Caractéristiques mécaniques du bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une barre d'acier S235 a une limite d'élasticité de 235 N/mm², qu'elle serve de poteau dans un hall chauffé ou de tirant sous la pluie. Le bois n'a pas cette propriété. Une même planche de C24 n'offre pas la même résistance de calcul selon l'ambiance dans laquelle elle est posée et selon le temps pendant lequel la charge s'applique. Cet écart n'est pas marginal : il atteint plus de 50 % entre la situation la plus favorable et la plus défavorable. L'Eurocode 5 formalise cela par un coefficient unique, \( k_{\text{mod}} \), dont le choix est la première décision de tout calcul bois — et la plus souvent bâclée. Cet exercice suit une même pièce de C24 dans trois emplois différents.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Du bois massif résineux C24 employé dans trois situations : une solive de plancher d'habitation, une poutre supportant un local de stockage, et un élément de contreventement vérifié sous le vent. Une seule classe de bois, trois résistances de calcul différentes.
Environnement : Deux ambiances seulement : classe de service 1 pour l'intérieur chauffé, classe de service 2 pour l'extérieur sous abri. Ces deux classes partagent les mêmes \( k_{\text{mod}} \) en bois massif — la différence se manifeste ailleurs, et c'est l'un des points de l'exercice.
L'objectif final : Produire six résistances de calcul — flexion et cisaillement pour chacun des trois cas — puis dire laquelle des combinaisons gouverne lorsqu'une même pièce en subit plusieurs. C'est ce dernier point qui distingue un calcul juste d'un calcul seulement plausible.
L'astuce de l'ingénieur : Pré-calculez une fois pour toutes le rapport \( f_{\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) de chaque résistance. Il ne reste ensuite qu'une multiplication par \( k_{\text{mod}} \), et vous pouvez balayer toutes les combinaisons de tête.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous rédigez la note d'hypothèses matériaux qui servira de référence à toute l'équipe pour un projet en bois. Cette note doit fixer, pour chaque situation du projet, les résistances de calcul à employer — et surtout justifier le choix de chaque coefficient par sa clause. C'est le document que le bureau de contrôle lira en premier.

Le grand défi : Comprendre que \( k_{\text{mod}} \) ne se choisit pas « par situation » mais par combinaison d'actions, et qu'il se lit sur l'action de durée la plus courte qu'elle contient. Cette règle du § 3.1.3(2) est contre-intuitive et c'est la plus mal appliquée de l'Eurocode 5.
Votre rôle : Produire un tableau de synthèse traçable : six résistances de calcul, chacune rattachée à sa ligne de tableau, plus les valeurs de rigidité à employer — qui, elles, ne dépendent pas de \( k_{\text{mod}} \).

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les six résistances de calcul : les valeurs caractéristiques du C24, puis \( f_{\text{m},\text{d}} \) et \( f_{\text{v},\text{d}} \) pour les trois cas, chacune assortie du \( k_{\text{mod}} \) retenu et de sa justification normative.
Livrable 2 — la lecture d'ingénieur : la règle de choix de \( k_{\text{mod}} \) en combinaison, le seuil à partir duquel une combinaison de longue durée devient dimensionnante, et les valeurs de rigidité à employer à l'ELU comme à l'ELS.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française. Les caractéristiques mécaniques du bois massif résineux proviennent de la NF EN 338 — et non de la NF EN 14080, qui ne couvre que le lamellé-collé. Deux points appellent une vigilance particulière : la classe de durée du vent, qui n'est pas la même dans le texte de base et dans l'annexe nationale française, et la règle de choix de \( k_{\text{mod}} \) lorsqu'une combinaison mélange des actions de durées différentes, donnée au § 3.1.3(2).

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Résistance de calcul — EN 1995-1-1 § 2.4.1 \( X_{\text{d}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\;X_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Choix de \( k_{\text{mod}} \) en combinaison — § 3.1.3(2) \( k_{\text{mod}} = k_{\text{mod}}\big(\text{CS} ;\; \text{durée la plus courte}\big) \)
Fractile 5 % du module axial, résineux — NF EN 338 \( E_{0,05} \simeq \dfrac{2}{3}\,E_{0,\text{mean}} \)
Module de calcul pour la stabilité — § 2.4.1 \( E_{\text{d}} = \dfrac{E_{0,05}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Module final tenant compte du fluage — § 2.3.2.2 \( E_{\text{mean},\text{fin}} = \dfrac{E_{0,\text{mean}}}{1 + k_{\text{def}}} \)
Contrainte de cisaillement effective — § 6.1.7 \( \tau_{\text{d}} = \dfrac{3}{2}\;\dfrac{V_{\text{Ed}}}{k_{\text{cr}}\,b\,h} \)
Combinaison fondamentale ELU — EN 1990 éq. (6.10) \( E_{\text{d}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \)
Combinaison sous charges permanentes seules \( E_{\text{d}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
Classe	Bois massif résineux classé, identique pour les trois cas NF EN 338 - Tableau 1	C24	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du bois massif, situations durables et transitoires EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{def}} \)	Coefficient de fluage, bois massif en classe de service 1 EN 1995-1-1 - Tableau 3.2	0,60	—
\( k_{\text{def}} \)	Coefficient de fluage, bois massif en classe de service 2 EN 1995-1-1 - Tableau 3.2	0,80	—
\( k_{\text{cr}} \)	Coefficient de fissuration appliqué à la largeur au cisaillement EN 1995-1-1 - § 6.1.7	0,67	—

Ce que \( k_{\text{mod}} \) affecte, et ce qu'il n'affecte pas

Affecte : \( \text{toutes les } \textbf{resistances} \text{ — flexion, cisaillement, traction, compression} \)
N affecte pas : \( \text{les } \textbf{modules} \text{ — } E_{0,\text{mean}},\ E_{0,05},\ G_{\text{mean}} \)
Sur la rigidite, c est : \( k_{\text{def}} \text{ qui agit, et seulement a l ELS ou pour le fluage} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Cas	Usage de la pièce	Classe de service	Classe de durée
A	Solive de plancher d'habitation — charge d'exploitation courante	1	Moyen terme
B	Poutre supportant un local de stockage EN 1995-1-1 - Tableau 2.2	1	Long terme
C	Élément de contreventement vérifié sous l'action du vent — classe de durée à établir selon l'annexe nationale NF EN 1995-1-1/NA	2	À établir

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Dimensionnement de sections : \( \text{aucune geometrie n est donnee — l exercice porte sur le } \textbf{materiau} \)
Coefficient de hauteur : \( k_{\text{h}} \text{ du } \S\,3.2 \text{ — sans objet tant qu aucune hauteur n est fixee} \)
Situation accidentelle : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}0 \text{ et le feu — voir l EN 1995-1-2} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait de la NF EN 338 — bois massif résineux

Grandeur	C18	C24	C30
Flexion \( f_{\text{m},\text{k}} \)	18	24	30
Cisaillement \( f_{\text{v},\text{k}} \)	3,4	4,0	4,0
Compression axiale \( f_{\text{c},0,\text{k}} \)	18	21	24
Module moyen \( E_{0,\text{mean}} \)	9 000	11 000	12 000
Fractile 5 % \( E_{0,05} \)	6 000	7 400	8 000
Masse volumique \( \rho_{\text{k}} \)	320	350	380

Toutes les résistances sont en N/mm², les masses volumiques en kg/m³. La lettre C désigne un conifère ; les feuillus reçoivent un D, comme le D30. Le nombre est la résistance caractéristique en flexion : un C24 est un résineux dont 95 % des pièces dépassent 24 N/mm² en flexion. Attention, la version 2016 de la norme a relevé les résistances au cisaillement : les documents plus anciens portent \( f_{\text{v},\text{k}} = 2{,}5 \) N/mm² pour le C24.

Extrait du tableau 3.1 — coefficient \( k_{\text{mod}} \), bois massif

Classe de durée	Service 1	Service 2	Service 3
Permanente	0,60	0,60	0,50
Long terme	0,70	0,70	0,55
Moyen terme	0,80	0,80	0,65
Court terme	0,90	0,90	0,70
Instantanée	1,10	1,10	0,90

Les classes de service 1 et 2 partagent les mêmes valeurs pour le bois massif : tant que l'humidité du bois reste sous le point de saturation des fibres, la résistance à court terme change peu. C'est la classe 3, où le bois peut être mouillé, qui décroche. La différence entre les classes 1 et 2 se manifeste sur le fluage, via \( k_{\text{def}} \) : 0,60 contre 0,80.

Tableau 2.2 — classes de durée, et ce que change l'annexe nationale

Permanente : plus de 10 ans — poids propre, équipements fixes
Long terme : de 6 mois à 10 ans — stockage
Moyen terme : d'une semaine à 6 mois — charges d'exploitation courantes
Court terme : moins d'une semaine — neige en France sous 1 000 m d'altitude
Instantanée : action accidentelle, et en France le vent

Le texte de base de l'EN 1995-1-1 range le vent en court terme, mais précise que le classement relève de l'annexe nationale. L'annexe française le classe en instantanée, ce qui donne \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \) au lieu de 0,90 — un écart de 22 % sur la résistance de calcul. Calculer un contreventement avec le seul tableau européen sous les yeux conduit donc, en France, à un surdimensionnement systématique.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

Ligne complète du C24 — NF EN 338, tableau 1, dans sa version 2016 pour \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour le bois massif — tableau 2.3 et annexe nationale
Grille complète des \( k_{\text{mod}} \) — tableau 3.1, ligne « bois massif »
\( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) et \( 0{,}80 \) — tableau 3.2, bois massif, classes de service 1 et 2
Classement du vent en action instantanée — NF EN 1995-1-1/NA, point le plus important à confirmer sur le texte officiel

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Valeurs caractéristiques du C24 et grandeurs de base

Lecture normative 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir le point de départ commun aux trois cas. Cette étape ne dépend d'aucune situation : elle ne fait intervenir que la classe de bois et le coefficient partiel, tous deux identiques de A à C.

Énoncé Q1 : À partir de l'extrait de la NF EN 338 fourni en annexe :

relever les valeurs caractéristiques du C24 en flexion, en cisaillement et en rigidité ;
calculer les deux rapports de base \( f_{\text{m},\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) et \( f_{\text{v},\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) qui serviront dans tout l'exercice ;
vérifier la relation entre \( E_{0,05} \) et \( E_{0,\text{mean}} \), et dire lesquelles de ces grandeurs \( k_{\text{mod}} \) va modifier.

La dernière question n'est pas rhétorique : la moitié des erreurs de calcul bois vient de là .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) traduit une perte de résistance sous charge prolongée et humidité : le bois finit par rompre sous une charge qu'il supportait au départ. Demandez-vous si ce phénomène concerne la rupture ou la raideur — et vous saurez sur quelles grandeurs il s'applique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour le C24 : \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \), \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm², \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm². Les deux rapports valent 18,46 et 3,08 N/mm². Et \( k_{\text{mod}} \) ne s'applique qu'aux résistances : jamais aux modules.

Question 2 : Résistance de calcul en flexion pour les trois cas

Choix normatif 30 min | Piège

But de l'étape : Transformer un potentiel de laboratoire en une valeur utilisable sur le chantier. L'arithmétique est triviale ; toute la difficulté tient au choix de la ligne du tableau 3.1, et le cas C montre que ce choix dépend du pays.

Énoncé Q2 : En justifiant chaque coefficient par sa référence normative :

déterminer le \( k_{\text{mod}} \) de chacun des trois cas, en précisant la classe de durée retenue ;
calculer la résistance de calcul en flexion \( f_{\text{m},\text{d}} \) pour A, B et C ;
chiffrer ce que coûterait le classement du vent en court terme plutôt qu'en instantanée.

Le cas C n'a pas la même réponse selon que vous lisez le tableau européen ou l'annexe nationale française. C'est le cœur de la question.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le bois flue : sous charge, ses fibres se réarrangent lentement et sa capacité diminue. Une rafale de vent ne laisse pas le temps à ce phénomène de se produire ; dix ans de stockage lui laissent tout le temps. \( k_{\text{mod}} \) n'est rien d'autre que la formalisation de cette intuition — et le vent, en France, est classé au plus court des cinq niveaux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les \( k_{\text{mod}} \) valent 0,80, 0,70 et 1,10. Multipliés par le rapport 18,46 N/mm², ils donnent 14,77, 12,92 et 20,31 N/mm². Avec la lecture « court terme » du texte de base, le cas C tomberait à 16,62 N/mm².

Question 3 : Résistance de calcul au cisaillement pour les trois cas

Lecture critique 25 min | Piège

But de l'étape : Répéter la démarche sur la seconde résistance, et découvrir que la valeur \( f_{\text{v},\text{d}} \) ne suffit pas à décrire la capacité au cisaillement d'une pièce réelle : un second coefficient, propre à ce mode de ruine, intervient sur la section.

