Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
Comprendre la Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
Un ingénieur en génie civil est chargé de concevoir une poutre en acier qui doit supporter des charges spécifiques dans un bâtiment commercial.
La poutre est soutenue à ses deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie due au poids des équipements qui seront placés dessus.
Pour comprendre la Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Matériau de la poutre : Acier, avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
- Longueur de la poutre (L) : 8 mètres.
- Charge uniformément répartie (q) : 3 kN/m.
- Moment d’inertie de la section transversale (I) : \( 8 \times 10^{-6} \, m^4 \).
- Largeur de la poutre (b) : 300 mm.
- Hauteur de la poutre (h) : 500 mm.
Question:
Calculer la contrainte maximale subie par la poutre au point situé à 2 mètres du milieu de la poutre (en flexion).
Correction : Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
1. Calcul du moment fléchissant \( M(x) \):
La formule du moment fléchissant dans une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie est:
\[ M(x) = \frac{q \cdot L \cdot x}{2} – \frac{q \cdot x^2}{2} \]
Pour \( x = 6 \, m \), substituons les valeurs:
\[ M(6) = \frac{3 \, kN/m \cdot 8 \, m \cdot 6 \, m}{2} – \frac{3 \, kN/m \cdot (6 \, m)^2}{2} \] \[ M(6) = \frac{3 \cdot 8 \cdot 6}{2} – \frac{3 \cdot 36}{2} \] \[ M(6) = 72 – 54 \] \[ M(6) = 18 \, kN\cdot m \] \[ M(6) = 18 \times 10^3 \, N\cdot m \] \[ M(6) = 18000 \, N\cdot m \]
2. Calcul de la contrainte maximale (\( \sigma \)):
La formule de la contrainte maximale due à la flexion est:
\[ \sigma = \frac{M \cdot y_{max}}{I} \]
où \( y_{max} \) est la distance de l’axe neutre à la fibre la plus éloignée:
\[ y_{max} = \frac{h}{2} \] \[ y_{max} = \frac{500 \, mm}{2} \] \[ y_{max} = 250 \, mm = 0.25 \, m \]
Substituons les valeurs dans la formule de la contrainte:
\[ \sigma = \frac{18000 \, N\cdot m \cdot 0.25 \, m}{8 \times 10^{-6} \, m^4} \] \[ \sigma = \frac{4500}{8 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma = 562500000 \, Pa \] \[ \sigma = 562.5 \, MPa \]
Conclusion:
La contrainte maximale calculée au point situé à 6 m du support est de 562.5 MPa, ce qui dépasse la limite d’élasticité de l’acier (250 MPa).
Cette contrainte élevée suggère que la poutre pourrait subir une déformation plastique ou une rupture sous la charge actuelle.
Il est nécessaire de revoir le design, peut-être en augmentant le moment d’inertie de la section, en utilisant un matériau avec une plus grande limite d’élasticité, ou en réduisant la charge appliquée.
Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
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