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Circuits en série et en parallèle

Circuits en série et en parallèle

Circuits en série et en parallèle

Contexte : L'analyse des circuits électriquesLa méthode de calcul des résistances, courants et tensions dans des montages simples..

Comprendre comment les composants se comportent dans un circuit est fondamental en électricité et en électronique. Les deux configurations de base, le montage en série et le montage en parallèle, régissent la manière dont le courant circule et la tension est répartie. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse d'un circuit mixte, combinant ces deux types de montages, pour calculer les grandeurs électriques essentielles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à solidifier votre compréhension des lois fondamentales de l'électricité, notamment la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff, en les appliquant à un problème concret. Vous apprendrez à décomposer un problème complexe en étapes plus simples.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la résistance équivalente d'un circuit en série et en parallèle.
  • Appliquer la loi d'Ohm pour déterminer le courant et la tension dans différentes parties d'un circuit.
  • Distinguer et analyser le comportement du courant et de la tension dans chaque type de montage.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique mixte ci-dessous, alimenté par une source de tension continue. Le circuit est composé de trois résistances : R1 est en série avec un bloc de deux résistances R2 et R3, qui sont elles-mêmes montées en parallèle.

Schéma du Circuit Électrique Mixte
V + R1 R2 R3
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tension d'alimentation \(V\) 12 V (Volts)
Résistance 1 \(R_1\) 100 \(\Omega\) (Ohms)
Résistance 2 \(R_2\) 200 \(\Omega\) (Ohms)
Résistance 3 \(R_3\) 300 \(\Omega\) (Ohms)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{23}\)) du bloc des résistances en parallèle R2 et R3.
  2. Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit complet.
  3. Déterminer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) qui sort de la source de tension.
  4. Calculer la tension aux bornes de chaque résistance (\(V_1\), \(V_2 \text{ et } V_3\)).

Les bases sur les Circuits Électriques

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser trois concepts fondamentaux : l'association de résistances en série, en parallèle, et la loi d'Ohm.

1. Association en Série
Lorsque des composants sont en série, le courant n'a qu'un seul chemin. La résistance totale est simplement la somme des résistances individuelles. \[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \] La tension de la source se divise entre les différents composants.

2. Association en Parallèle
En parallèle, le courant se divise en plusieurs chemins. La tension est la même aux bornes de chaque branche. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances. \[ \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]

3. La Loi d'Ohm
Cette loi fondamentale relie la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) pour un composant donné. \[ V = R \cdot I \] Elle permet de calculer l'une de ces grandeurs si les deux autres sont connues.

Correction : Circuits en série et en parallèle

Question 1 : Calculer la résistance équivalente \(R_{23}\)

Principe

Le concept physique est la simplification de circuit. Pour analyser un circuit mixte, on le réduit par étapes en remplaçant des groupes de composants par un seul composant "équivalent". Ici, le bloc des résistances R2 et R3 en parallèle est le premier groupe que nous pouvons simplifier.

Mini-Cours

Dans un montage en parallèle, la tension est la même aux bornes de chaque branche, mais le courant se divise. L'ajout d'une nouvelle branche en parallèle offre un chemin supplémentaire au courant, ce qui a pour effet de diminuer la résistance globale du bloc. C'est pourquoi la résistance équivalente est toujours plus faible que la plus petite des résistances de la branche.

Remarque Pédagogique

La stratégie "diviser pour régner" est très efficace en analyse de circuits. Identifiez toujours les plus petits groupes de composants purement en série ou purement en parallèle, simplifiez-les, puis redessinez mentalement le circuit. Répétez l'opération jusqu'à n'avoir plus qu'un seul composant équivalent.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire (comme les Eurocodes en génie civil) pour ce calcul de base. La résolution s'appuie sur les lois fondamentales de l'électrocinétique, universellement acceptées et établies par des physiciens comme Georg Ohm et Gustav Kirchhoff.

Formule(s)

Formule générale pour résistances en parallèle :

\[ \frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \]

Formule simplifiée pour deux résistances :

\[ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses d'un circuit idéal :

  • Les fils de connexion ont une résistance nulle.
  • Les résistances sont pures et leur valeur est constante (non affectée par la température).
  • La source de tension est parfaite (sa tension ne varie pas avec le courant débité).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance 2\(R_2\)200\(\Omega\)
Résistance 3\(R_3\)300\(\Omega\)
Astuces

La résistance équivalente d'un montage en parallèle est toujours plus petite que la plus petite des résistances du groupe. Ici, la plus petite est R2 (200 \(\Omega\)). Le résultat doit donc être inférieur à 200 \(\Omega\). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de son résultat.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la partie du circuit contenant R2 et R3.