Énoncé Q3 : À partir de \( f_{\text{v},\text{k}} \) et des \( k_{\text{mod}} \) de la question 2 :

calculer la résistance de calcul au cisaillement \( f_{\text{v},\text{d}} \) pour A, B et C ;
vérifier que les rapports entre les trois cas sont les mêmes qu'en flexion, et dire pourquoi ;
établir la résistance équivalente sur section brute une fois \( k_{\text{cr}} \) pris en compte, pour le cas A.

La dernière puce est celle qui compte : elle explique pourquoi une pièce qui « passe » sur le papier peut se fendre en service .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) dépend des conditions d'emploi, pas du mode de sollicitation : il est donc identique en flexion et en cisaillement pour un même cas. En revanche, \( k_{\text{cr}} \) est spécifique au cisaillement, et il agit sur la largeur de la section, pas sur la résistance.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport de base vaut \( 4{,}0/1{,}30 = 3{,}08 \) N/mm². Les trois résistances sont donc 2,46, 2,15 et 3,38 N/mm². Pour la dernière puce, multipliez \( f_{\text{v},\text{d},\text{A}} \) par \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \).

Question 4 (Finale) : Quelle combinaison gouverne, et quelle rigidité employer

Synthèse et décision 30 min | BOSS

But de l'étape : Sortir du cas d'école. Sur un projet réel, une pièce ne subit pas une action mais une combinaison — et il faut alors vérifier plusieurs combinaisons, chacune avec son propre \( k_{\text{mod}} \). La plus défavorable n'est pas toujours celle qui porte la charge la plus forte.

Mention spéciale — le piège de la combinaison permanente seule : La combinaison \( 1{,}35\,G_{\text{k}} \) porte une charge plus faible que \( 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \), mais elle se vérifie avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) au lieu de 0,70 ou 0,80. Lorsque le poids propre domine largement, c'est elle qui dimensionne — et elle est presque toujours oubliée.

Comparer les trois résistances en flexion et dire quel usage est le plus favorable, lequel est le plus pénalisant. Établir ensuite le rapport \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} \) au-delà duquel la combinaison permanente seule devient dimensionnante. Donner enfin les deux valeurs de rigidité à employer : celle de la vérification de stabilité à l'ELU, et celle de la flèche à long terme en classe de service 1.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour comparer deux combinaisons, ne comparez pas les charges : comparez les taux de travail, c'est-à-dire le rapport de la sollicitation à la résistance correspondante. Posez l'égalité entre les deux taux et isolez \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} \) : vous obtiendrez le seuil cherché.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Écrivez \( 1{,}35\,G/0{,}60 = (1{,}35\,G + 1{,}50\,Q)/0{,}70 \) et résolvez : le seuil tombe à 6,67. Pour la rigidité, \( E_{\text{d}} = 7\,400/1{,}30 \) à l'ELU de stabilité, et \( E_{\text{mean},\text{fin}} = 11\,000/(1 + 0{,}60) \) pour la flèche à long terme.

NOTE DE CALCULS

Des valeurs caractéristiques aux valeurs de calcul d'un bois massif C24

Question 1 : Valeurs caractéristiques du C24 et grandeurs de base

Dans la tête de l'ingénieur

"Avant de calculer quoi que ce soit, je dois savoir de quoi je dispose. Un C24, c'est une ligne de tableau : cinq ou six nombres qui décrivent ce que le bois sait faire en laboratoire. Mon travail sera de les transformer en valeurs utilisables sur un chantier, et j'ai appris à me méfier de l'étape suivante — parce qu'elle ne s'applique pas à tout. Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) va réduire mes résistances, mais je vais vérifier qu'il ne touche pas à mes modules. Et tant qu'à faire, je vais poser dès maintenant les deux divisions que je referais sinon six fois de suite."

Observation : Les trois cas partagent la même classe de bois et le même coefficient partiel. Tout ce qui est commun peut donc être calculé une seule fois — c'est l'objet de cette question.
Analyse du risque : Lire \( f_{\text{v},\text{k}} \) dans une édition ancienne de la NF EN 338 donnerait 2,5 N/mm² au lieu de 4,0 : la version 2016 a relevé les résistances au cisaillement. Un écart de 60 % sur une valeur qu'on croit connaître par cœur.
Choix stratégique : Je pré-calcule les rapports \( f_{\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \). Les six résistances de calcul de l'exercice ne seront ensuite que six multiplications, ce qui rend les erreurs d'arithmétique visibles à l'œil.
Alternative : J'aurais pu me contenter de relever les valeurs, comme le demande la lettre de la question. Mais vérifier la relation entre \( E_{0,05} \) et \( E_{0,\text{mean}} \) coûte une ligne et fait comprendre d'où vient le tableau, ce qui vaut mieux que de le subir.
Objectif visé : Sortir avec deux nombres à retenir — 18,46 et 3,08 — et une frontière claire entre ce que \( k_{\text{mod}} \) modifie et ce qu'il laisse intact.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) · \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) · \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² · rapports de base 18,46 et 3,08 N/mm² · \( k_{\text{mod}} \) n'agit que sur les résistances

Rappel Théorique : ce qu'est une valeur caractéristique

Le bois est un matériau vivant, dont deux pièces voisines n'ont jamais exactement la même résistance. Les normes ne peuvent donc pas donner « la » résistance d'un C24 : elles donnent une valeur statistique, et il faut savoir laquelle.

Principe 1 — le fractile 5 % pour les résistances : \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm² signifie que 95 % des pièces d'un lot classé C24 dépassent cette valeur en flexion. Ce n'est ni une moyenne, ni un minimum absolu : c'est un seuil que l'on accepte de voir franchi une fois sur vingt.
Principe 2 — la moyenne pour les rigidités : \( E_{0,\text{mean}} \) est en revanche une moyenne. Pour une flèche, ce qui compte est le comportement d'ensemble d'un plancher, où les faiblesses individuelles se compensent d'une solive à l'autre.
Principe 3 — sauf pour la stabilité, où l'on reprend le fractile : Dès qu'une instabilité est en jeu — flambement, déversement — c'est la pièce la plus souple qui décide, et non la pièce moyenne. La norme impose alors \( E_{0,05} \), soit environ deux tiers de la moyenne.
Principe 4 — le classement est une opération industrielle : Une planche devient « C24 » parce qu'elle a été classée, visuellement par un opérateur ou mécaniquement par une machine qui mesure sa rigidité. Sans marquage, le bois n'a aucune valeur de calcul, quelle que soit son essence.
Principe 5 — le C ne dit rien de l'essence : C désigne un conifère, D un feuillu. Un épicéa et un pin sylvestre peuvent tous deux être classés C24, et un même arbre fournit des planches de classes différentes selon l'endroit d'où elles sont débitées.

Équations Fondamentales

Deux relations pour cette question : celle qui gouverne tout l'exercice, et une relation interne à la NF EN 338 qui permet de contrôler la cohérence du tableau.

Résistance de calcul — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle transforme une valeur caractéristique en valeur utilisable dans une vérification.

Pourquoi cette formule ?

Parce que deux corrections distinctes doivent être apportées. \( \gamma_{\text{M}} \) couvre l'incertitude — dispersion du matériau, imprécision du modèle de calcul — et s'applique à tous les matériaux de construction. \( k_{\text{mod}} \) est propre au bois : il couvre la perte réelle de résistance sous charge prolongée et sous humidité. L'un est probabiliste, l'autre est physique.

Contexte de validité : Toutes les résistances du bois, sans exception : flexion, cisaillement, traction et compression, axiales comme transversales. Jamais les modules.
Avantage : Une seule formule pour toutes les vérifications ELU. Le travail de l'ingénieur se réduit à choisir correctement deux coefficients, ce qui est à la fois plus simple et plus exigeant qu'il n'y paraît.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), qui varie de 0,50 à 1,10 selon la situation. C'est le seul coefficient de l'Eurocode 5 qui puisse être supérieur à 1 : sous une action instantanée, le bois dépasse sa résistance caractéristique.
Vérification : La résistance de calcul doit toujours être inférieure à la caractéristique, sauf dans le cas instantané où \( 1{,}10/1{,}30 = 0{,}85 \) la maintient tout de même en dessous.
Limite : En situation accidentelle — incendie, choc — le tableau 2.3 impose \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}0 \). La formule reste valable, mais avec un autre coefficient partiel.

\[ \begin{aligned} X_{\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;X_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on part de ce que le bois sait faire au laboratoire, on retranche ce que le temps et l'eau lui prendront, puis on garde une marge pour ce qu'on ignore. Les deux coefficients ne se recouvrent pas : \( k_{\text{mod}} \) décrit un phénomène réel et mesuré, \( \gamma_{\text{M}} \) une ignorance assumée. C'est pourquoi ils se multiplient au lieu de se remplacer.

Décomposition des termes :

\( X_{\text{d}} \) : valeur de calcul de la résistance, celle qui entre dans la vérification, unité : N/mm²
\( X_{\text{k}} \) : valeur caractéristique, fractile 5 % lu dans la NF EN 338, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : coefficient de modification, tableau 3.1, de 0,50 à 1,10, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel du matériau, 1,30 en bois massif, unité : sans dimension
Ne s'applique pas à : \( E_{0,\text{mean}} \), \( E_{0,05} \), \( G_{\text{mean}} \), unité : N/mm²

Relation interne à la NF EN 338 pour les résineux :

Elle lie le fractile 5 % du module axial à sa valeur moyenne.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le module d'élasticité d'un lot de bois classé suit une distribution assez régulière d'une classe à l'autre. La norme n'a pas mesuré indépendamment chaque valeur : elle a établi une relation entre la moyenne et le fractile bas, puis arrondi. Connaître cette relation permet de contrôler une lecture de tableau et de retrouver un ordre de grandeur sans document sous la main.

Contexte de validité : Bois massif résineux, classes C. Les feuillus de la série D et le lamellé-collé suivent d'autres relations.
Avantage : Elle permet de retrouver de mémoire une valeur qu'on n'a pas sous les yeux, et de repérer immédiatement une coquille dans un tableau recopié.
Paramètre clé : Le facteur 2/3, qui traduit la dispersion du module dans un lot classé. Plus le classement est fin, plus ce rapport se rapprocherait de 1.
Vérification : La valeur calculée doit être proche de la valeur tabulée, à l'arrondi près. Un écart de plus de quelques pour cent signale une erreur de ligne.
Limite : C'est une relation approchée. En cas de divergence, c'est toujours la valeur tabulée qui fait foi dans une note de calculs — jamais le résultat de cette formule.

\[ \begin{aligned} E_{0,05} \simeq \frac{2}{3}\,E_{0,\text{mean}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la planche la plus souple d'un lot de C24 est environ un tiers moins raide que la planche moyenne. Cette dispersion n'a rien d'anormal : elle reflète la variabilité de densité et de pente de fil au sein d'une même classe. Toute la question est de savoir quelle planche décide — la moyenne pour une flèche de plancher, la plus souple pour un poteau qui flambe.

Décomposition des termes :

\( E_{0,05} \) : fractile 5 % du module axial, employé pour la stabilité, unité : N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \) : module axial moyen, employé pour les flèches, unité : N/mm²
Facteur 2/3 : rapport approché propre aux résineux classés, unité : sans dimension
Indice 0 : direction axiale, parallèle au fil du bois, unité : —
À ne pas confondre : \( E_{90,\text{mean}} = 370 \) N/mm², trente fois plus faible, unité : N/mm²

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'appliquer \( k_{\text{mod}} \) au module d'élasticité pour calculer une flèche..."

L'approche d'ingénieur : L'erreur est compréhensible : puisque le bois flue, sa raideur diminue bien avec le temps. Mais ce n'est pas ce coefficient qui le décrit.

L'erreur : Écrire \( E_{\text{d}} = k_{\text{mod}} E_{0,\text{mean}}/\gamma_{\text{M}} \). La flèche obtenue serait fausse dans les deux sens selon le cas : trop grande sous charge permanente, trop faible sous une action instantanée où \( k_{\text{mod}} \) dépasse 1.
La bonne méthode : Deux coefficients distincts pour deux effets distincts. \( k_{\text{mod}} \) réduit les résistances à l'ELU ; \( k_{\text{def}} \) augmente les déformations à l'ELS, par la relation \( E_{\text{mean},\text{fin}} = E_{0,\text{mean}}/(1 + k_{\text{def}}) \).
L'astuce de pro : Retenir la répartition par limite d'état : ELU d'où \( k_{\text{mod}} \) sur les résistances, ELS d'où \( k_{\text{def}} \) sur les modules. Aucun croisement.
Le moyen mnémotechnique : « mod casse, def déforme » — le premier agit sur ce qui rompt, le second sur ce qui plie.
L'impact direct : Sur une solive de plancher, confondre les deux conduit à annoncer une flèche erronée de plusieurs millimètres. Or c'est très souvent la flèche, et non la résistance, qui dimensionne une solive.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{\text{m},\text{k}} \) et \( f_{\text{v},\text{k}} \) : exprimées en N/mm² , identiques aux MPa
\( \gamma_{\text{M}} \) : grandeur sans unité , les rapports restent donc en N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \) : exprimé en N/mm² — la norme le tabule souvent en kN/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : grandeur sans unité , il ne change jamais la nature du résultat
Rapports \( f_{\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) : obtenus en N/mm² , ce sont déjà des contraintes

Le piège d'unité de cette question tient à la tabulation en kN/mm² des modules. La NF EN 338 écrit couramment \( E_{0,\text{mean}} = 11{,}0 \) kN/mm², qu'il faut lire 11 000 N/mm² pour rester homogène avec les résistances. Un facteur mille glissé là passe totalement inaperçu dans une note, puisque le résultat reste plausible sur une flèche.

