Études de cas pratique

EGC

Circuits en série et en parallèle

Circuits Électriques en Série et en Parallèle

Circuits Électriques en Série et en Parallèle

Comprendre les Circuits en Série et en Parallèle

En électricité, les composants d'un circuit peuvent être connectés de différentes manières. Les deux configurations de base sont le circuit en série et le circuit en parallèle. Comprendre comment analyser ces configurations est fondamental pour l'étude des circuits électriques plus complexes. Dans un circuit en série, les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant. Dans un circuit en parallèle, les composants sont connectés sur des branches distinctes, offrant plusieurs chemins pour le courant.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique mixte représenté ci-dessous, alimenté par une source de tension continue.

Valeurs des composants :

  • Source de tension (\(V_S\)) : \(12 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(6 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(3 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(1 \, \Omega\)
Schéma du Circuit Électrique
+ - VS 12V R1 2Ω R2 6Ω R3 3Ω R4 1Ω

Circuit mixte avec des résistances en série et en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{23}\)) des résistances \(R_2\) et \(R_3\) montées en parallèle.
  2. Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{eq}\)) du circuit complet vue par la source.
  3. Calculer le courant total (\(I_S\)) fourni par la source de tension.
  4. Calculer la tension aux bornes de \(R_1\) (notée \(V_1\)) et la tension aux bornes de \(R_4\) (notée \(V_4\)).
  5. Calculer la tension (\(V_{23}\)) aux bornes de l'ensemble parallèle (\(R_2 \parallel R_3\)).
  6. Calculer les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
  7. Vérifier la loi des nœuds pour les courants \(I_S, I_2, I_3\).
  8. Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1, P_2, P_3, P_4\)).
  9. Calculer la puissance totale (\(P_{totale}\)) dissipée par le circuit. Comparer cette puissance à celle fournie par la source (\(P_S\)).

Correction : Analyse du Circuit Électrique

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{23}\))

Principe :

Pour des résistances en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est égal à la somme des inverses de chaque résistance. Pour deux résistances \(R_A\) et \(R_B\) en parallèle, la formule est \( \frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} \), ce qui peut aussi s'écrire \( R_{AB} = \frac{R_A \cdot R_B}{R_A + R_B} \).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 6 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 3 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{6 \, \Omega \cdot 3 \, \Omega}{6 \, \Omega + 3 \, \Omega} \\ &= \frac{18 \, \Omega^2}{9 \, \Omega} \\ &= 2 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente \(R_{23}\) est \(2 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si trois résistances identiques \(R\) sont en parallèle, leur résistance équivalente est :

Question 2 : Résistance équivalente totale (\(R_{eq}\))

Principe :

Les résistances \(R_1\), \(R_{23}\) (l'équivalent de \(R_2 \parallel R_3\)), et \(R_4\) sont maintenant en série. Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{eq} = R_1 + R_{23} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(R_{23} = 2 \, \Omega\) (calculé à la question 1)
  • \(R_4 = 1 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{eq} &= 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 1 \, \Omega \\ &= 5 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance équivalente totale \(R_{eq}\) du circuit est \(5 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un circuit série, si on ajoute une résistance, la résistance totale :

Question 3 : Courant total (\(I_S\))

Principe :

Le courant total fourni par la source peut être calculé en utilisant la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : \(V = R \cdot I\). Ici, \(V = V_S\), \(R = R_{eq}\), et \(I = I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_S = \frac{V_S}{R_{eq}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{eq} = 5 \, \Omega\) (calculé à la question 2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_S &= \frac{12 \, \text{V}}{5 \, \Omega} \\ &= 2.4 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total \(I_S\) fourni par la source est \(2.4 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 3 : La loi d'Ohm établit une relation entre :

Question 4 : Tensions \(V_1\) et \(V_4\)

Principe :

Les résistances \(R_1\) et \(R_4\) sont traversées par le courant total \(I_S\) car elles sont en série avec la source (et l'ensemble du circuit). La tension aux bornes de chaque résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(V = R \cdot I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 \cdot I_S\] \[V_4 = R_4 \cdot I_S\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 1 \, \Omega\)
  • \(I_S = 2.4 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
Calcul :

Pour \(V_1\):

\[ \begin{aligned} V_1 &= 2 \, \Omega \cdot 2.4 \, \text{A} \\ &= 4.8 \, \text{V} \end{aligned} \]

Pour \(V_4\):

\[ \begin{aligned} V_4 &= 1 \, \Omega \cdot 2.4 \, \text{A} \\ &= 2.4 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les tensions sont \(V_1 = 4.8 \, \text{V}\) et \(V_4 = 2.4 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{23}\))

Principe :