Bloc parallèle R2 et R3
R2R3
Calcul(s)

Application de la formule du produit sur la somme :

\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{200 \text{ } \Omega \cdot 300 \text{ } \Omega}{200 \text{ } \Omega + 300 \text{ } \Omega} \\ &= \frac{60000 \text{ } \Omega^2}{500 \text{ } \Omega} \\ &= 120 \text{ } \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le bloc parallèle est maintenant remplacé par une seule résistance \(R_{23}\).

Bloc simplifié
R23
Réflexions

Le résultat de 120 \(\Omega\) confirme notre astuce : il est bien inférieur à 200 \(\Omega\). Cela signifie que le bloc parallèle R2//R3 oppose moins de résistance au passage du courant que si la résistance R2 était seule. Le courant a désormais "plus de place" pour passer.

Points de vigilance

L'erreur classique est de confondre la formule série et parallèle. N'additionnez jamais simplement les résistances en parallèle ! Une autre erreur est de mal utiliser la formule avec les inverses : ne pas oublier de prendre l'inverse final pour trouver \(R_{\text{eq}}\) après avoir calculé \(1/R_{\text{eq}}\).

Points à retenir
  • Le montage parallèle diminue la résistance globale.
  • La formule pour deux résistances est \(R_{\text{eq}} = (R_1 \cdot R_2) / (R_1 + R_2)\).
Le saviez-vous ?

Le câblage électrique de votre maison est un immense circuit parallèle. Chaque prise, chaque ampoule est sur une branche différente. C'est ce qui permet d'allumer une seule lampe sans que tous les autres appareils ne s'allument, et garantit que chaque appareil reçoit la même tension (230 V en France).

FAQ
Que se passerait-il si on ajoutait une troisième résistance R4 en parallèle ?

La résistance équivalente diminuerait encore. Il faudrait utiliser la formule générale : \(1/R_{\text{eq}} = 1/R_2 + 1/R_3 + 1/R_4\). Le courant total aurait encore plus de facilité à passer.

Résultat Final
La résistance équivalente du bloc parallèle est \(R_{23} = 120 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Si R2 et R3 avaient toutes les deux une valeur de 100 \(\Omega\), quelle serait leur résistance équivalente en parallèle ?

Question 2 : Calculer la résistance équivalente totale \(R_{\text{eq}}\)

Principe

Suite à notre première simplification, le circuit est maintenant composé de R1 en série avec notre bloc équivalent \(R_{23}\). Le principe est de réaliser la dernière étape de simplification pour trouver la résistance unique que "voit" la source de tension.

Mini-Cours

Dans un montage en série, les composants sont traversés par le même courant. Leurs effets résistifs s'additionnent. La résistance équivalente est donc simplement la somme des résistances individuelles. La tension de la source se répartit entre les composants, proportionnellement à leur résistance (c'est le principe du pont diviseur de tension).

Remarque Pédagogique

La méthode est séquentielle. Ne tentez pas de tout calculer en une seule fois. La simplification \(R_2 // R_3 \Rightarrow R_{23}\) était la clé pour transformer un problème mixte complexe en un simple problème de circuit en série.

Normes

Comme pour la question précédente, le calcul se base sur les lois fondamentales de l'électrocinétique.

Formule(s)

Formule pour résistances en série :

\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} \]
Hypothèses

Nous conservons les mêmes hypothèses de circuit idéal que précédemment.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance 1\(R_1\)100\(\Omega\)
Résistance équivalente parallèle\(R_{23}\)120\(\Omega\)
Astuces

Dans un montage en série, la résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des résistances. Ici, le résultat doit être supérieur à 120 \(\Omega\).

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit simplifié après la première étape.

Circuit simplifié avec R1 et R23
VR1R23
Calcul(s)

Addition des deux résistances en série :

\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 100 \text{ } \Omega + 120 \text{ } \Omega \\ &= 220 \text{ } \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le circuit est maintenant réduit à sa plus simple expression.

Circuit totalement simplifié
VReq
Réflexions

La valeur de 220 \(\Omega\) représente la "charge" totale que le générateur doit alimenter. C'est cette valeur qui déterminera le courant total débité par la source. Le circuit entier se comporte, du point de vue de la source, comme une simple résistance de 220 \(\Omega\).

Points de vigilance

Assurez-vous d'avoir correctement calculé toutes les résistances équivalentes des sous-groupes (ici, \(R_{23}\)) avant de les inclure dans un calcul en série. Une erreur à l'étape 1 se répercutera inévitablement ici.