1. Résolution Numérique Rapport de base en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il est commun aux trois cas : seul \( k_{\text{mod}} \) changera ensuite. Le poser une fois évite trois divisions et trois occasions de se tromper.

Méthodologie du calcul :

Division de la résistance caractéristique en flexion par le coefficient partiel du bois massif.

Substitution : \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm² pour le C24 et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) selon le tableau 2.3.
Piège évité : Ne pas prendre \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), qui est la valeur du lamellé-collé. Le nombre 24 se retrouve dans les deux produits, et c'est précisément ce qui égare.
Hypothèse validée : Situation durable ou transitoire. En situation accidentelle, \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}0 \) et ce rapport vaudrait directement 24.
Vérification croisée : Le résultat doit être inférieur à 24 et voisin de 18 à 19. Un rapport supérieur à la caractéristique signalerait une division inversée.
Finalité : Ce nombre sera multiplié par les trois \( k_{\text{mod}} \) de la question 2 pour donner les trois résistances de calcul en flexion.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} &= \frac{24}{1{,}30} \\ &= \mathbf{18{,}46} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

18,46 N/mm². Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Le coefficient partiel retire d'emblée 23 % de la résistance affichée, avant même que \( k_{\text{mod}} \) n'intervienne.
Impact sur la suite : C'est le plafond absolu des résistances de calcul en flexion de cet exercice : aucun cas ne pourra le dépasser tant que \( k_{\text{mod}} \) reste inférieur à 1.
Cohérence : En lamellé-collé, avec \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), le même 24 donnerait 19,20 N/mm². L'écart de 4 % entre les deux produits vient uniquement du coefficient partiel.
Attention : Ce nombre n'est pas une résistance de calcul. C'est un intermédiaire de calcul, qu'il ne faut jamais reporter tel quel dans une vérification.
Comparaison : Pour du C18, le même rapport vaudrait 13,85 N/mm², et pour du C30 23,08 N/mm². La progression est strictement proportionnelle à la classe.

Remarque pédagogique : Faites poser ce rapport avant tout choix de \( k_{\text{mod}} \). Séparer les deux étapes met en évidence ce qui relève du matériau — invariable pour un projet donné — et ce qui relève de la situation, qui change d'un élément à l'autre. Les étudiants qui mélangent les deux finissent par recalculer la division à chaque ligne, et par se tromper au bout de la quatrième.

Rapport de base en cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour la même raison, sur la seconde résistance qui sera vérifiée. Le coefficient partiel est identique : il dépend du produit, pas du mode de sollicitation.

Méthodologie du calcul :

Division de la résistance caractéristique au cisaillement par le même coefficient partiel qu'en flexion.

Substitution : \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm² pour le C24 selon la NF EN 338 dans sa version 2016.
Piège évité : Ne pas reprendre \( f_{\text{v},\text{k}} = 2{,}5 \) N/mm², valeur des éditions antérieures de la norme, encore présente dans beaucoup de supports de cours et de mémentos.
Hypothèse validée : Le coefficient partiel ne dépend pas du mode de ruine. Un seul \( \gamma_{\text{M}} \) par produit, quelle que soit la sollicitation vérifiée.
Vérification croisée : Le rapport entre les deux nombres obtenus, \( 18{,}46/3{,}08 = 6{,}0 \), doit égaler le rapport des caractéristiques \( 24/4{,}0 \). C'est le contrôle le plus rapide.
Finalité : Ce nombre servira aux trois résistances de calcul au cisaillement de la question 3.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{\text{v},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} &= \frac{4{,}0}{1{,}30} \\ &= \mathbf{3{,}08} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,08 N/mm², six fois moins qu'en flexion. Voyons ce que cet écart signifie.

Ordre de grandeur : Quelques N/mm² seulement. Le bois est anisotrope : il résiste bien le long de ses fibres, mal au glissement de ces fibres les unes sur les autres.
Impact sur la suite : Ce faible niveau explique que le cisaillement devienne dimensionnant sur les poutres courtes et chargées, où l'effort tranchant est fort et le moment modeste.
Cohérence : Le rapport 6 entre flexion et cisaillement se retrouve inchangé après division : le coefficient partiel commun ne modifie aucun rapport.
Attention : La rupture par cisaillement est fragile : elle survient sans déformation annonciatrice, contrairement à la flexion qui prévient par une flèche croissante.
Comparaison : Avec l'ancienne valeur de 2,5 N/mm², ce rapport ne vaudrait que 1,92 N/mm². La révision de 2016 a donc apporté 60 % de capacité au cisaillement, sur le papier comme sur les projets.

Remarque pédagogique : Profitez de ce calcul pour faire manipuler le paquet de spaghettis crus : difficile à casser en flexion, trivial à faire glisser dans le sens de la longueur. L'image est juste et elle tient toute la carrière. Signalez aussi que cette valeur de 4,0 N/mm² est récente : un étudiant qui consultera un mémento d'avant 2016 y trouvera 2,5, et devra savoir pourquoi les deux existent.

Contrôle de cohérence sur le module axial

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier que la ligne du tableau a été lue correctement, et pour ancrer la différence de nature entre une valeur moyenne et un fractile.

Méthodologie du calcul :

Application de la relation approchée de la NF EN 338 et comparaison avec la valeur effectivement tabulée.

Substitution : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² pour le C24, valeur lue dans l'extrait de norme.
Piège évité : Ne pas appliquer \( \gamma_{\text{M}} \) ni \( k_{\text{mod}} \) à ce stade. On compare deux valeurs caractéristiques entre elles, pas des valeurs de calcul.
Hypothèse validée : Bois résineux classé, série C. Le rapport de deux tiers ne vaudrait pas pour un feuillu de la série D.
Vérification croisée : Le même contrôle sur le C30 donne \( 2/3 \times 12\,000 = 8\,000 \) N/mm², qui est exactement la valeur tabulée. La relation est donc bien celle qui a servi à construire le tableau.
Finalité : Fixer la valeur de \( E_{0,05} \) qui servira à la question 4 pour la vérification de stabilité.

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}\,E_{0,\text{mean}} &= \frac{2}{3} \times 11\,000 \\ &= 7\,333 \text{ N/mm}^{2} \quad \text{contre } \mathbf{7\,400} \text{ tabulé} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7 333 calculés contre 7 400 tabulés, soit 0,9 % d'écart. Voyons ce que cela indique.

Ordre de grandeur : Moins de 1 % d'écart : la relation est confirmée, et l'écart n'est qu'un arrondi de la norme à la centaine supérieure.
Impact sur la suite : C'est 7 400 qu'il faut employer, et non 7 333. Dans une note de calculs, la valeur tabulée fait toujours foi sur une relation approchée.
Cohérence : Le rapport réel \( 7\,400/11\,000 = 0{,}673 \) est bien voisin de deux tiers. La norme a arrondi vers le haut, ce qui est défavorable à la sécurité — signe qu'elle considère cette précision comme suffisante.
Attention : Ces deux modules ne s'emploient jamais indifféremment : \( E_{0,\text{mean}} \) pour une flèche, \( E_{0,05} \) dès qu'une instabilité est vérifiée.
Comparaison : Le module transversal \( E_{90,\text{mean}} \) ne vaut que 370 N/mm², soit trente fois moins. L'anisotropie du bois est bien plus marquée en rigidité qu'en résistance, où le rapport n'est que de six.

Remarque pédagogique : Ce petit écart de 0,9 % est une excellente occasion de poser une règle de méthode : lorsqu'une relation approchée et une valeur tabulée divergent, c'est toujours le tableau qui l'emporte. La relation sert à contrôler, jamais à remplacer. Les étudiants qui recalculent tout ce qu'ils pourraient lire finissent par introduire des écarts que personne ne sait plus expliquer trois mois plus tard.

RÉSULTAT FINAL

Rapports de base à retenir : 18,46 et 3,08 N/mm² — et \( k_{\text{mod}} \) n'agit que sur les résistances

"Deux divisions posées une fois, six multiplications ensuite : la note se relit toute seule !"

Question 2 : Résistance de calcul en flexion pour les trois cas

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois multiplications : voilà pour l'arithmétique. Mais entre le tableau et la multiplication, il y a une décision, et c'est là que tout se joue. Le cas A ne me pose aucun problème, une charge d'exploitation d'habitation est de moyen terme, tout le monde le sait. Le cas B non plus, la ligne « stockage » est écrite noir sur blanc dans le tableau 2.2. Le cas C, en revanche, m'oblige à ouvrir l'annexe nationale — parce que le texte européen y range le vent en court terme, avec une note qui renvoie explicitement aux États membres. Et en France, la réponse n'est pas celle-là. Un ingénieur qui calcule avec le seul document européen sous les yeux surdimensionnera tous ses contreventements, sans jamais comprendre pourquoi ses sections sont plus grosses que celles du confrère d'à côté."

Observation : Les cas A et B partagent la même classe de service. Leur seule différence est la durée — et elle suffit à créer un écart de 14 % sur la résistance de calcul.
Analyse du risque : Le cas C combine deux occasions de se tromper : lire la ligne « court terme » du texte de base, ou croire que la classe de service 2 pénalise le \( k_{\text{mod}} \). Ni l'un ni l'autre n'est vrai en France pour du bois massif.
Choix stratégique : Je calcule les deux versions du cas C — celle de l'annexe française et celle du texte européen — pour chiffrer l'enjeu plutôt que de l'affirmer. Un écart annoncé sans nombre ne convainc personne.
Alternative : J'aurais pu me contenter d'un tableau à trois lignes. Mais énoncer d'abord la règle de choix du § 3.1.3(2) évite que l'étudiant croie que \( k_{\text{mod}} \) se choisit « par élément » — alors qu'il se choisit par combinaison.
Objectif visé : Sortir avec trois résistances de calcul justifiées ligne par ligne, et une conscience nette de ce que l'annexe nationale change.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Cas A : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) d'où 14,77 · Cas B : \( 0{,}70 \) d'où 12,92 · Cas C : \( 1{,}10 \) d'où 20,31 N/mm² · en lecture « court terme » le cas C tomberait à 16,62

Rappel Théorique : pourquoi la durée compte autant

Un matériau qui rompt plus vite parce qu'on le charge plus longtemps : l'idée surprend, et pourtant elle est au cœur du calcul bois. Le phénomène porte un nom, il se mesure, et l'Eurocode le condense dans un coefficient unique.

Principe 1 — le fluage n'est pas qu'une déformation : Sous charge maintenue, les fibres de bois se réarrangent lentement. La pièce se déforme, mais elle perd aussi de la capacité : une poutre chargée à 60 % de sa résistance instantanée peut rompre au bout de quelques années.
Principe 2 — la courbe de Madison : Les essais menés dès les années 1940 ont établi la relation entre la durée de chargement et la résistance résiduelle. C'est de cette courbe expérimentale que descendent les cinq valeurs de la colonne « classe de service 1 ».
Principe 3 — l'humidité accélère tout : L'eau agit comme un plastifiant entre les chaînes de cellulose. C'est pourquoi la classe de service 3, où le bois peut être mouillé, décroche nettement : \( k_{\text{mod}} \) y tombe à 0,50 sous charge permanente.
Principe 4 — le choix se fait par combinaison, pas par élément : Le § 3.1.3(2) est formel : quand une combinaison réunit des actions de durées différentes, on retient le \( k_{\text{mod}} \) de l'action de durée la plus courte. Une poutre sous poids propre et vent se vérifie donc avec le \( k_{\text{mod}} \) du vent.
Principe 5 — l'annexe nationale a le dernier mot sur les durées : Le tableau 2.2 propose un classement, mais renvoie explicitement aux annexes nationales. La France classe le vent en instantanée et la neige en court terme sous 1 000 m — un choix qui n'est pas partagé par tous les pays européens.

Équations Fondamentales

Une formule triviale et une règle de choix qui ne l'est pas. C'est la seconde qui distingue un calcul juste d'un calcul seulement vraisemblable.

Résistance de calcul en flexion :

C'est la déclinaison en flexion de la relation générale de la question 1.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification à l'ELU consiste à comparer une contrainte à une résistance, et que les deux doivent être exprimées dans le même référentiel de sécurité. La contrainte est calculée sous charges pondérées ; la résistance doit donc être minorée en conséquence.

