Comportement plastique et la rupture

Comportement plastique et la rupture

Comprendre le comportement plastique et la rupture

Un ingénieur conçoit une poutre en acier pour supporter une charge dans une construction industrielle.

L’acier a un comportement élastoplastique et l’ingénieur doit s’assurer que la poutre ne subira ni déformation plastique excessive ni rupture sous la charge maximale prévue.

Données

  • Matériau de la poutre: Acier, avec une limite élastique de 250 MPa et une résistance à la rupture de 500 MPa.
  • Dimensions de la poutre: Longueur = 6 m, section transversale carrée de côté 100 mm.
  • Charge maximale prévue: 300 kN appliquée au centre de la poutre.

Instructions:

  1. Calculer la contrainte dans la poutre sous la charge maximale.
  2. Déterminer si la poutre subira une déformation plastique sous cette charge.
  3. Calculer la charge maximale que la poutre peut supporter avant de subir une rupture.

Correction : comportement plastique et la rupture

1. Calcul de la contrainte:

La contrainte \(\sigma\) est donnée par

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

où \(F\) est la force appliquée et \(A\) l’aire de la section transversale.

  • Aire

\[ A = (100\, \text{mm})^2 \] \[ A = 10^4\, \text{mm}^2 = 10^{-2}\, \text{m}^2 \]

  • Force

\[ F = 300\, \text{kN} = 300 \times 10^3\, \text{N} \]

Ainsi, \[ \sigma = \frac{300 \times 10^3}{10^{-2}} \] \[ \sigma = 30 \times 10^6\, \text{Pa} = 30\, \text{MPa} \]

2. Déformation plastique:

  • La limite élastique de l’acier est 250 MPa.
  • La contrainte calculée (30 MPa) est inférieure à la limite élastique.
  • Conclusion: La poutre ne subira pas de déformation plastique sous cette charge.

3. Charge maximale avant rupture:

La contrainte maximale avant la rupture est la résistance à la rupture, soit 500 MPa.

Réarrangeons \(\sigma = \frac{F}{A}\) pour trouver \(F\).

\[ F = \sigma \times A \] \[ F = 500\, \text{MPa} \times 10^{-2}\, \text{m}^2 \]  \[ F = 500 \times 10^6 \times 10^{-2}\, \text{N} \] \[ F = 5 \times 10^6\, \text{N} \]

La charge maximale avant rupture est donc de 5000 kN.

Comportement plastique et la rupture

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