Points à retenir
  • Le montage série augmente la résistance globale.
  • La formule est une simple somme : \(R_{\text{eq}} = R_a + R_b\).
  • La simplification de circuit est une méthode par étapes.
Le saviez-vous ?

Les anciennes guirlandes de Noël utilisaient un montage en série. C'était économique, mais si une seule ampoule grillait, le circuit était ouvert et toute la guirlande s'éteignait, rendant la recherche de l'ampoule défectueuse très fastidieuse !

FAQ
Pourquoi est-il utile de calculer la résistance équivalente ?

Elle permet de connaître le courant total que la source devra fournir. C'est crucial pour dimensionner la source d'alimentation et s'assurer qu'elle ne sera pas surchargée. C'est aussi la première étape indispensable avant de pouvoir calculer les tensions et courants dans le circuit détaillé.

Résultat Final
La résistance équivalente totale du circuit est \(R_{\text{eq}} = 220 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

En gardant \(R_{23} = 120 \text{ } \Omega\), que deviendrait \(R_{\text{eq}}\) si \(R_1\) valait 200 \(\Omega\) ?

Question 3 : Déterminer le courant total \(I_{\text{total}}\)

Principe

Le courant total est le flux de charges qui quitte la borne positive de la source de tension. Ce flux est déterminé par la "force" de la source (la tension V) et l'opposition "totale" du circuit (la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\)). La relation entre ces trois grandeurs est la loi la plus fondamentale de l'électricité : la loi d'Ohm.

Mini-Cours

La loi d'Ohm stipule que la différence de potentiel (tension) aux bornes d'un dipôle est proportionnelle à l'intensité du courant qui le traverse. Le coefficient de proportionnalité est la résistance R. Cette loi s'applique aussi bien à un seul composant qu'à un circuit entier, à condition d'utiliser les valeurs globales (tension totale, résistance équivalente totale, courant total).

Remarque Pédagogique

Pensez à la loi d'Ohm comme une relation de cause à effet. La tension (V) est la cause, la résistance (\(R_{\text{eq}}\)) est l'opposition, et le courant (\(I_{\text{total}}\)) est l'effet résultant. Pour trouver l'effet, on divise la cause par l'opposition.

Normes

La loi d'Ohm est une loi physique fondamentale, pas une norme réglementaire.

Formule(s)

Formule de la loi d'Ohm pour le courant :

\[ I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{eq}}} \]
Hypothèses

Nous conservons les mêmes hypothèses de circuit idéal que précédemment.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension d'alimentation\(V\)12V
Résistance équivalente totale\(R_{\text{eq}}\)220\(\Omega\)
Astuces

Vérifiez toujours la cohérence de vos unités avant le calcul. La loi d'Ohm fonctionne avec des Volts, des Ohms et des Ampères. Si vos données sont en millivolts (mV) ou kiloohms (k\(\Omega\)), convertissez-les d'abord pour éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

On utilise le circuit entièrement simplifié, où le courant total est facile à visualiser.

Circuit pour le calcul du courant total
VReqI_total
Calcul(s)

Calcul du courant en Ampères :

\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12 \text{ V}}{220 \text{ } \Omega} \\ &\approx 0.054545... \text{ A} \end{aligned} \]

Conversion du résultat en milliampères :

\[ I_{\text{total}} \approx 54.5 \text{ mA} \]
Schéma (Après les calculs)

Le circuit simplifié est parcouru par le courant total calculé.

Circuit avec Courant Total
VReqI_total ≈ 54.5 mA
Réflexions

Ce courant de 54.5 mA est le "débit" de base du circuit. C'est la quantité de charge qui passe chaque seconde à travers R1, et c'est aussi la quantité totale qui entre dans le bloc R2//R3 avant de se diviser.

Points de vigilance

Attention aux arrondis ! Il est préférable de garder la valeur la plus précise possible (par exemple, la fraction 12/220) pour les calculs suivants afin d'éviter l'accumulation d'erreurs. N'arrondissez qu'à la toute fin pour le résultat final.

Points à retenir
  • La loi d'Ohm globale est : \(I_{\text{total}} = V_{\text{source}} / R_{\text{eq}}\).
  • Le courant total est le même qui traverse tous les éléments en série sur la branche principale.
Le saviez-vous ?

André-Marie Ampère, qui a donné son nom à l'unité de courant, était un prodige. Il maîtrisait les mathématiques avancées dès son plus jeune âge, avant même d'avoir reçu des leçons formelles. Ses travaux ont jeté les bases de l'électrodynamique.

