Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Comprendre la Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Un ingénieur en génie civil est chargé de concevoir une poutre en acier qui doit supporter des charges spécifiques dans un bâtiment commercial. La poutre est soutenue à ses deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie due au poids des équipements qui seront placés dessus.

Pour comprendre la Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre, cliquez sur le lien.

Données de l’exercice:

Matériau de la poutre : Acier, avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
Longueur de la poutre (L) : 8 mètres.
Charge uniformément répartie (q) : 3 kN/m.
Moment d’inertie de la section transversale (I) : \( 8 \times 10^{-6} \, m^4 \).
Largeur de la poutre (b) : 300 mm.
Hauteur de la poutre (h) : 500 mm.

Contrainte en un Point Spécifique d'une Poutre

Question:

Calculer la contrainte maximale subie par la poutre au point situé à 2 mètres du milieu de la poutre (en flexion).

Correction : Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

1. Calcul des réactions aux appuis

Données :

Longueur totale de la poutre, \(L = 8\,\text{m}\)
Charge uniformément répartie, \(q = 3\,\text{kN/m}\)

Formule de la réaction (pour une poutre simplement appuyée) :

\[ R = \frac{q \times L}{2} \]

Calcul :

\[ R = \frac{3\,\text{kN/m} \times 8\,\text{m}}{2} \] \[ R = \frac{24\,\text{kN}}{2} \] \[ R = 12\,\text{kN} \]

Interprétation : La réaction à chacun des appuis vaut 12 kN.

2. Calcul du moment fléchissant au point d’intérêt

Données :

Position du point d’étude : \(x = 6\,\text{m}\) (puisque le milieu est à \(4\,\text{m}\) et on se place à 2 m de ce milieu)
Réaction \(R = 12\,\text{kN}\)
Charge uniformément répartie \(q = 3\,\text{kN/m}\)

Formule du moment fléchissant à une distance \(x\) du support :

\[ M(x) = R \times x – \frac{q \times x^2}{2} \]

Calcul pour \(x = 6\,\text{m}\) :

\[ M(6) = 12\,\text{kN} \times 6\,\text{m} – \frac{3\,\text{kN/m} \times (6\,\text{m})^2}{2} \] \[ M(6) = 72\,\text{kN·m} – \frac{3 \times 36\,\text{kN·m}}{2} \] \[ M(6) = 72\,\text{kN·m} – \frac{108\,\text{kN·m}}{2} \] \[ M(6) = 72\,\text{kN·m} – 54\,\text{kN·m} \] \[ M(6) = 18\,\text{kN·m} \]

Remarque : Le moment fléchissant calculé est \(18\,\text{kN·m}\). Pour la suite, on convertit en unités de base :

\[ 18\,\text{kN·m} = 18\,000\,\text{N·m} \]

3. Calcul de la contrainte de flexion

Données supplémentaires :

Hauteur de la poutre, \(h = 500\,\text{mm} = 0,5\,\text{m}\)
Moment d’inertie de la section, \(I = 8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4\)

Calcul de la distance maximale \(y\) (distance du neutre à la fibre extrême) :

\[ y = \frac{h}{2} = \frac{0,5\,\text{m}}{2} = 0,25\,\text{m} \]

Formule de la contrainte de flexion :

\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]

Substitution des valeurs :

\[ \sigma = \frac{18\,000\,\text{N·m} \times 0,25\,\text{m}}{8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4} \] \[ \sigma = \frac{4\,500\,\text{N·m}}{8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4} \] \[ \sigma = 562\,500\,000\,\text{N/m}^2 \] \[ \sigma = 562,5\,\text{MPa} \]

Interprétation : La contrainte maximale en flexion au point considéré est de \(562,5\,\text{MPa}\).

4. Conclusion et vérification

Comparaison avec la limite d’élasticité :
La poutre est en acier avec une limite d’élasticité de \(250\,\text{MPa}\). La contrainte calculée, \(562,5\,\text{MPa}\), dépasse largement cette limite, indiquant que sous ces charges et à ce point, la poutre dépasserait le comportement élastique de l’acier et risquerait de subir une déformation permanente ou une rupture.
Remarque finale :
Ce résultat est une mise en garde dans la conception. En pratique, l’ingénieur devra revoir les dimensions ou les matériaux de la poutre, ou redistribuer la charge, afin de garantir que la contrainte reste inférieure à la limite d’élasticité du matériau.

Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

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