Contexte de validité : Vérification en flexion simple à l'ELU, situations durables et transitoires. Un coefficient de hauteur \( k_{\text{h}} \) peut s'y ajouter si la section est connue et petite.
Avantage : Elle isole clairement les trois ingrédients : le matériau, la situation d'emploi, et le niveau de sécurité voulu. Chacun est traçable et modifiable indépendamment.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), et lui seul, puisque les deux autres termes sont fixés par le produit. C'est la décision de l'ingénieur dans cette formule.
Vérification : Le résultat doit rester inférieur à 18,46 N/mm² tant que \( k_{\text{mod}} \) est inférieur à 1, et ne peut jamais dépasser \( 1{,}10 \times 18{,}46 = 20{,}31 \).
Limite : Elle donne une résistance, pas une vérification. Sans contrainte de calcul en face, ce nombre ne prouve rien sur la tenue d'une pièce.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la même planche ne vaut pas la même chose selon le temps pendant lequel on la charge. Là où l'acier offre une limite d'élasticité fixe, le bois offre une famille de résistances, et c'est à l'ingénieur de désigner laquelle s'applique. Cette responsabilité n'a pas d'équivalent dans les autres Eurocodes matériaux.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{m},\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, à comparer à \( \sigma_{\text{m},\text{d}} \), unité : N/mm²
\( f_{\text{m},\text{k}} \) : résistance caractéristique en flexion, 24 pour le C24, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : coefficient de modification, tableau 3.1, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel, 1,30 pour le bois massif, unité : sans dimension
Indice m : de l'anglais bending — dans l'Eurocode, m désigne la flexion, unité : —

Règle de choix en combinaison — EN 1995-1-1 § 3.1.3(2) :

Elle désigne quel \( k_{\text{mod}} \) retenir quand plusieurs actions coexistent.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la combinaison la plus défavorable n'est atteinte que pendant la durée de son action la plus brève. Une poutre ne subit poids propre et rafale de vent que pendant les quelques secondes de la rafale : c'est donc à cette échelle de temps qu'il faut apprécier la résistance du bois. La règle est logique, mais son effet est contre-intuitif puisqu'elle favorise les combinaisons qui contiennent une action brève.

Contexte de validité : Toute combinaison réunissant des actions de classes de durée différentes, ce qui est le cas général sur un projet réel.
Avantage : Elle évite un calcul de cumul de dommage autrement inextricable, en ramenant la question à une simple lecture de tableau.
Paramètre clé : La durée la plus courte présente dans la combinaison — et non la durée de l'action prépondérante, ni une moyenne pondérée.
Vérification : Si toutes les actions d'une combinaison sont permanentes, le \( k_{\text{mod}} \) retenu est celui de la ligne permanente, soit 0,60. C'est le cas de la combinaison \( 1{,}35\,G_{\text{k}} \) seule.
Limite : Elle oblige à vérifier plusieurs combinaisons, chacune avec son propre coefficient. La plus chargée n'est pas nécessairement la plus défavorable — c'est l'objet de la question 4.

\[ \begin{aligned} k_{\text{mod}} = k_{\text{mod}}\Big(\text{classe de service} \;;\; \min_{i}\big(\text{durée}_{i}\big)\Big) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le pic de charge ne dure que le temps de sa composante la plus brève, alors on juge le bois sur cette durée-là. C'est pour cela qu'ajouter du vent à une combinaison augmente la résistance de calcul : on ne change pas le bois, on change l'échelle de temps à laquelle on l'interroge.

Décomposition des termes :

Classe de service : 1, 2 ou 3 — fixée par l'ambiance, invariable pour un élément donné, unité : —
\( \text{durée}_{i} \) : classe de durée de chaque action de la combinaison, unité : —
\( \min \) : on retient la plus brève, donc le \( k_{\text{mod}} \) le plus élevé, unité : —
Cinq classes : permanente, long, moyen, court terme, instantanée, unité : —
Conséquence : plusieurs combinaisons à vérifier, chacune avec son coefficient, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de classer le vent en court terme, parce que c'est ce qu'indique le tableau 2.2 du texte européen..."

L'approche d'ingénieur : L'erreur est légitime : le tableau le dit. Mais il porte une note qui renvoie aux annexes nationales, et cette note n'est pas décorative.

L'erreur : Retenir \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) au lieu de 1,10 pour un contreventement. La résistance de calcul tombe de 20,31 à 16,62 N/mm², soit 22 % de capacité abandonnée sans raison.
La bonne méthode : Ouvrir la NF EN 1995-1-1/NA avant de choisir une classe de durée. L'annexe française classe le vent en instantanée et la neige en court terme sous 1 000 m d'altitude.
L'astuce de pro : Sur tout Eurocode, repérer les paramètres déterminés au niveau national — souvent signalés par une note. Ce sont eux qui changent d'un pays à l'autre, et ce sont eux qu'un logiciel mal paramétré applique de travers.
Le moyen mnémotechnique : « Le vent souffle, il ne s'installe pas » — d'où le classement français au plus bref des cinq niveaux.
L'impact direct : Sur une palée de stabilité, 22 % de résistance en moins conduisent à passer d'une section à la suivante dans la gamme. Le surcoût est réel et parfaitement évitable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( k_{\text{mod}} \) : grandeur sans unité , de 0,50 à 1,10
Rapport \( f_{\text{m},\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) : déjà en N/mm² , établi à la question 1
\( f_{\text{m},\text{d}} \) : obtenue en N/mm² , identique aux MPa
Écarts entre cas : exprimés en pourcentage , donc sans unité
Classe de service et classe de durée : ce sont des catégories , jamais des nombres à manipuler

Le piège de cette question n'est pas dimensionnel mais catégoriel. La classe de service 1 et la classe de durée « moyen terme » sont des étiquettes, pas des grandeurs : on ne les additionne pas, on ne les interpole pas. Un étudiant qui écrirait « classe de service 1,5 » pour un local partiellement chauffé commettrait une faute de nature, pas d'arrondi. En cas d'hésitation, la norme impose de retenir la classe la plus défavorable.

1. Résolution Numérique Cas A — solive de plancher d'habitation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la situation la plus courante du bâtiment : un plancher intérieur sous charge d'exploitation. Elle sert de référence aux deux autres.

Méthodologie du calcul :

Lecture du tableau 3.1 au croisement classe de service 1 et moyen terme, puis multiplication par le rapport de base.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et rapport de base \( 18{,}46 \) N/mm² établi à la question 1.
Piège évité : Ne pas descendre à la ligne permanente sous prétexte qu'un plancher est chargé en permanence. La charge d'exploitation d'un logement est de moyen terme selon le tableau 2.2.
Hypothèse validée : Local chauffé et clos : l'humidité du bois reste sous 12 %, ce qui correspond à la classe de service 1.
Vérification croisée : Le résultat représente \( 0{,}80/1{,}30 = 61{,}5 \) % de la résistance caractéristique. Sur 24 N/mm², cela donne bien 14,77.
Finalité : Cette valeur est celle qu'un bureau d'études emploie par défaut sur un plancher bois en C24, et il vaut la peine de la connaître de mémoire.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d},\text{A}} &= 0{,}80 \times \frac{24}{1{,}30} \\ &= 0{,}80 \times 18{,}46 \\ &= \mathbf{14{,}77} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,77 N/mm² pour un bois annoncé à 24. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : 62 % de la résistance caractéristique. Les deux coefficients cumulés retirent plus du tiers de ce que le tableau annonce.
Impact sur la suite : C'est la valeur de référence du plancher courant. Les deux autres cas se situeront de part et d'autre.
Cohérence : Un GL24h dans la même situation donnerait \( 0{,}80 \times 24/1{,}25 = 15{,}36 \) N/mm². L'écart de 4 % tient au seul coefficient partiel.
Attention : Sur une solive réelle, c'est souvent la flèche qui gouverne et non cette résistance. La vérification en flexion peut passer largement pendant que le critère de service échoue.
Comparaison : Un acier S235 offrirait 235 N/mm², soit seize fois plus — mais pour une masse volumique vingt-deux fois supérieure. Rapporté au poids, le bois soutient parfaitement la comparaison.

Remarque pédagogique : Faites remarquer qu'entre l'étiquette « C24 » et la valeur réellement utilisable, plus du tiers a disparu. Ce n'est ni une perte ni un gaspillage : c'est le prix d'une sécurité explicite, et il vaut mieux qu'un étudiant le mesure une fois plutôt qu'il applique la formule sans jamais regarder le résultat.

Cas B — poutre sous un local de stockage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la situation la plus pénalisante des trois, et qu'elle ne diffère du cas A que par la durée de la charge.

Méthodologie du calcul :

Lecture au croisement classe de service 1 et long terme, le tableau 2.2 citant explicitement le stockage pour cette ligne.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \), même rapport de base \( 18{,}46 \) N/mm² qu'au cas A.
Piège évité : Ne pas confondre long terme et permanente. Un stock se renouvelle, il ne fait pas partie de l'ouvrage — d'où 0,70 et non 0,60.
Hypothèse validée : Même ambiance qu'au cas A : local intérieur chauffé, donc classe de service 1. Seule la durée change.
Vérification croisée : Le rapport au cas A doit valoir \( 0{,}70/0{,}80 = 0{,}875 \). Sur les résistances : \( 12{,}92/14{,}77 = 0{,}875 \). Concordance exacte.
Finalité : Cette valeur sera le minimum des trois cas, et servira de borne basse à l'analyse de la question 4.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d},\text{B}} &= 0{,}70 \times \frac{24}{1{,}30} \\ &= 0{,}70 \times 18{,}46 \\ &= \mathbf{12{,}92} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,92 N/mm², soit 12,5 % de moins que le cas A pour un bois rigoureusement identique. Voyons ce que cela implique.

Ordre de grandeur : 54 % de la résistance caractéristique. Presque la moitié du potentiel du matériau est absorbée par la sécurité et la durée.
Impact sur la suite : À charge égale, un plancher de stockage demande une section plus forte qu'un plancher d'habitation — indépendamment de l'intensité des charges.
Cohérence : L'écart au cas A vaut exactement le rapport des \( k_{\text{mod}} \). Aucun autre terme n'a changé, et le contrôle est immédiat.
Attention : Sous charges permanentes seules, ce serait \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) qu'il faudrait retenir, soit 11,08 N/mm². Cette combinaison doit aussi être vérifiée — c'est l'objet de la question 4.
Comparaison : En classe de service 3, bois exposé aux intempéries, la même situation donnerait \( 0{,}55 \times 18{,}46 = 10{,}15 \) N/mm². L'humidité coûte encore 21 % de plus.

Remarque pédagogique : Ce cas illustre une intuition ancienne : les charpentiers d'autrefois surdimensionnaient les poutres de grenier à grain par rapport aux chevrons de toiture, sans disposer d'aucune formule. Ils avaient observé le phénomène que \( k_{\text{mod}} \) chiffre aujourd'hui. Le mérite de l'Eurocode n'est pas d'avoir découvert l'effet, mais de l'avoir tarifé.

Cas C — contreventement sous l'action du vent

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le cas le plus favorable, et le seul dont la réponse dépende de l'annexe nationale.

Méthodologie du calcul :

Classement du vent en action instantanée selon la NF EN 1995-1-1/NA, puis lecture au croisement avec la classe de service 2.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \), valeur de la ligne instantanée, identique en classes de service 1 et 2.
Piège évité : Ne pas croire que la classe de service 2 pénalise le coefficient. En bois massif, les colonnes 1 et 2 du tableau 3.1 sont identiques ; c'est le fluage qui diffère, pas la résistance.
Hypothèse validée : Élément sous abri mais exposé à l'air extérieur : humidité du bois pouvant dépasser 12 % sans excéder 20 %, ce qui définit la classe de service 2.
Vérification croisée : C'est le seul coefficient supérieur à 1 de tout l'Eurocode 5. Le résultat doit dépasser le rapport de base de 18,46 N/mm², ce qui est bien le cas.
Finalité : Cette valeur est le maximum des trois cas, et servira de borne haute à l'analyse comparative.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d},\text{C}} &= 1{,}10 \times \frac{24}{1{,}30} \\ &= 1{,}10 \times 18{,}46 \\ &= \mathbf{20{,}31} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

20,31 N/mm², soit 57 % de plus que le cas B. Voyons ce qu'un tel écart signifie.

Ordre de grandeur : 85 % de la résistance caractéristique. Sous une action instantanée, le coefficient partiel est presque compensé par \( k_{\text{mod}} \).
Impact sur la suite : Un contreventement bénéficie donc d'une résistance très supérieure à celle d'un plancher, à bois identique. Le vent est une bonne affaire pour le calcul bois.
Cohérence : Le rapport au cas B vaut \( 1{,}10/0{,}70 = 1{,}571 \), et sur les résistances \( 20{,}31/12{,}92 = 1{,}572 \). Les deux voies concordent.
Attention : Ce coefficient supérieur à 1 ne signifie pas que le bois est plus résistant qu'annoncé. La valeur caractéristique est mesurée sur un essai de quelques minutes ; une rafale est plus brève encore.
Comparaison : En classe de service 3, sous la même action, on retomberait à \( 0{,}90 \times 18{,}46 = 16{,}62 \) N/mm². C'est le seul cas où la classe de service pénalise vraiment.