FAQ
Si on double la tension de la source, que devient le courant ?

D'après la loi d'Ohm, le courant est directement proportionnel à la tension. Si la tension double (passe à 24V), le courant total doublera également, passant à environ 109 mA, tant que la résistance reste la même.

Résultat Final
Le courant total circulant dans le circuit est \(I_{\text{total}} \approx 54.5 \text{ mA}\).
A vous de jouer

Si la résistance totale était de 300 \(\Omega\) (avec la même tension de 12V), quel serait le courant total ?

Question 4 : Calculer la tension aux bornes de chaque résistance

Principe

Le principe ici est de "distribuer" la tension totale de la source à travers les différents composants. Pour les éléments en série (R1 et le bloc R23), la tension se divise. Pour les éléments en parallèle (R2 et R3), la tension est la même. Nous allons appliquer la loi d'Ohm localement à chaque composant ou groupe de composants.

Mini-Cours

Loi des mailles de Kirchhoff : Cette loi, aussi appelée loi de conservation de l'énergie pour les circuits, stipule que la somme des tensions le long de n'importe quelle boucle fermée est nulle. Concrètement, cela signifie que la tension fournie par la source est entièrement "consommée" par les composants du circuit. Ici, \(V_{\text{source}} = V_1 + V_{23}\).
Comportement en parallèle : Tous les points d'un fil idéal sont au même potentiel électrique. Comme les bornes de R2 et R3 sont connectées aux mêmes deux fils, la différence de potentiel (tension) entre leurs bornes est nécessairement identique : \(V_2 = V_3\).

Remarque Pédagogique

Maintenant que nous connaissons le courant total, nous pouvons "remonter" le circuit de la simplification vers le détail. Calculez d'abord la tension sur les éléments de la branche principale (R1 et R23), puis utilisez cette information pour déduire les tensions dans les sous-branches.

Normes

Le calcul se base sur la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff.

Formule(s)

Tension aux bornes de R1 :

\[ V_1 = R_1 \cdot I_{\text{total}} \]

Tension aux bornes du bloc parallèle R23 :

\[ V_{23} = R_{23} \cdot I_{\text{total}} \]

Relation des tensions en parallèle :

\[ V_2 = V_3 = V_{23} \]
Hypothèses

Nous conservons les mêmes hypothèses de circuit idéal.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Courant total\(I_{\text{total}}\)0.0545A
Résistance 1\(R_1\)100\(\Omega\)
Résistance équivalente parallèle\(R_{23}\)120\(\Omega\)
Tension source\(V\)12V
Astuces

Une fois que vous avez calculé \(V_1\) et \(V_{23}\), vérifiez toujours que leur somme est égale (ou très proche, à cause des arrondis) à la tension de la source. \(V_1 + V_{23} = 5.45\text{ V} + 6.55\text{ V} = 12\text{ V}\). C'est une excellente auto-vérification !

Schéma (Avant les calculs)

On repart du schéma original pour visualiser où mesurer les tensions.

Points de mesure des tensions
V+R1R2R3V1V2V3
Calcul(s)

Étape 1 : Tension aux bornes de R1 (\(V_1\))

\[ \begin{aligned} V_1 &= R_1 \cdot I_{\text{total}} \\ &= 100 \text{ } \Omega \cdot 0.0545 \text{ A} \\ &= 5.45 \text{ V} \end{aligned} \]

Étape 2 : Tension aux bornes du bloc parallèle (\(V_{23}\))

\[ \begin{aligned} V_{23} &= V - V_1 \\ &= 12 \text{ V} - 5.45 \text{ V} \\ &= 6.55 \text{ V} \end{aligned} \]

Étape 3 : Tensions \(V_2\) et \(V_3\)

\[ V_2 = V_3 = V_{23} = 6.55 \text{ V} \]
Schéma (Après les calculs)

Schéma conceptuel de la répartition des tensions dans le circuit.

Répartition conceptuelle des tensions
V+V1V2V3
Réflexions

On observe bien la division de la tension : la somme \(V_1 + V_{23}\) est égale à la tension source de 12V. De plus, la tension est plus élevée aux bornes du bloc parallèle (6.55V) qu'aux bornes de R1 (5.45V), ce qui est logique car sa résistance équivalente (\(R_{23}=120\,\Omega\)) est supérieure à celle de R1 (\(100\,\Omega\)). En série, la plus grande résistance "prend" la plus grande part de la tension.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal appliquer la loi d'Ohm. Pour trouver \(V_1\), il faut utiliser \(R_1\) et le courant qui la traverse (\(I_{\text{total}}\)). Pour trouver \(V_2\), il faut utiliser \(R_2\) et le courant qui la traverse (\(I_2\), qui n'est PAS \(I_{\text{total}}\) !). Ne mélangez pas les valeurs locales et globales.

