN/m}^2 \).
3. Évaluation de la capacité portante
Pour évaluer si la fondation peut supporter la charge appliquée, nous devons comparer la contrainte due à la charge (σv, σh) avec la contrainte ultime (qu), en prenant en compte un facteur de sécurité (FS). Dans cet exercice, le facteur de sécurité est de 3.
La contrainte verticale appliquée doit être inférieure à \( \frac{qu}{FS} \).
\[ \frac{qu}{FS} = \frac{1655.3}{3} \] \[ \approx 551.77 \, \text{kN/m}^2
\]
Comparons cela à la contrainte verticale appliquée (σv) :
\( σ_v = 226.58 \, \text{kN/m}^2 < 551.77 \, \text{kN/m}^2 \)
La contrainte verticale appliquée est donc inférieure à la contrainte admissible avec le facteur de sécurité.
Pour la contrainte horizontale, il est également nécessaire d’évaluer si elle peut être supportée par le sol, mais cela impliquerait des considérations supplémentaires telles que la résistance au glissement et au renversement, qui ne sont pas couvertes par cette formule simple.
En conclusion, selon l’analyse de la contrainte verticale, la fondation semble capable de supporter la charge appliquée avec le facteur de sécurité donné.
Toutefois, une évaluation complète nécessiterait également une analyse de la contrainte horizontale et d’autres aspects de la conception de la fondation.
Contrainte ultime pour une charge inclinée
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