La tension \(V_{23}\) est la tension aux bornes de l'ensemble des résistances \(R_2 \parallel R_3\). Cet ensemble est traversé par le courant total \(I_S\). On peut utiliser la loi d'Ohm avec la résistance équivalente \(R_{23}\). Alternativement, on peut utiliser la loi des mailles : \(V_S = V_1 + V_{23} + V_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{23} = R_{23} \cdot I_S\] \[\text{Ou alternativement : } V_{23} = V_S - V_1 - V_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_{23} = 2 \, \Omega\) (calculé à la question 1)
  • \(I_S = 2.4 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
  • \(V_S = 12 \, \text{V}\)
  • \(V_1 = 4.8 \, \text{V}\) (calculé à la question 4)
  • \(V_4 = 2.4 \, \text{V}\) (calculé à la question 4)
Calcul :

Méthode 1 (avec \(R_{23}\) et \(I_S\)):

\[ \begin{aligned} V_{23} &= 2 \, \Omega \cdot 2.4 \, \text{A} \\ &= 4.8 \, \text{V} \end{aligned} \]

Méthode 2 (avec la loi des mailles):

\[ \begin{aligned} V_{23} &= 12 \, \text{V} - 4.8 \, \text{V} - 2.4 \, \text{V} \\ &= 12 \, \text{V} - 7.2 \, \text{V} \\ &= 4.8 \, \text{V} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 5 : La tension \(V_{23}\) est \(4.8 \, \text{V}\).

Question 6 : Courants \(I_2\) et \(I_3\)

Principe :

Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle, donc elles sont soumises à la même tension \(V_{23}\). On peut calculer les courants \(I_2\) et \(I_3\) en appliquant la loi d'Ohm à chaque résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{23}}{R_2}\] \[I_3 = \frac{V_{23}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{23} = 4.8 \, \text{V}\) (calculé à la question 5)
  • \(R_2 = 6 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 3 \, \Omega\)
Calcul :

Pour \(I_2\):

\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{4.8 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \\ &= 0.8 \, \text{A} \end{aligned} \]

Pour \(I_3\):

\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{4.8 \, \text{V}}{3 \, \Omega} \\ &= 1.6 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les courants sont \(I_2 = 0.8 \, \text{A}\) et \(I_3 = 1.6 \, \text{A}\).

Question 7 : Vérification de la loi des nœuds

Principe :

La loi des nœuds (ou première loi de Kirchhoff) stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Le courant total \(I_S\) qui entre dans la branche parallèle se divise en \(I_2\) et \(I_3\). Donc, on doit avoir \(I_S = I_2 + I_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_S = I_2 + I_3\]
Données spécifiques :
  • \(I_S = 2.4 \, \text{A}\) (calculé à la question 3)
  • \(I_2 = 0.8 \, \text{A}\) (calculé à la question 6)
  • \(I_3 = 1.6 \, \text{A}\) (calculé à la question 6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &= 0.8 \, \text{A} + 1.6 \, \text{A} \\ &= 2.4 \, \text{A} \end{aligned} \]

On compare cette somme à \(I_S\): \(2.4 \, \text{A} = 2.4 \, \text{A}\). La loi des nœuds est vérifiée.

Résultat Question 7 : La loi des nœuds est vérifiée (\(I_S = I_2 + I_3\)).

Question 8 : Puissance dissipée par chaque résistance

Principe :

La puissance dissipée par une résistance peut être calculée à l'aide de l'une des formules suivantes : \(P = V \cdot I\), \(P = R \cdot I^2\), ou \(P = \frac{V^2}{R}\). Nous utiliserons \(P = R \cdot I^2\) pour \(R_1\) et \(R_4\) car nous connaissons \(I_S\). Pour \(R_2\) et \(R_3\), nous pouvons utiliser \(P = \frac{V_{23}^2}{R}\) ou \(P=R \cdot I^2\) avec leurs courants respectifs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 = R_1 \cdot I_S^2\] \[P_2 = R_2 \cdot I_2^2 \quad \text{ou} \quad P_2 = \frac{V_{23}^2}{R_2}\] \[P_3 = R_3 \cdot I_3^2 \quad \text{ou} \quad P_3 = \frac{V_{23}^2}{R_3}\] \[P_4 = R_4 \cdot I_S^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega, R_2 = 6 \, \Omega, R_3 = 3 \, \Omega, R_4 = 1 \, \Omega\)
  • \(I_S = 2.4 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 0.8 \, \text{A}, I_3 = 1.6 \, \text{A}\)
  • \(V_{23} = 4.8 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= 2 \, \Omega \cdot (2.4 \, \text{A})^2 = 2 \cdot 5.76 = 11.52 \, \text{W} \\ P_2 &= 6 \, \Omega \cdot (0.8 \, \text{A})^2 = 6 \cdot 0.64 = 3.84 \, \text{W} \\ P_3 &= 3 \, \Omega \cdot (1.6 \, \text{A})^2 = 3 \cdot 2.56 = 7.68 \, \text{W} \\ P_4 &= 1 \, \Omega \cdot (2.4 \, \text{A})^2 = 1 \cdot 5.76 = 5.76 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Les puissances dissipées sont :
\(P_1 = 11.52 \, \text{W}\), \(P_2 = 3.84 \, \text{W}\), \(P_3 = 7.68 \, \text{W}\), \(P_4 = 5.76 \, \text{W}\).