Remarque pédagogique : C'est le bon moment pour faire ouvrir une annexe nationale. Beaucoup d'étudiants achèvent leur formation sans jamais en avoir consulté une, alors qu'elle contient les valeurs qu'ils emploieront toute leur carrière. Faites-leur repérer la clause qui traite du vent, et demandez-leur ce qu'un logiciel paramétré sur l'annexe allemande produirait sur le même projet.

Ce que coûterait la lecture « court terme » du cas C

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'enjeu de l'annexe nationale plutôt que de l'affirmer. Un écart annoncé sans nombre ne modifie aucune pratique.

Méthodologie du calcul :

Reprise du cas C avec le \( k_{\text{mod}} \) de la ligne court terme, celle qu'indique le texte européen pour le vent.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) au lieu de 1,10, tous les autres termes inchangés.
Piège évité : Ne pas présenter cette valeur comme fausse : elle est correcte dans les pays dont l'annexe nationale classe le vent en court terme. Elle est simplement inadaptée en France.
Hypothèse validée : Le classement d'une action en classe de durée est un paramètre déterminé au niveau national, comme le signale la note du tableau 2.2.
Vérification croisée : L'écart relatif doit valoir \( 1{,}10/0{,}90 - 1 = 22 \) %, ce que confirme le rapport des deux résistances \( 20{,}31/16{,}62 \).
Finalité : Fournir un argument chiffré pour justifier, en réunion de projet, le temps passé à consulter l'annexe nationale.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d},\text{C}}^{\text{court terme}} &= 0{,}90 \times 18{,}46 = 16{,}62 \text{ N/mm}^{2} \\ \text{écart} &= \frac{20{,}31}{16{,}62} - 1 = \mathbf{22\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

22 % de capacité en jeu sur une simple ligne de tableau. Voyons la portée de cet écart.

Ordre de grandeur : Plus d'un cinquième de la résistance. C'est davantage que ce que rapporterait un passage du C24 au C30, qui n'apporte que 25 % pour un surcoût réel.
Impact sur la suite : Sur une palée de stabilité, cet écart fait souvent changer de section dans la gamme commerciale. Le surcoût est direct et évitable.
Cohérence : L'erreur va dans le sens sécuritaire. Elle ne met personne en danger — elle coûte simplement de la matière et de l'argent.
Attention : L'inverse serait grave. Appliquer l'annexe française dans un pays qui classe le vent en court terme reviendrait à surestimer la résistance de 22 %.
Comparaison : Ce seul paramètre national pèse plus lourd que l'écart entre bois massif et lamellé-collé sur le coefficient partiel, qui n'apporte que 4 %.

Remarque pédagogique : Insistez sur la formulation à employer dans une note de calculs : « vent classé en action instantanée conformément à la NF EN 1995-1-1/NA ». Cette phrase de dix mots vaut mieux qu'un tableau muet : elle montre au vérificateur que le choix a été fait, et non subi. C'est aussi ce qui permettra de retrouver l'hypothèse dix ans plus tard, lorsque la norme aura changé.

RÉSULTAT FINAL

Résistances de calcul en flexion — A / B / C = 14,77 / 12,92 / 20,31 N/mm² — un écart de 57 % pour un même bois

"Le bois n'a pas une résistance : il en a une par situation, et c'est vous qui la désignez !"

Question 3 : Résistance de calcul au cisaillement pour les trois cas

Dans la tête de l'ingénieur

"La démarche est identique, je le sais d'avance : \( k_{\text{mod}} \) dépend des conditions d'emploi et pas du mode de sollicitation, donc mes trois coefficients ne bougent pas. Trois multiplications de plus et j'ai mes six valeurs. Mais je ne vais pas m'arrêter là, parce que le cisaillement a une particularité que la flexion n'a pas : la résistance de calcul ne décrit pas à elle seule la capacité de la pièce. Le bois se fend en séchant, et ces fentes se développent exactement dans le plan où le cisaillement s'exerce. L'Eurocode en tient compte non pas sur la résistance mais sur la section, par un coefficient qu'on oublie une fois sur deux — et l'oubli, cette fois, va dans le mauvais sens."

Observation : Les rapports entre les trois cas seront rigoureusement les mêmes qu'en flexion, puisque seul le numérateur de la formule change. C'est un contrôle gratuit que je peux poser avant même de calculer.
Analyse du risque : Vérifier une poutre au cisaillement avec \( f_{\text{v},\text{d}} \) sans appliquer \( k_{\text{cr}} \) revient à surestimer la capacité de 49 %. C'est l'un des rares oublis de l'Eurocode 5 qui aille franchement dans le sens du danger.
Choix stratégique : Je traduis \( k_{\text{cr}} \) en une résistance équivalente sur section brute. C'est mathématiquement identique à réduire la largeur, mais infiniment plus parlant pour comparer avec la valeur du tableau.
Alternative : J'aurais pu appliquer \( k_{\text{cr}} \) à la largeur, comme le fait la norme. Les deux écritures donnent le même taux de travail ; celle que je retiens fait apparaître le nombre qu'on peut comparer aux 4,0 N/mm² du tableau.
Objectif visé : Sortir avec trois résistances au cisaillement et une conscience nette que la vraie capacité de la pièce est encore un tiers en dessous.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Cas A : 2,46 · Cas B : 2,15 · Cas C : 3,38 N/mm² · après prise en compte de \( k_{\text{cr}} \), la capacité du cas A tombe à 1,65 N/mm² sur section brute

Rappel Théorique : pourquoi le cisaillement se traite à part

Le cisaillement est le mode de ruine le plus traître du bois : il est faible, il est fragile, et il est le seul dont la vérification fasse intervenir un défaut du matériau — la fente — plutôt qu'une propriété mesurée.

Principe 1 — six fois plus faible que la flexion : \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) contre \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm². Le bois résiste bien le long de ses fibres, mal au glissement de ces fibres les unes sur les autres.
Principe 2 — une rupture fragile : Contrairement à la flexion, qui prévient par une flèche croissante, la rupture par cisaillement survient sans signe annonciateur. C'est ce qui justifie la prudence de la norme sur ce mode.
Principe 3 — la fissuration de séchage : En séchant, le bois se rétracte plus tangentiellement que radialement, et cette différence engendre des fentes longitudinales. Elles se développent dans le plan même où le cisaillement transite : le § 6.1.7 en tient compte par \( k_{\text{cr}} \).
Principe 4 — le coefficient agit sur la largeur, pas sur la résistance : La norme écrit \( b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \). C'est un choix cohérent : une fente ne rend pas le bois moins résistant, elle retire de la matière à la transmission de l'effort.
Principe 5 — c'est aux appuis que tout se joue : L'effort tranchant est maximal aux appuis, là où le moment est nul. Une entaille d'appui, très courante en charpente, y concentre encore les contraintes et fait du cisaillement le mode dimensionnant.

Équations Fondamentales

La résistance d'abord, puis la contrainte à laquelle elle sera confrontée — car c'est dans cette seconde expression que se cache le coefficient propre au cisaillement.

Résistance de calcul au cisaillement :

Même structure qu'en flexion, avec la résistance caractéristique correspondante.

Pourquoi cette formule ?

Parce que \( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) décrivent des phénomènes qui ne dépendent pas du mode de sollicitation. Le fluage affecte le bois quelle que soit la contrainte appliquée, et la dispersion du produit est la même qu'on le charge en flexion ou en cisaillement. Les deux coefficients sont donc identiques à ceux de la question 2.

Contexte de validité : Cisaillement longitudinal, celui qui fait glisser les fibres. Le cisaillement roulant, transversal, a sa propre résistance, beaucoup plus faible.
Avantage : Les \( k_{\text{mod}} \) étant déjà établis, il ne reste qu'une multiplication par cas. Les six valeurs de l'exercice se déduisent de deux nombres.
Paramètre clé : \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm² dans la version 2016 de la NF EN 338. Les documents antérieurs portent 2,5, et l'écart de 60 % est loin d'être anodin.
Vérification : Le rapport à la résistance en flexion doit rester égal à 1/6 dans les trois cas : \( 2{,}46/14{,}77 = 0{,}167 \). Le coefficient commun ne modifie aucun rapport.
Limite : Cette valeur ne suffit pas à vérifier une pièce réelle : il faut encore réduire la section par \( k_{\text{cr}} \). C'est l'objet de la formule suivante.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{v},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : les conditions d'emploi affectent le bois dans son ensemble, pas telle ou telle façon de le charger. Le fluage réarrange les fibres, et ce réarrangement pénalise autant la traction des fibres que leur glissement mutuel. C'est pourquoi un seul \( k_{\text{mod}} \) suffit pour toutes les résistances d'une même situation.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{v},\text{d}} \) : résistance de calcul au cisaillement, unité : N/mm²
\( f_{\text{v},\text{k}} \) : résistance caractéristique, 4,0 pour le C24 depuis 2016, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : identique à celui de la flexion pour un même cas, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : 1,30 pour le bois massif, comme en flexion, unité : sans dimension
Indice v : de l'anglais shear — v désigne le cisaillement dans l'Eurocode, unité : —

Contrainte de cisaillement effective — EN 1995-1-1 § 6.1.7 :

Elle intègre la fissuration de séchage par réduction de la largeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une fente longitudinale ne transmet aucun effort de cisaillement. Le bois retire, en séchant, une partie de sa propre largeur du circuit de transmission — et il le fait dans le plan exactement où l'effort transite. La norme aurait pu réduire la résistance ; elle a choisi de réduire la section, ce qui décrit mieux le phénomène.

Contexte de validité : Sections rectangulaires pleines, bois massif comme lamellé-collé, en classes de service 1 et 2.
Avantage : Elle traite un défaut inévitable — le bois sèchera, il se fendra — sans exiger d'inspection ni de mesure sur chantier.
Paramètre clé : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) selon l'annexe nationale française, soit un tiers de la largeur retirée. Certaines annexes retiennent 0,67 uniquement pour les classes de service 1 et 2.
Vérification : Le facteur 3/2 est celui de la distribution parabolique du cisaillement dans une section rectangulaire : la contrainte maximale, au centre, vaut une fois et demie la moyenne.
Limite : Elle ne couvre pas les entailles d'appui, qui relèvent du § 6.5 et demandent une vérification spécifique bien plus sévère.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} = \frac{3}{2}\;\frac{V_{\text{Ed}}}{k_{\text{cr}}\,b\,h} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : comptez sur les deux tiers de la largeur de votre poutre, pas sur sa largeur entière. Une poutre de 100 mm de large ne transmet le cisaillement que sur 67 mm, parce que le reste est occupé par des fentes qui n'existent pas encore le jour de la pose mais qui apparaîtront. C'est un des rares endroits où l'Eurocode anticipe explicitement le vieillissement du matériau.

Décomposition des termes :

\( \tau_{\text{d}} \) : contrainte de cisaillement de calcul, à comparer à \( f_{\text{v},\text{d}} \), unité : N/mm²
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, maximal aux appuis, unité : N
\( k_{\text{cr}} \) : coefficient de fissuration, 0,67 en France, unité : sans dimension
\( b\,h \) : aire de la section brute, avant réduction, unité : mm²
Facteur 3/2 : rapport de la contrainte maximale à la contrainte moyenne, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de vérifier une poutre au cisaillement en oubliant \( k_{\text{cr}} \), et concluent qu'elle passe largement..."

L'approche d'ingénieur : C'est l'oubli le plus dangereux de l'Eurocode 5, parce qu'il ne se voit pas : la valeur obtenue reste parfaitement plausible.

L'erreur : Calculer \( \tau_{\text{d}} \) sur la largeur brute. La contrainte est sous-estimée d'un tiers, ce qui revient à surestimer la capacité de la pièce de 49 %.
La bonne méthode : Écrire \( b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \) dès la première ligne du calcul de cisaillement, avant même de connaître l'effort tranchant. Ce qui n'est pas écrit tout de suite s'oublie.
L'astuce de pro : Retenir que \( k_{\text{cr}} \) ne concerne que le cisaillement. La flexion, la compression et les flèches se calculent toujours sur la section brute.
Le moyen mnémotechnique : « cr comme crack » — le coefficient de la fente, et la fente ne gêne que le glissement.
L'impact direct : Sur une poutre courte et fortement chargée, où le cisaillement est dimensionnant, cet oubli conduit à valider une section qui se fendra aux appuis dans les premières années.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{\text{v},\text{k}} \) : exprimée en N/mm² , comme la résistance en flexion
Rapport \( f_{\text{v},\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) : déjà en N/mm² , établi à la question 1
\( f_{\text{v},\text{d}} \) : obtenue en N/mm² pour les trois cas
\( k_{\text{cr}} \) : grandeur sans unité , appliquée à une largeur en mm
Résistance équivalente : reste en N/mm² , directement comparable au tableau

Le piège d'unité de cette question est l'absence de piège apparent. Tout est en N/mm², les coefficients sont sans dimension, et l'analyse dimensionnelle ne détectera aucune des erreurs possibles ici — ni un \( k_{\text{cr}} \) oublié, ni une valeur de \( f_{\text{v},\text{k}} \) tirée d'une édition périmée. C'est précisément pour ces cas que le contrôle par ordre de grandeur et la citation des clauses deviennent le seul filet de sécurité.

