Compressibilité d’une Huile sous Pression
Comprendre la Compressibilité d’une Huile sous Pression
Un réservoir sphérique de 2 mètres de diamètre est rempli d’huile (considérée comme un fluide incompressible). Ce réservoir est connecté à un système qui permet d’augmenter la pression interne de l’huile.
On souhaite étudier l’effet de la compressibilité de l’huile (considérée ici comme légèrement compressible) sous différentes pressions.
Données:
- Diamètre du réservoir D = 2 m
- Module d’élasticité volumique de l’huile \(E = 1.5 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
- Volume initial de l’huile \(V_0 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3\)
- Pression initiale de l’huile \(P_0 = 1 \, \text{atm}\) (atmosphère standard)
- Pressions à étudier: \(P_1 = 10 \, \text{atm}\), \(P_2 = 20 \, \text{atm}\), \(P_3 = 30 \, \text{atm}\)
Objectifs:
1. Calculer le volume initial de l’huile dans le réservoir.
2. Déterminer la variation du volume de l’huile pour chaque pression \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\).
3. Commenter les résultats obtenus en termes de compressibilité de l’huile et de l’élasticité du réservoir.
Instructions supplémentaires
- Assumez que le réservoir reste intact et ne se déforme pas sous la pression.
- Utilisez \(1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa}\) pour les conversions de pression.
Correction : Compressibilité d’une Huile sous Pression
1. Calcul du Volume Initial de l’Huile dans le Réservoir
Le volume initial \(V_0\) d’une sphère est donné par la formule
\[ V_0 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 \]
Avec un diamètre D = 2 m, nous avons :
\[ V_0 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2}{2}\right)^3 \] \[ V_0 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 \] \[ V_0= \frac{4}{3}\pi \, \text{m}^3 \]
Ce qui donne :
\[ V_0 \approx 4.19 \, \text{m}^3 \]
2. Détermination de la Variation du Volume de l’Huile pour Chaque Pression
La formule de compressibilité est :
\[ \Delta V = -\frac{V_0 \Delta P}{E} \]
Pour chaque pression, \(\Delta P = P – P_0\), avec \(P_0 = 1\) atm (ou \(101325\) Pa) et \(E = 1.5 \times 10^9\) Pa.
- Pour \(P_1 = 10\) atm :
\[ \Delta P_1 = 10 \times 101325 – 101325 \] \[ \Delta P_1 = 913925 \, \text{Pa} \]
\[ \Delta V_1 = -\frac{4.19 \times 913925}{1.5 \times 10^9} \]
\[ \Delta V_1 \approx -2.54 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
- Pour \(P_2 = 20\) atm :
\[ \Delta P_2 = 20 \times 101325 – 101325 \] \[ \Delta P_2 = 1838650 \, \text{Pa} \]
\[ \Delta V_2 = -\frac{4.19 \times 1838650}{1.5 \times 10^9} \]
\[ \Delta V_2 \approx -5.08 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
- Pour \(P_3 = 30\) atm :
\[ \Delta P_3 = 30 \times 101325 – 101325 \] \[ \Delta P_3 = 2747975 \, \text{Pa} \]
\[ \Delta V_3 = -\frac{4.19 \times 2747975}{1.5 \times 10^9} \]
\[ \Delta V_3 \approx -7.62 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
3. Commentaire sur les Résultats
La variation de volume \(\Delta V\) est négative pour toutes les pressions, ce qui indique une diminution du volume de l’huile en réponse à l’augmentation de la pression.
Cela est cohérent avec la nature compressible de l’huile, bien que la compressibilité soit relativement faible, comme le montrent les petites variations de volume.
- Pour \(P_1 = 10\) atm, la diminution du volume est d’environ \(2.54 \times 10^{-3}\) m\(^3\), ce qui est une petite fraction du volume initial.
- À \(P_2 = 20\) atm, cette diminution double, indiquant une relation presque linéaire entre la pression appliquée et la compressibilité pour les plages de pression étudiées.
- À \(P_3 = 30\) atm, la diminution est encore plus grande, mais reste dans le même ordre de grandeur.
Compressibilité d’une Huile sous Pression
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