Comportement d’un Matériau sous Charge

Comportement d’un Matériau sous Charge

Comprendre le comportement d’un Matériau sous Charge

Un barreau en acier (considéré comme un matériau isotrope et homogène) de longueur initiale L_0 et de diamètre d_0 est soumis à une charge de traction axiale.

Données :

  • Longueur initiale du barreau, \( L_0 = 2 \, \text{m} \).
  • Diamètre initial du barreau, \( d_0 = 50 \, \text{mm} \).
  • Module d’Young de l’acier, \( E = 210 \, \text{GPa} \).
  • Coefficient de Poisson de l’acier, \( \nu = 0.3 \).
  • Charge appliquée, \( F = 100 \, \text{kN} \).

Questions :

  1. Déformation Axiale : Calculez l’allongement \( \Delta L \) du barreau sous la charge appliquée.
  2. Contraction Latérale : Déterminez la diminution du diamètre \( \Delta d \) du barreau due à la charge.
  3. Contrainte et Déformation : Calculez la contrainte \( \sigma \) et la déformation \( \epsilon \) dans le barreau.
  4. Relation entre Déformations : Discutez comment le module d’Young et le coefficient de Poisson se rapportent à la déformation axiale et latérale du barreau.

Correction : comportement d’un Matériau sous Charge

1. Déformation Axiale (\(\Delta L\)) :

La déformation axiale se calcule en utilisant la relation de Hooke pour une charge uniaxiale :
\begin{equation}
\sigma = E \epsilon
\end{equation}
où \(\sigma\) est la contrainte, \(E\) le module d’Young, et \(\epsilon\) la déformation. La contrainte \(\sigma\) est donnée par :
\begin{equation}
\sigma = \frac{F}{A}
\end{equation}
avec \(F = 100 \, kN\) et \(A = \frac{\pi d_0^2}{4}\).

Calcul de A :
\begin{equation}
A = \frac{\pi (50 \, mm)^2}{4} \end{equation} \begin{equation}
A = \frac{\pi (0.05 \, m)^2}{4} \end{equation} \begin{equation}
A \approx 1.96 \times 10^{-3} \, m^2
\end{equation}

Calcul de la contrainte \(\sigma\) :
\begin{equation}
\sigma = \frac{100 \times 10^3 \, N}{1.96 \times 10^{-3} \, m^2} \end{equation} \begin{equation}
\sigma \approx 51 \times 10^6 \, Pa
\end{equation}

Calcul de la déformation \(\epsilon\) :

\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{51 \times 10^6 \, Pa}{210 \times 10^9 \, Pa} \] \[ \epsilon \approx 2.43 \times 10^{-4}
\]

Calcul de l’allongement \(\Delta L\) :

\( \Delta L = \epsilon L_0 = 2.43 \times 10^{-4} \times 2 \, m \approx 0.49 \, mm
\)

2. Contraction Latérale (\(\Delta d\)) :

Pour la contraction latérale, nous utilisons le coefficient de Poisson \(\nu\) :
\begin{equation}
\frac{\Delta d}{d_0} = -\nu \frac{\Delta L}{L_0}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta d = -0.3 \times \frac{0.49 \, mm}{2 \, m} \times 50 \, mm \end{equation} \begin{equation}
\Delta d \approx -0.0037 \, mm
\end{equation}

3. Contrainte et Déformation :

Nous avons déjà calculé ces valeurs :

  • Contrainte \(\sigma \approx 51 \times 10^6 \, Pa\)
  • Déformation \(\epsilon \approx 2.43 \times 10^{-4}\)

4. Relation entre Déformations :

Le module d’Young (E) décrit la rigidité d’un matériau à la traction ou à la compression, tandis que le coefficient de Poisson (ν) décrit le rapport entre la contraction latérale et l’allongement axial sous charge.

Dans notre cas, le matériau se déforme principalement dans le sens de la charge (axial), mais il y a aussi une déformation latérale négative due à la nature du coefficient de Poisson, illustrant la relation entre ces deux propriétés mécaniques.

Comportement d’un Matériau sous Charge

D’autres exercices de Rdm :

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