1. Résolution Numérique Cas A — cisaillement en plancher d'habitation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la vérification qu'on mène aux appuis de la solive du cas A, en complément de la flexion vérifiée à mi-portée.

Méthodologie du calcul :

Reprise du \( k_{\text{mod}} \) du cas A, appliqué au rapport de base établi au cisaillement.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et rapport de base \( 3{,}08 \) N/mm², tous deux déjà établis.
Piège évité : Ne pas chercher un \( k_{\text{mod}} \) propre au cisaillement : il n'en existe pas. Le tableau 3.1 ne distingue que la classe de service et la classe de durée.
Hypothèse validée : Cisaillement longitudinal d'une section rectangulaire pleine, sans entaille d'appui.
Vérification croisée : Le rapport à \( f_{\text{m},\text{d},\text{A}} \) doit valoir \( 4{,}0/24 = 1/6 \). Sur les résultats : \( 2{,}46/14{,}77 = 0{,}167 \). Concordance.
Finalité : Cette valeur sera reprise plus bas pour établir la capacité réelle une fois la fissuration prise en compte.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d},\text{A}} &= 0{,}80 \times \frac{4{,}0}{1{,}30} \\ &= 0{,}80 \times 3{,}08 \\ &= \mathbf{2{,}46} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,46 N/mm². Voyons ce que ce niveau représente pour une poutre réelle.

Ordre de grandeur : Deux à trois N/mm² : c'est peu, et cela suffit pourtant dans la plupart des cas parce que l'effort tranchant se répartit sur toute la section.
Impact sur la suite : C'est la valeur à laquelle comparer \( \tau_{\text{d}} \). Sur une solive courante, le taux de travail au cisaillement reste bien inférieur à celui de la flexion.
Cohérence : Le rapport de six avec la flexion est préservé, comme prévu. Les coefficients communs ne peuvent pas le modifier.
Attention : Cette valeur suppose une poutre sans entaille. Une entaille d'appui, très courante en charpente, concentre les contraintes et relève d'une vérification distincte, au § 6.5.
Comparaison : Un GL24h dans la même situation donnerait \( 0{,}80 \times 3{,}5/1{,}25 = 2{,}24 \) N/mm², soit moins que le C24 — parce que la NF EN 14080 lui accorde 3,5 et non 4,0 en cisaillement.

Remarque pédagogique : La comparaison avec le lamellé-collé mérite d'être soulignée : sur ce point précis, le C24 dépasse le GL24h. C'est contre-intuitif, puisque le lamellé-collé est réputé supérieur en tout, et cela vient de deux normes différentes fixant indépendamment leurs valeurs. Un bon réflexe consiste à toujours vérifier la norme produit avant de supposer une hiérarchie.

Cas B — cisaillement sous charge de stockage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la borne basse des six résistances de l'exercice, et donc le cas le plus contraignant à retenir en cas de doute.

Méthodologie du calcul :

Application du \( k_{\text{mod}} \) de long terme au rapport de base du cisaillement.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \), identique à celui retenu en flexion pour le même cas.
Piège évité : Ne pas recalculer le coefficient : il a été établi à la question 2 et ne dépend pas de la sollicitation vérifiée.
Hypothèse validée : Charge de stockage, classée long terme par le tableau 2.2, en classe de service 1.
Vérification croisée : Le rapport au cas A vaut \( 0{,}70/0{,}80 = 0{,}875 \), exactement comme en flexion. Le contrôle est immédiat.
Finalité : Fixer la valeur la plus défavorable du jeu de six, celle qu'un bureau retiendra par prudence sur un projet aux usages mal définis.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d},\text{B}} &= 0{,}70 \times \frac{4{,}0}{1{,}30} \\ &= 0{,}70 \times 3{,}08 \\ &= \mathbf{2{,}15} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,15 N/mm², la plus faible des six résistances de l'exercice. Voyons sa portée.

Ordre de grandeur : À peine plus de 2 N/mm², soit 54 % de la résistance caractéristique. Il ne reste pas grand-chose des 4,0 annoncés.
Impact sur la suite : Sur un plancher de stockage à faible portée, c'est souvent le cisaillement qui dimensionne — combinaison de charges fortes et de portées courtes.
Cohérence : Les trois rapports entre cas sont rigoureusement identiques à ceux de la flexion. C'était prévisible : seul le numérateur a changé.
Attention : Cette valeur n'intègre pas encore \( k_{\text{cr}} \). La capacité réelle de la pièce est encore un tiers en dessous, comme le montre le dernier calcul.
Comparaison : Avec l'ancienne valeur \( f_{\text{v},\text{k}} = 2{,}5 \) N/mm², ce cas tomberait à 1,35 N/mm² — un niveau auquel beaucoup de poutres anciennes n'auraient pas été validées.

Remarque pédagogique : Faites poser la question : « pourquoi vérifie-t-on la flexion à mi-portée et le cisaillement aux appuis ? » La réponse tient au diagramme des sollicitations : le moment est maximal là où l'effort tranchant s'annule, et réciproquement. Les deux vérifications portent donc sur des sections différentes de la même poutre — ce que beaucoup d'étudiants n'ont jamais formulé explicitement.

Cas C — cisaillement sous l'action du vent

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le jeu de six et vérifier que la hiérarchie entre les trois cas est bien la même qu'en flexion.

Méthodologie du calcul :

Application du \( k_{\text{mod}} \) de l'action instantanée, retenu à la question 2 d'après l'annexe nationale.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \), classement français du vent en action instantanée.
Piège évité : Ne pas croire que la valeur obtenue, proche de la caractéristique, autorise à négliger la vérification. Un contreventement travaille souvent au cisaillement dans ses assemblages.
Hypothèse validée : Classe de service 2, dont la colonne est identique à celle de la classe 1 pour le bois massif.
Vérification croisée : Le rapport au cas B doit valoir 1,57, comme en flexion : \( 3{,}38/2{,}15 = 1{,}572 \). Concordance.
Finalité : Clore le tableau des six résistances de calcul, livrable principal de la note d'hypothèses.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d},\text{C}} &= 1{,}10 \times \frac{4{,}0}{1{,}30} \\ &= 1{,}10 \times 3{,}08 \\ &= \mathbf{3{,}38} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,38 N/mm², la plus élevée des six. Voyons ce qu'elle permet.

Ordre de grandeur : 85 % de la résistance caractéristique, exactement comme en flexion. Le rapport \( k_{\text{mod}}/\gamma_{\text{M}} \) ne dépend pas de la sollicitation.
Impact sur la suite : Un élément de contreventement dispose donc de 57 % de capacité au cisaillement de plus qu'une poutre de stockage, à bois identique.
Cohérence : Les six valeurs se déduisent de deux nombres — 18,46 et 3,08 — et de trois coefficients. Toute valeur qui n'entre pas dans cette grille est une erreur d'arithmétique.
Attention : Cette valeur ne vaut que pour la combinaison contenant le vent. La même pièce sous poids propre seul retomberait à \( 0{,}60 \times 3{,}08 = 1{,}85 \) N/mm².
Comparaison : En classe de service 3, sous la même action, on n'obtiendrait que \( 0{,}90 \times 3{,}08 = 2{,}77 \) N/mm². C'est le seul cas où l'humidité pénalise vraiment la résistance.

Remarque pédagogique : Faites construire le tableau à six cases — trois cas en colonnes, deux sollicitations en lignes. Sa régularité est frappante : chaque ligne est proportionnelle à l'autre, et le facteur est exactement 6. C'est cette structure qu'il faut retenir, bien plus que les six nombres eux-mêmes.

Capacité réelle du cas A après prise en compte de la fissuration

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que \( f_{\text{v},\text{d}} \) seule ne décrit pas ce que la poutre peut réellement transmettre. Ramener \( k_{\text{cr}} \) sur la résistance rend l'effet visible.

Méthodologie du calcul :

Report du coefficient de fissuration sur la résistance plutôt que sur la largeur — écriture équivalente, lecture bien plus directe.

Substitution : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) appliqué à \( f_{\text{v},\text{d},\text{A}} = 2{,}46 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas écrire cette valeur dans une note de calculs comme si elle était tabulée. C'est une grandeur de commentaire ; la norme, elle, réduit la largeur.
Hypothèse validée : Section rectangulaire pleine, pour laquelle la réduction de largeur est strictement proportionnelle à la capacité au cisaillement.
Vérification croisée : Le taux de travail obtenu par cette écriture est identique à celui obtenu en réduisant la largeur : \( \tau/(k_{\text{cr}} f_{\text{v},\text{d}}) = (\tau/k_{\text{cr}})/f_{\text{v},\text{d}} \).
Finalité : Donner le nombre qu'il faut avoir en tête pour juger, d'un coup d'œil, si une poutre passera au cisaillement.

\[ \begin{aligned} k_{\text{cr}}\,f_{\text{v},\text{d},\text{A}} &= 0{,}67 \times 2{,}46 \\ &= \mathbf{1{,}65} \text{ N/mm}^{2} \text{ sur section brute} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,65 N/mm² réellement disponibles, contre 4,0 affichés dans la norme. Voyons ce que ce parcours révèle.

Ordre de grandeur : 41 % de la valeur caractéristique. Entre l'étiquette et la réalité, près de trois cinquièmes de la capacité ont disparu.
Impact sur la suite : C'est ce nombre, et non 2,46, qu'il faut comparer à une contrainte calculée sur section brute. L'écart entre les deux écritures est un facteur 1,5.
Cohérence : Le rapport \( 1/0{,}67 = 1{,}49 \) explique la formule de l'oubli : négliger \( k_{\text{cr}} \) revient à s'accorder 49 % de capacité en trop.
Attention : Trois réductions successives se sont appliquées : \( \gamma_{\text{M}} \), \( k_{\text{mod}} \), puis \( k_{\text{cr}} \). Elles se multiplient, elles ne s'additionnent pas — d'où l'ampleur du résultat.
Comparaison : Sur le cas B, la même opération donnerait 1,44 N/mm². C'est le plancher absolu de tout l'exercice, et une valeur qu'une poutre courte et chargée peut réellement atteindre.

Remarque pédagogique : Faites tracer le chemin complet de 4,0 à 1,65 N/mm², en nommant chaque coefficient et ce qu'il représente : l'incertitude, le temps, la fente. Trois causes de nature entièrement différente, appliquées successivement. Un étudiant qui a fait ce parcours une fois n'oubliera plus \( k_{\text{cr}} \), parce qu'il aura vu combien il pèse.

RÉSULTAT FINAL

Résistances au cisaillement — A / B / C = 2,46 / 2,15 / 3,38 N/mm² — et seulement 1,65 pour le cas A une fois \( k_{\text{cr}} \) pris en compte

"Le bois se fendra : autant en tenir compte avant qu'il ne le fasse !"

Question 4 : Quelle combinaison gouverne, et quelle rigidité employer

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai six nombres, et sur un projet réel ils ne me suffisent pas. Parce qu'une pièce ne subit jamais une action : elle subit des combinaisons, et chacune vient avec son propre \( k_{\text{mod}} \). La conséquence est qu'on ne peut pas se contenter de vérifier la combinaison la plus chargée — il faut comparer des taux de travail, pas des charges. Et il existe un cas, systématiquement oublié, où la combinaison la plus faible gagne : les charges permanentes seules, vérifiées avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \). Je vais chiffrer le seuil, parce qu'un ingénieur qui connaît le seuil sait immédiatement s'il doit s'en préoccuper. Et je terminerai par les rigidités, sur lesquelles \( k_{\text{mod}} \) n'a aucune prise mais où deux autres pièges attendent."