Points à retenir
  • La tension se divise dans un montage série.
  • La tension est la même dans un montage parallèle.
  • La somme des tensions dans une maille est égale à la tension du générateur.
Le saviez-vous ?

Alessandro Volta, l'inventeur de la pile électrique (la "pile voltaïque") et qui a donné son nom au Volt, a présenté son invention en 1800 à Napoléon Bonaparte à Paris. Impressionné, Napoléon l'a fait comte et sénateur du royaume d'Italie.

FAQ
Comment pourrait-on maintenant calculer les courants \(I_2\) et \(I_3\) ?

C'est très simple ! Maintenant que nous connaissons la tension aux bornes de R2 et R3 (qui est \(V_{23}=6.55\,V\)), on peut appliquer la loi d'Ohm localement à chacune : \(I_2 = V_{23} / R_2\) et \(I_3 = V_{23} / R_3\). Vous pouvez vérifier que \(I_2 + I_3\) sera bien égal à \(I_{\text{total}}\).

Résultat Final
Les tensions sont : \(V_1 = 5.45 \text{ V}\), \(V_2 = 6.55 \text{ V} \text{ et } V_3 = 6.55 \text{ V}\).
A vous de jouer

Si le courant total était de 100 mA (0.1 A), quelle serait la tension \(V_1\) aux bornes de \(R_1\) (100 \(\Omega\)) ?

Outil Interactif : Calculateur de la Loi d'Ohm

Utilisez les curseurs pour faire varier la tension et la résistance, et observez en temps réel l'impact sur le courant et la puissance dissipée. Le graphique montre la relation linéaire entre le courant et la tension pour une résistance donnée.

Paramètres d'Entrée
12 V
220 \(\Omega\)
Résultats Clés
Courant (A) -
Puissance (W) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit en série, si on ajoute une résistance, que devient la résistance totale ?

2. Quelle grandeur électrique est identique pour tous les composants dans un montage en parallèle ?

3. Un circuit a une résistance de 50 \(\Omega\) et est traversé par un courant de 200 mA. Quelle est la tension à ses bornes ?

4. Si deux ampoules identiques sont branchées en série, et que l'une grille (le filament se coupe), que se passe-t-il ?

5. Pour obtenir une résistance équivalente plus faible que la plus petite des résistances disponibles, il faut les monter...

Tension (V)
La différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Elle est la "cause" qui pousse les charges électriques à se déplacer. Son unité est le Volt (V).
Courant (I)
Le débit de charges électriques qui traversent une section du circuit. Son unité est l'Ampère (A).
Résistance (\(\Omega\))
La propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Son unité est l'Ohm (\(\Omega\)).
Exercice : Circuits en série et en parallèle

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    2 Commentaires
    1. MMMMK
      MMMMK sur 13 mai 2024 à 1h40

      salutation
      j’ai une remarque
      Dans le circuit, R2 en parallèle avec ( R3 en série avec R4 )
      1R234=1/R2+1/(R3+1R4) =1/3 + 1/(3+6)

      Réponse
      • EGC - Génie Civil
        EGC - Génie Civil sur 14 septembre 2024 à 20h30

        Salutations,

        Merci pour votre commentaire et pour l’intérêt que vous portez à cet exercice. Il semble y avoir une confusion concernant la configuration du circuit basée sur la description que vous avez fournie.

        D’après le schéma que nous utilisons pour cet exercice, les résistances R2, R3, et R4 sont toutes en parallèle entre elles, ce qui influence directement les calculs de la résistance totale et des courants à travers chaque composant. Voici comment le circuit est structuré selon le schéma fourni :

        R1 est en série avec un groupe de trois résistances (R2, R3, et R4) qui sont toutes en parallèle.
        Si R2 était en parallèle avec une combinaison de R3 et R4 en série (comme vous le suggérez), cela affecterait effectivement les calculs. Cependant, dans notre cas, chaque résistance parallèle a un impact direct et égal sur la tension à travers ce groupe, donc la méthode de calcul pour la résistance équivalente est comme suit :

        \[\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}\]

        Cela donne \(R_{234} = 1.2\) ohms une fois inversée, et non \(2.25\) ohms comme cela serait le cas dans la configuration que vous proposez.

        J’espère que cela clarifie la situation. Si vous avez d’autres questions ou si une autre partie de l’exercice semble incertaine, n’hésitez pas à revenir vers moi !

        Réponse
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