Compressibilité d’une Huile sous Pression

Comprendre la Compressibilité d’une Huile sous Pression

Un réservoir sphérique de 2 mètres de diamètre est rempli d’huile (considérée comme un fluide incompressible). Ce réservoir est connecté à un système qui permet d’augmenter la pression interne de l’huile. On souhaite étudier l’effet de la compressibilité de l’huile (considérée ici comme légèrement compressible) sous différentes pressions.

Données:

Diamètre du réservoir D = 2 m
Module d’élasticité volumique de l’huile \(E = 1.5 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
Volume initial de l’huile \(V_0 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3\)
Pression initiale de l’huile \(P_0 = 1 \, \text{atm}\) (atmosphère standard)
Pressions à étudier: \(P_1 = 10 \, \text{atm}\), \(P_2 = 20 \, \text{atm}\), \(P_3 = 30 \, \text{atm}\)

Compressibilité d'une Huile sous Pression

Questions:

1. Calculer le volume initial de l’huile dans le réservoir.

2. Déterminer la variation du volume de l’huile pour chaque pression \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\).

3. Commenter les résultats obtenus en termes de compressibilité de l’huile et de l’élasticité du réservoir.

Instructions supplémentaires

Assumez que le réservoir reste intact et ne se déforme pas sous la pression.
Utilisez \(1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa}\) pour les conversions de pression.

Correction : Compressibilité d’une Huile sous Pression

1. Calcul du Volume Initial de l’Huile

Le volume d’une sphère est donné par la formule :

\[ V_0 = \frac{4}{3}\pi R^3 \]

avec le rayon \( R = \frac{D}{2} \).

Formule

\[ V_0 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 \]

Données

Diamètre \( D = 2\, \text{m} \)
Donc, \( R = \frac{2}{2} = 1\, \text{m} \)

Calcul

1. Calcul du rayon :

\[ R = \frac{2\, \text{m}}{2} = 1\, \text{m} \]

2. Substitution dans la formule du volume :

\[ V_0 = \frac{4}{3}\pi (1\, \text{m})^3 \] \[ V_0 = \frac{4}{3}\pi \times 1\, \text{m}^3 \] \[ V_0 = \frac{4}{3}\pi\, \text{m}^3 \]

3. Valeur numérique :

\[ \frac{4}{3}\pi \approx \frac{4 \times 3.1416}{3} \approx 4.1888\, \text{m}^3 \]

2. Calcul de la Variation du Volume pour Chaque Pression

Pour un fluide légèrement compressible, la relation entre la variation de pression et la variation de volume est donnée par la formule de compressibilité :

\[ \Delta V = -\frac{V_0}{E} \Delta P \]

avec

\( E \) le module d’élasticité volumique de l’huile,
\( \Delta P = P – P_0 \) la différence de pression (en Pascals).

Conversion de Pression : 1 atm \(= 101325\, \text{Pa}\).

Formule

\[ \Delta V = -\frac{V_0}{E} (P – P_0) \]

Données

\( V_0 = \frac{4}{3}\pi\, \text{m}^3 \approx 4.1888\, \text{m}^3 \)
\( E = 1.5 \times 10^9\, \text{Pa} \)
\( P_0 = 1\, \text{atm} = 101325\, \text{Pa} \)
Pressions à étudier :
– \( P_1 = 10\, \text{atm} \)
– \( P_2 = 20\, \text{atm} \)
– \( P_3 = 30\, \text{atm} \)

Pour chacune, on calculera \( \Delta P = P_i – P_0 \) puis \( \Delta V \).

Cas 1 : \( P_1 = 10\, \text{atm} \)

i) Calcul de \( \Delta P_1 \)

\[ \Delta P_1 = P_1 – P_0 \] \[ \Delta P_1 = 10\, \text{atm} – 1\, \text{atm} \] \[ \Delta P_1 = 9\, \text{atm} \]