Observation : Comparer deux combinaisons revient à comparer les rapports \( E_{\text{d}}/k_{\text{mod}} \), puisque \( X_{\text{k}}/\gamma_{\text{M}} \) est commun à toutes. Cela simplifie beaucoup la comparaison.
Analyse du risque : Employer \( E_{0,\text{mean}} \) pour une vérification de flambement surestimerait la raideur de 49 %. L'erreur ne se voit pas dans les unités et donne une charge critique confortablement fausse.
Choix stratégique : Je résous le seuil littéralement avant de le chiffrer. Un seuil en \( G/Q \) se retient et se réutilise sur n'importe quel projet ; un cas particulier chiffré ne sert qu'une fois.
Alternative : J'aurais pu me contenter de dire « il faut aussi vérifier la combinaison permanente ». Mais tant qu'on ne sait pas quand elle gouverne, on la vérifie inutilement à chaque fois — ou on ne la vérifie jamais.
Objectif visé : Sortir avec une note d'hypothèses complète : les résistances, la règle de choix des combinaisons, et les deux valeurs de rigidité que réclame l'Eurocode.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Écart entre cas extrêmes : 57 % · seuil \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} = \) 6,67 · \( E_{\text{d}} = \) 5 692 N/mm² pour la stabilité · \( E_{\text{mean},\text{fin}} = \) 6 875 N/mm² pour la flèche à long terme

Rappel Théorique : trois modules pour un seul matériau

Le bois n'a pas un module d'élasticité mais trois valeurs de calcul issues d'un même essai, employées dans trois contextes distincts. Confondre les trois est l'autre grande famille d'erreurs du calcul bois, moins connue que celle de \( k_{\text{mod}} \) mais tout aussi coûteuse.

Principe 1 — la moyenne pour les flèches instantanées : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm². Sur un plancher, les solives travaillent solidairement et leurs écarts individuels se compensent : c'est le comportement moyen qui gouverne la déformation observée.
Principe 2 — le fractile 5 % dès qu'il y a instabilité : \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm². Un poteau qui flambe ou une poutre qui déverse le fait à cause de sa souplesse, sans que ses voisines puissent l'aider. C'est donc la pièce la plus souple du lot qui décide.
Principe 3 — divisé par \( \gamma_{\text{M}} \) à l'ELU : Le § 2.4.1 impose \( E_{\text{d}} = E_{0,05}/\gamma_{\text{M}} \) pour les vérifications de stabilité à l'état-limite ultime. C'est la seule circonstance où un module est divisé par un coefficient partiel.
Principe 4 — le fluage réduit la raideur à long terme : \( E_{\text{mean},\text{fin}} = E_{0,\text{mean}}/(1 + k_{\text{def}}) \). Sous charge maintenue, la flèche d'un plancher continue de croître pendant des années : en classe de service 1, elle finit 1,6 fois plus grande qu'au premier jour.
Principe 5 — \( k_{\text{def}} \) traduit l'ambiance, pas la durée : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2, 2,00 en classe 3. C'est ici, et non sur \( k_{\text{mod}} \), que l'écart entre les classes 1 et 2 se manifeste réellement pour le bois massif.

Équations Fondamentales

Trois relations : un critère de comparaison entre combinaisons, et les deux modules de calcul que l'Eurocode impose selon la vérification menée.

Critère de la combinaison dimensionnante :

Il désigne laquelle des combinaisons à vérifier est la plus défavorable.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le taux de travail d'une combinaison vaut \( E_{\text{d}}\gamma_{\text{M}}/(k_{\text{mod}} X_{\text{k}}) \), et que \( \gamma_{\text{M}} \) comme \( X_{\text{k}} \) sont identiques pour toutes. Comparer les taux revient donc à comparer les seuls rapports \( E_{\text{d}}/k_{\text{mod}} \). C'est une simplification considérable, et elle est exacte, pas approchée.

Contexte de validité : Comparaison de combinaisons portant sur la même vérification et le même matériau. Un taux de flexion et un taux de cisaillement ne se comparent pas ainsi.
Avantage : Elle évite de mener chaque vérification jusqu'au bout. Un seul rapport par combinaison suffit à désigner celle qui gouverne.
Paramètre clé : Le couple charge–coefficient. Une combinaison plus faible mais accompagnée d'un \( k_{\text{mod}} \) plus faible peut parfaitement l'emporter.
Vérification : Sur un projet ordinaire où \( Q_{\text{k}} \) est du même ordre que \( G_{\text{k}} \), c'est la combinaison complète qui gouverne. Le cas inverse est l'exception.
Limite : Elle suppose que la même section et le même produit sont vérifiés dans toutes les combinaisons. Sur un assemblage mixte, il faudrait revenir aux taux complets.

\[ \begin{aligned} \text{combinaison dimensionnante} = \max_{j}\;\frac{E_{\text{d},j}}{k_{\text{mod},j}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une charge modeste appliquée très longtemps peut être pire qu'une forte charge appliquée brièvement. C'est une propriété que l'acier et le béton ne présentent pas à l'ELU : chez eux, la combinaison la plus chargée gouverne toujours. En bois, il faut vérifier laquelle gouverne, et cela demande un calcul supplémentaire.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{d},j} \) : sollicitation de calcul de la combinaison \( j \), unité : kN ou kN·m
\( k_{\text{mod},j} \) : coefficient propre à la combinaison \( j \), unité : sans dimension
\( \max_{j} \) : on retient le rapport le plus grand, unité : —
Termes éliminés : \( X_{\text{k}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \), communs à toutes les combinaisons, unité : —
Nombre de combinaisons : au minimum deux — permanente seule, et permanente plus variable, unité : —

Module de calcul pour la stabilité — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

C'est le seul module que l'on divise par un coefficient partiel.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une instabilité n'est pas une rupture de section : c'est un phénomène gouverné par la raideur. Si la raideur est le paramètre qui décide de la ruine, elle doit être traitée comme une résistance — donc minorée par \( \gamma_{\text{M}} \) et prise au fractile bas. Le raisonnement est le même que pour \( f_{\text{m},\text{k}} \), appliqué à une autre grandeur.

Contexte de validité : Vérifications de flambement et de déversement à l'ELU, et analyses au second ordre. Jamais pour une flèche.
Avantage : Elle rend la vérification de stabilité cohérente avec les autres vérifications ELU, toutes menées avec des valeurs de calcul minorées.
Paramètre clé : Le passage de la moyenne au fractile 5 %, qui retire à lui seul un tiers de la raideur avant même la division par \( \gamma_{\text{M}} \).
Vérification : Le résultat doit valoir environ la moitié de \( E_{0,\text{mean}} \). Un module de calcul proche de 11 000 signale qu'une des deux étapes a été oubliée.
Limite : \( k_{\text{mod}} \) n'intervient jamais ici. La formule ne comporte que deux termes, et il serait tentant d'en ajouter un troisième par analogie.

\[ \begin{aligned} E_{\text{d}} = \frac{E_{0,05}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : quand c'est la souplesse qui tue, on prend la pièce la plus souple, puis on garde encore une marge. Un poteau qui flambe ne peut compter sur aucun voisin pour le retenir : il est seul face à son défaut. C'est l'inverse d'un plancher, où trente solives partagent la charge et où la moyenne a un sens.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{d}} \) : module de calcul pour la stabilité à l'ELU, unité : N/mm²
\( E_{0,05} \) : fractile 5 % du module axial, 7 400 pour le C24, unité : N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel, 1,30 pour le bois massif, unité : sans dimension
Absent : \( k_{\text{mod}} \), qui ne s'applique jamais à un module, unité : —
À ne pas confondre : \( E_{0,\text{mean}} \), réservé aux flèches, unité : N/mm²

Module final tenant compte du fluage — EN 1995-1-1 § 2.3.2.2 :

Il donne la raideur à considérer pour une flèche à long terme.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la déformation d'une pièce de bois sous charge maintenue ne se stabilise pas : elle continue de croître pendant des années. Plutôt que de modéliser ce phénomène dans le temps, l'Eurocode propose de le représenter par une raideur réduite appliquée dès le calcul initial. La flèche obtenue est alors directement la flèche finale.

Contexte de validité : Flèches à l'ELS, sous la part de charge quasi permanente de la combinaison. Jamais pour une vérification de résistance.
Avantage : Elle ramène un phénomène évolutif à un calcul unique, avec un module modifié. Aucune intégration dans le temps n'est nécessaire.
Paramètre clé : \( k_{\text{def}} \), qui vaut 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3. C'est là que les classes de service se distinguent vraiment.
Vérification : Le module final doit toujours être inférieur au module moyen, et la flèche finale supérieure à la flèche instantanée dans le même rapport.
Limite : En classe de service 3, \( k_{\text{def}} = 2{,}00 \) divise la raideur par trois. Une pièce exposée aux intempéries flue au point que la flèche devient presque toujours le critère dimensionnant.

\[ \begin{aligned} E_{\text{mean},\text{fin}} = \frac{E_{0,\text{mean}}}{1 + k_{\text{def}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la flèche que vous mesurerez dans vingt ans n'est pas celle du jour de la réception. Un plancher qui fléchit de 10 mm à la mise en charge en fléchira 16 à terme, en classe de service 1. Le maître d'ouvrage qui constate un affaissement dix ans après n'observe pas un défaut : il observe un phénomène prévu par la norme, et qui aurait dû être annoncé.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{mean},\text{fin}} \) : module réduit pour la flèche à long terme, unité : N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \) : module moyen instantané, 11 000 pour le C24, unité : N/mm²
\( k_{\text{def}} \) : coefficient de fluage, tableau 3.2, unité : sans dimension
\( 1 + k_{\text{def}} \) : facteur d'amplification de la flèche, 1,60 en classe 1, unité : sans dimension
Absent : \( \gamma_{\text{M}} \), qui ne s'applique pas à l'ELS, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de ne vérifier que la combinaison la plus chargée, comme on le fait en béton ou en acier..."

L'approche d'ingénieur : Le réflexe est acquis sur les autres matériaux, où il est correct. En bois, il ne l'est pas — parce que la résistance change d'une combinaison à l'autre.

L'erreur : Ne retenir que \( 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \) avec son \( k_{\text{mod}} \). Lorsque le poids propre domine, la combinaison \( 1{,}35\,G_{\text{k}} \) seule, vérifiée avec 0,60, est plus défavorable et n'a pas été examinée.
La bonne méthode : Lister toutes les combinaisons, associer à chacune son \( k_{\text{mod}} \), et comparer les rapports \( E_{\text{d}}/k_{\text{mod}} \). Le tableau tient en quatre lignes.
L'astuce de pro : Connaître le seuil, et l'hypothèse qui va avec : \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} = 6{,}67 \) si la charge variable est de long terme, mais seulement 2,22 si c'est de la neige. En dessous, on écarte la combinaison permanente d'un mot dans la note.
Le moyen mnémotechnique : « En bois, la résistance dépend de la combinaison » — donc comparer les taux, jamais les charges.
L'impact direct : Sur une toiture lourde à faible charge de neige — couverture en tuiles, isolation épaisse, altitude modeste — ce seuil est atteignable, et l'oubli conduit à valider une section insuffisante.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Rapport \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} \) : grandeur sans unité , les deux charges étant homogènes
\( E_{0,05} \) et \( E_{0,\text{mean}} \) : exprimés en N/mm²
\( E_{\text{d}} \) et \( E_{\text{mean},\text{fin}} \) : obtenus en N/mm²
\( k_{\text{def}} \) : grandeur sans unité , additionnée à 1
Écarts entre cas : exprimés en pourcentage

Le piège de cette question tient à la notation \( E \), employée par l'Eurocode dans deux sens différents. Dans \( E_{\text{d},j} \), la lettre désigne un effet des actions — un moment, un effort — tandis que dans \( E_{0,05} \) elle désigne un module d'élasticité. Les deux se côtoient dans la même note de calculs, et l'indice est le seul indice.

1. Résolution Numérique Écart entre la situation la plus favorable et la plus pénalisante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat central de l'exercice : mesurer combien le contexte d'emploi, à lui seul, fait varier la performance d'un même bois.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la plus forte des résistances en flexion à la plus faible, soit le cas C sur le cas B.

Substitution : \( f_{\text{m},\text{d},\text{C}} = 20{,}31 \) et \( f_{\text{m},\text{d},\text{B}} = 12{,}92 \) N/mm², établies à la question 2.
Piège évité : Ne pas rapporter l'écart à la valeur haute, ce qui donnerait 36 % au lieu de 57 %. L'usage veut qu'un gain se rapporte à la valeur de départ.
Hypothèse validée : Les deux résistances portent sur le même bois, la même classe et le même coefficient partiel. Seul \( k_{\text{mod}} \) diffère.
Vérification croisée : Le rapport doit égaler celui des coefficients : \( 1{,}10/0{,}70 = 1{,}571 \). Il est identique au cisaillement, où le rapport vaut aussi 1,57.
Finalité : Donner le chiffre qui justifie l'exercice entier : choisir le bon \( k_{\text{mod}} \) compte autant que choisir la bonne classe de bois.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{\text{m},\text{d},\text{C}}}{f_{\text{m},\text{d},\text{B}}} &= \frac{20{,}31}{12{,}92} \\ &= 1{,}57 \quad \text{soit} \quad \mathbf{+57\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

57 % d'écart pour une pièce de bois rigoureusement identique. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Plus de la moitié. C'est davantage que l'écart entre un C18 et un C30, qui n'est que de 67 % pour deux qualités très différentes.
Impact sur la suite : Le contexte d'emploi pèse autant qu'un changement de classe de bois. Cela devrait figurer en tête de toute note d'hypothèses.
Cohérence : Le même écart se retrouve exactement au cisaillement, entre 3,38 et 2,15 N/mm². Le coefficient agit de façon multiplicative sur toutes les résistances.
Attention : Ces deux valeurs ne sont pas interchangeables. On ne peut pas décider d'employer 20,31 sur un plancher au motif que le bois en serait capable : le classement suit l'usage, pas le souhait.
Comparaison : En descendant jusqu'à la classe de service 3 sous charge permanente, \( k_{\text{mod}} = 0{,}50 \), l'écart au cas C atteindrait 120 %. La plage totale du coefficient va de 0,50 à 1,10.