Question 9 : Puissance totale dissipée et fournie

Principe :

La puissance totale dissipée par le circuit est la somme des puissances dissipées par chaque résistance. La puissance fournie par la source est \(P_S = V_S \cdot I_S\). En l'absence d'autres éléments (comme des capacités ou inductances en régime permanent continu), ces deux puissances doivent être égales (conservation de l'énergie).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{totale} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4\] \[P_S = V_S \cdot I_S\]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 11.52 \, \text{W}, P_2 = 3.84 \, \text{W}, P_3 = 7.68 \, \text{W}, P_4 = 5.76 \, \text{W}\)
  • \(V_S = 12 \, \text{V}\)
  • \(I_S = 2.4 \, \text{A}\)
Calcul :

Puissance totale dissipée :

\[ \begin{aligned} P_{totale} &= 11.52 \, \text{W} + 3.84 \, \text{W} + 7.68 \, \text{W} + 5.76 \, \text{W} \\ &= 28.8 \, \text{W} \end{aligned} \]

Puissance fournie par la source :

\[ \begin{aligned} P_S &= 12 \, \text{V} \cdot 2.4 \, \text{A} \\ &= 28.8 \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison : \(P_{totale} = P_S = 28.8 \, \text{W}\). La conservation de l'énergie est respectée.

Résultat Question 9 : La puissance totale dissipée est \(28.8 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance fournie par la source.

Quiz Intermédiaire 4 : L'unité de la puissance électrique est le :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit série, le courant est :

2. Dans un circuit parallèle, la tension est :

3. Si deux résistances \(R_A = 10 \, \Omega\) et \(R_B = 10 \, \Omega\) sont en parallèle, leur résistance équivalente est :

Glossaire

Circuit en Série
Configuration de circuit où les composants sont connectés bout à bout, de sorte que le courant n'a qu'un seul chemin à suivre.
Circuit en Parallèle
Configuration de circuit où les composants sont connectés sur des branches distinctes. Le courant se divise pour passer à travers les différentes branches.
Résistance (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Tension (\(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Aussi appelée voltage. Unité : Volt (\(\text{V}\)).
Courant (\(I\))
Flux de charge électrique. Unité : Ampère (\(\text{A}\)).
Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité : \(V = R \cdot I\). La tension aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant qui la traverse.
Puissance Électrique (\(P\))
Quantité d'énergie électrique transférée ou dissipée par unité de temps. Unité : Watt (\(\text{W}\)). Formules courantes : \(P = V \cdot I\), \(P = R \cdot I^2\), \(P = \frac{V^2}{R}\).
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\))
Résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit que l'ensemble des résistances qu'elle remplace.
Loi des Nœuds (Première loi de Kirchhoff)
La somme algébrique des courants entrant dans un nœud (point de connexion) d'un circuit est nulle. Autrement dit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.
Loi des Mailles (Deuxième loi de Kirchhoff)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans une maille (boucle fermée) d'un circuit est nulle.
Circuits Électriques en Série et en Parallèle

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    2 Commentaires
    1. MMMMK
      MMMMK sur 13 mai 2024 à 1h40

      salutation
      j’ai une remarque
      Dans le circuit, R2 en parallèle avec ( R3 en série avec R4 )
      1R234=1/R2+1/(R3+1R4) =1/3 + 1/(3+6)

      Réponse
      • EGC - Génie Civil
        EGC - Génie Civil sur 14 septembre 2024 à 20h30

        Salutations,

        Merci pour votre commentaire et pour l’intérêt que vous portez à cet exercice. Il semble y avoir une confusion concernant la configuration du circuit basée sur la description que vous avez fournie.

        D’après le schéma que nous utilisons pour cet exercice, les résistances R2, R3, et R4 sont toutes en parallèle entre elles, ce qui influence directement les calculs de la résistance totale et des courants à travers chaque composant. Voici comment le circuit est structuré selon le schéma fourni :

        R1 est en série avec un groupe de trois résistances (R2, R3, et R4) qui sont toutes en parallèle.
        Si R2 était en parallèle avec une combinaison de R3 et R4 en série (comme vous le suggérez), cela affecterait effectivement les calculs. Cependant, dans notre cas, chaque résistance parallèle a un impact direct et égal sur la tension à travers ce groupe, donc la méthode de calcul pour la résistance équivalente est comme suit :

        \[\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}\]

        Cela donne \(R_{234} = 1.2\) ohms une fois inversée, et non \(2.25\) ohms comme cela serait le cas dans la configuration que vous proposez.

        J’espère que cela clarifie la situation. Si vous avez d’autres questions ou si une autre partie de l’exercice semble incertaine, n’hésitez pas à revenir vers moi !

        Réponse
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