Conversion en Pascals :

\[ \Delta P_1 = 9 \times 101325\, \text{Pa} \] \[ \Delta P_1 = 911925\, \text{Pa} \]

ii) Calcul de \( \Delta V_1 \)

\[ \Delta V_1 = -\frac{V_0}{E} \Delta P_1 \] \[ \Delta V_1 = -\frac{4.1888\, \text{m}^3}{1.5 \times 10^9\, \text{Pa}} \times 911925\, \text{Pa} \] \[ \Delta V_1 = – \left(2.7925 \times 10^{-9}\, \text{m}^3/\text{Pa}\right) \times 911925\, \text{Pa} \] \[ \Delta V_1 \approx -2.7925 \times 10^{-9} \times 911925 \] \[ \Delta V_1 \approx -0.002548\, \text{m}^3 \]

Cas 2 : \( P_2 = 20\, \text{atm} \)

i) Calcul de \( \Delta P_2 \)

\[ \Delta P_2 = P_2 – P_0 \] \[ \Delta P_2 = 20\, \text{atm} – 1\, \text{atm} \] \[ \Delta P_2 = 19\, \text{atm} \]

Conversion en Pascals :

\[ \Delta P_2 = 19 \times 101325\, \text{Pa} \] \[ \Delta P_2 = 1\,925\,175\, \text{Pa} \]

ii) Calcul de \( \Delta V_2 \)

\[ \Delta V_2 = -\frac{V_0}{E} \Delta P_2 \] \[ \Delta V_2 = -\frac{4.1888\, \text{m}^3}{1.5 \times 10^9\, \text{Pa}} \times 1\,925\,175\, \text{Pa} \] \[ \Delta V_2 = – \left(2.7925 \times 10^{-9}\, \text{m}^3/\text{Pa}\right) \times 1\,925\,175\, \text{Pa} \] \[ \Delta V_2 \approx -2.7925 \times 10^{-9} \times 1\,925\,175 \] \[ \Delta V_2 \approx -0.005377\, \text{m}^3 \]

Cas 3 : \( P_3 = 30\, \text{atm} \)

i) Calcul de \( \Delta P_3 \)

\[ \Delta P_3 = P_3 – P_0 \] \[ \Delta P_3 = 30\, \text{atm} – 1\, \text{atm} \] \[ \Delta P_3 = 29\, \text{atm} \]

Conversion en Pascals :

\[ \Delta P_3 = 29 \times 101325\, \text{Pa} \] \[ \Delta P_3 = 2\,938\,425\, \text{Pa} \]

ii) Calcul de \( \Delta V_3 \)

\[ \Delta V_3 = -\frac{V_0}{E} \Delta P_3 \] \[ \Delta V_3 = -\frac{4.1888\, \text{m}^3}{1.5 \times 10^9\, \text{Pa}} \times 2\,938\,425\, \text{Pa} \]

\[ \Delta V_3 = – \left(2.7925 \times 10^{-9}\, \text{m}^3/\text{Pa}\right) \times 2\,938\,425\, \text{Pa} \] \[ \Delta V_3 \approx -2.7925 \times 10^{-9} \times 2\,938\,425 \] \[ \Delta V_3 \approx -0.008205\, \text{m}^3 \]

3. Commentaire des Résultats

Interprétation des résultats :
La variation de volume \( \Delta V \) obtenue est négative dans tous les cas, ce qui correspond à une diminution du volume de l’huile lorsque la pression augmente.

Comparaison par rapport au volume initial :

Pour \( P_1 = 10\, \text{atm} \), \( \Delta V_1 \approx -0.00255\, \text{m}^3 \)
Pour \( P_2 = 20\, \text{atm} \), \( \Delta V_2 \approx -0.00538\, \text{m}^3 \)
Pour \( P_3 = 30\, \text{atm} \), \( \Delta V_3 \approx -0.00821\, \text{m}^3 \)

Ces valeurs montrent que, même lorsque la pression augmente considérablement, la diminution du volume reste très faible par rapport au volume initial \( V_0 \approx 4.1888\, \text{m}^3 \). Cela confirme que l’huile est très faiblement compressible.

Hypothèses et contexte :
On a supposé que le réservoir reste rigide et ne se déforme pas, ce qui permet de considérer que toute la variation de volume est due uniquement à la compressibilité de l’huile. La relation linéaire utilisée est valable pour une petite compressibilité, ce qui est le cas ici puisque le module d’élasticité volumique \( E \) est très élevé (\( 1.5 \times 10^9\, \text{Pa} \)).

Compressibilité d’une Huile sous Pression

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