Remarque pédagogique : Voilà le chiffre à retenir de tout l'exercice. Un étudiant qui sort en sachant que le contexte d'emploi vaut plus qu'une classe de bois a compris l'essentiel de l'Eurocode 5. Les six valeurs numériques s'oublieront ; cette hiérarchie, non — et c'est elle qui lui fera ouvrir le tableau 3.1 avant de commencer un calcul.

Seuil au-delà duquel la combinaison permanente gouverne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir quand il faut vérifier la combinaison \( 1{,}35\,G_{\text{k}} \) seule, plutôt que de la vérifier systématiquement ou de l'oublier toujours.

Méthodologie du calcul :

Égalisation des deux rapports \( E_{\text{d}}/k_{\text{mod}} \), puis résolution en \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} \). Le cas B sert de référence, avec 0,70 pour la combinaison complète.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) pour la combinaison permanente seule et \( 0{,}70 \) pour la combinaison complète.
Piège évité : Ne pas oublier le coefficient 1,35 devant \( G_{\text{k}} \) dans les deux combinaisons. Il ne se simplifie pas, puisqu'il ne figure pas devant \( Q_{\text{k}} \).
Hypothèse validée : Charge variable de long terme. Avec une charge d'exploitation de moyen terme, à 0,80, le seuil serait différent.
Vérification croisée : À \( G_{\text{k}} = 10\,Q_{\text{k}} \), les rapports valent \( 13{,}5/0{,}60 = 22{,}5 \) et \( 15{,}0/0{,}70 = 21{,}4 \). La permanente l'emporte bien, comme le seuil de 6,67 l'annonce.
Finalité : Fournir un critère réutilisable sur n'importe quel projet, sans avoir à refaire la démonstration.

\[ \begin{aligned} \frac{1{,}35\,G_{\text{k}}}{0{,}60} &= \frac{1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}}}{0{,}70} \\ 0{,}945\,G_{\text{k}} &= 0{,}810\,G_{\text{k}} + 0{,}900\,Q_{\text{k}} \\ \frac{G_{\text{k}}}{Q_{\text{k}}} &= \frac{0{,}900}{0{,}135} = \mathbf{6{,}67} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,67 : au-delà de ce rapport, la combinaison permanente seule devient dimensionnante. Voyons si c'est atteignable.

Ordre de grandeur : Il faut que le permanent soit près de sept fois le variable. C'est rare en plancher, où le rapport dépasse rarement 2.
Impact sur la suite : Sur un plancher courant, la combinaison permanente peut donc être écartée d'une phrase — mais il faut l'écrire, et pas simplement l'oublier.
Cohérence : Le seuil ne dépend que des deux \( k_{\text{mod}} \) et des coefficients de pondération. Ni la classe de bois ni la section n'y interviennent, ce qui le rend universel.
Attention : Le seuil dépend du \( k_{\text{mod}} \) de la combinaison complète : il descend à 3,33 pour une charge de moyen terme et à 2,22 pour la neige, classée court terme en plaine.
Comparaison : Sur une toiture en tuiles avec isolation épaisse, \( G_{\text{k}} \) atteint 2 kN/m² quand la neige en plaine ne dépasse pas 0,45 kN/m² : le rapport vaut 4,4 et dépasse donc le seuil de 2,22. Le cas n'a rien de théorique.

Remarque pédagogique : Faites refaire ce calcul avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) pour la combinaison complète, cas de la neige en plaine : le seuil tombe à 2,22, et une toiture lourde le dépasse sans difficulté. C'est la meilleure démonstration qu'un seuil ne se retient jamais sans ses hypothèses. Un étudiant qui mémorise « 6,67 » sans savoir d'où il vient l'appliquera un jour à une charpente sous neige, où le seuil est trois fois plus bas.

Module de calcul pour la vérification de stabilité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note d'hypothèses doit fournir cette valeur : dès qu'un poteau ou une poutre élancée figurera au projet, c'est elle qu'il faudra employer.

Méthodologie du calcul :

Division du fractile 5 % du module axial par le coefficient partiel du bois massif.

Substitution : \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm², valeur tabulée et non la valeur recalculée de 7 333 de la question 1.
Piège évité : Ne pas partir de \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm². L'erreur surestimerait la raideur de 49 % et donnerait une charge critique de flambement fausse dans le sens dangereux.
Hypothèse validée : Vérification à l'ELU d'une instabilité — flambement selon le § 6.3.2, déversement selon le § 6.3.3.
Vérification croisée : Le résultat rapporté au module moyen vaut \( 5\,692/11\,000 = 0{,}52 \). Il doit être voisin de la moitié, ce qui est bien le cas.
Finalité : Fournir la valeur exacte à porter dans la note d'hypothèses, avec la clause qui la justifie.

\[ \begin{aligned} E_{\text{d}} &= \frac{E_{0,05}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{7\,400}{1{,}30} \\ &= \mathbf{5\,692} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5 692 N/mm², soit 52 % du module moyen. Voyons ce que cette division en deux étapes représente.

Ordre de grandeur : Un peu plus de la moitié du module affiché. Le passage au fractile en retire un tiers, le coefficient partiel un quart de plus.
Impact sur la suite : La charge critique d'Euler étant proportionnelle au module, elle est elle aussi divisée par deux par rapport à un calcul mené avec la moyenne.
Cohérence : C'est le seul module de tout l'Eurocode 5 divisé par \( \gamma_{\text{M}} \). Partout ailleurs, les modules s'emploient tels quels ou corrigés par \( k_{\text{def}} \).
Attention : \( k_{\text{mod}} \) n'intervient pas, malgré la tentation de l'ajouter par symétrie avec les résistances. La formule ne comporte que deux termes.
Comparaison : En lamellé-collé GL24h, \( E_{0,05} = 9\,600 \) N/mm² et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) donneraient 7 680 N/mm², soit 35 % de plus. L'homogénéité du produit paie surtout sur la stabilité.

Remarque pédagogique : Faites justifier physiquement le passage au fractile 5 %. Un plancher de trente solives se comporte comme la moyenne de ses solives, parce qu'elles se partagent la charge par le platelage. Un poteau isolé n'a personne pour l'aider : s'il est le plus souple du lot, il flambera seul. La norme ne fait qu'écrire cette différence — mais elle ne l'explique pas, et c'est au professeur de le faire.

Module final pour la flèche à long terme en classe de service 1

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la troisième valeur de rigidité que réclame l'Eurocode, et la seule où \( k_{\text{def}} \) intervient. La note d'hypothèses serait incomplète sans elle.

Méthodologie du calcul :

Division du module moyen par le facteur d'amplification du fluage, avec le \( k_{\text{def}} \) de la classe de service 1.

Substitution : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² et \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) selon le tableau 3.2, bois massif en classe de service 1.
Piège évité : Ne pas partir de \( E_{0,05} \). Une flèche se calcule toujours sur le module moyen : la question de la pièce la plus souple ne se pose pas ici.
Hypothèse validée : Classe de service 1, cas A ou B de l'exercice. En classe 2, \( k_{\text{def}} = 0{,}80 \) donnerait 6 111 N/mm².
Vérification croisée : Le rapport au module instantané doit valoir \( 1/1{,}60 = 0{,}625 \). La flèche finale sera donc 1,6 fois la flèche initiale.
Finalité : Clore la note d'hypothèses avec les trois valeurs de rigidité et leur domaine d'emploi respectif.

\[ \begin{aligned} E_{\text{mean},\text{fin}} &= \frac{E_{0,\text{mean}}}{1 + k_{\text{def}}} = \frac{11\,000}{1 + 0{,}60} \\ &= \mathbf{6\,875} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6 875 N/mm², soit 62,5 % du module instantané. Voyons ce que le fluage coûte réellement.

Ordre de grandeur : Près de quatre dixièmes de la raideur disparaissent avec le temps. Un plancher qui fléchit de 10 mm à la réception en fléchira 16 à terme.
Impact sur la suite : C'est pourquoi la flèche gouverne si souvent le dimensionnement des solives : le critère de service est vérifié sur une raideur amputée.
Cohérence : Cette valeur est supérieure à \( E_{\text{d}} = 5\,692 \) N/mm². Les deux répondent à des questions différentes et ne sont pas comparables entre elles.
Attention : \( k_{\text{def}} \) ne s'applique qu'à la part quasi permanente de la charge. La part variable de courte durée ne flue pas et garde le module instantané.
Comparaison : En classe de service 3, \( k_{\text{def}} = 2{,}00 \) donnerait 3 667 N/mm² — un tiers du module initial. Une pièce exposée aux intempéries flue trois fois plus qu'un plancher chauffé.

Remarque pédagogique : Terminez en faisant écrire les trois modules côte à côte avec leur domaine d'emploi : 11 000 pour une flèche instantanée, 6 875 pour une flèche à terme, 5 692 pour une stabilité. Trois nombres, trois questions distinctes, une seule ligne de tableau à l'origine. C'est exactement le genre de récapitulatif qu'un étudiant doit savoir produire seul en fin de formation — et qu'un bureau d'études place en tête de sa note d'hypothèses.

RÉSULTAT FINAL

Écart entre situations extrêmes = 57 % — seuil \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} = 6{,}67 \) · rigidités 5 692 et 6 875 N/mm²

"Comparez des taux, jamais des charges : en bois, la résistance change avec la combinaison !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — le même C24 dans les trois situations de l'étude

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai pris \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour le bois massif , et non 1,25 qui vaut pour le lamellé-collé. J'ai lu \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm² dans la version 2016 de la NF EN 338, et non 2,5 dans une édition antérieure. J'ai vérifié la classe de durée du vent dans l'annexe nationale française avant de choisir \( k_{\text{mod}} \). J'ai appliqué \( k_{\text{mod}} \) aux résistances seulement , jamais aux modules d'élasticité. J'ai retenu \( k_{\text{mod}} \) sur l'action de durée la plus courte de la combinaison, conformément au § 3.1.3(2). J'ai pensé à la combinaison permanente seule , et je sais à partir de quel rapport \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} \) elle gouverne. J'ai distingué les trois modules — moyen pour la flèche instantanée, réduit par \( k_{\text{def}} \) à terme, fractile 5 % pour la stabilité.

Note d'hypothèses matériaux — bois massif C24, trois situations de projet. Les valeurs caractéristiques retenues sont \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \), \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) et \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm², avec \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \). Les rapports de base valent 18,46 et 3,08 N/mm². Les résistances de calcul en flexion sont de 14,77 N/mm² pour la solive d'habitation, 12,92 pour la poutre de stockage et 20,31 pour le contreventement ; au cisaillement, respectivement 2,46, 2,15 et 3,38 N/mm², à réduire encore par \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) sur la largeur. Les grandeurs de rigidité sont \( E_{\text{d}} = 5\,692 \) N/mm² pour toute vérification de stabilité à l'ELU et \( E_{\text{mean},\text{fin}} = 6\,875 \) N/mm² pour une flèche à long terme en classe de service 1.

Un même bois, une même classe, un même coefficient partiel — et pourtant 57 % d'écart entre la résistance de calcul la plus haute et la plus basse. C'est davantage que ce qui sépare un C18 d'un C30 : sur un projet bois, le contexte d'emploi pèse plus lourd que la classe de bois. La plus-value technique de cette note tient à ce qu'elle ne se contente pas de livrer six nombres : elle dit d'où chacun vient, ce qui le ferait changer, et quelles erreurs de lecture coûtent le plus cher.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
\( k_{h} \) du bois massif — § 3.2 : hauteur de référence 150 mm, exposant 0,2, plafond 1,3.
\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.
NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Caractéristiques mécaniques du bois

Caractéristiques mécaniques du bois

Le premier mois à 1 €

Des valeurs caractéristiques aux valeurs de calcul d'un bois massif C24

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Valeurs caractéristiques du C24 et grandeurs de base

Question 2 : Résistance de calcul en flexion pour les trois cas

Question 3 : Résistance de calcul au cisaillement pour les trois cas

Question 4 (Finale) : Quelle combinaison gouverne, et quelle rigidité employer

Des valeurs caractéristiques aux valeurs de calcul d'un bois massif C24

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

Échangez & progressez ensemble

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Calcul de la pente d'une charpente en bois

Connexion boulonnée pour charpente bois

Résistance et Rigidité d'une Poutre en Bois

Calcul les charges d'une passerelle

Calcul la résistance d'une planche de bois

Un point pas clair dans cet exercice ?

Stage, alternance ou premier emploi ?

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