Calculs de pentes et de niveaux
Comprendre les calculs de pentes et de niveaux
Vous êtes un ingénieur civil chargé de concevoir une terrasse sur un terrain en pente. Le terrain initial a une pente de 10% et vous devez créer une plate-forme plane pour une construction future. La terrasse doit être située à une hauteur de 5 mètres au-dessus du point le plus bas du terrain et couvrir une surface de 200 m².
Pour comprendre les Ajustements de Pente pour la Construction, cliquez sur le lien.
Données:
- Pente initiale du terrain : 10%
- Hauteur de la terrasse par rapport au point le plus bas : 5 m
- Surface de la terrasse : 200 m²
- Largeur de la terrasse : 10 m
Questions:
1. Calculez la longueur de la pente nécessaire pour atteindre une hauteur de 5 mètres sur une pente de 10%.
2. Déterminez les dimensions de la terrasse (longueur et largeur) qui couvriront une surface de 200 m².
3. Calculez le volume de terre à déplacer pour créer cette terrasse.
4. En supposant que la pente de la terrasse pour l’évacuation de l’eau de pluie soit de 2%, calculez l’angle de cette pente.
Correction : calculs de pentes et de niveaux
1. Calcul de la longueur de la pente nécessaire pour atteindre 5 m de hauteur
Une pente de 10 % signifie qu’à chaque 1 mètre parcouru horizontalement, le terrain monte de 0,1 mètre. Pour atteindre une hauteur de 5 m, il faut donc parcourir une certaine distance horizontale, puis déterminer la longueur réelle (la distance le long de la pente).
Formule et données :
- Pente = 10 % = 0,10
- Hauteur à atteindre : \( H = 5 \) m
Distance horizontale \( d \) :
\[ d = \frac{H}{0,10} \] \[ d = \frac{5}{0,10} = 50 \text{ m} \]
Longueur réelle de la pente \( L \) (par le théorème de Pythagore) :
\[ L = \sqrt{d^2 + H^2} \] \[ L = \sqrt{50^2 + 5^2} \] \[ L = \sqrt{2500 + 25} \] \[ L = \sqrt{2525} \] \[ L \approx 50,25 \text{ m} \]
2. Détermination des dimensions de la terrasse pour couvrir 200 m²
La surface d’un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur. On connaît la largeur (10 m) et la surface souhaitée (200 m²).
Formule et données :
- Surface \( A = 200 \) m²
- Largeur \( l = 10 \) m
Longueur \( L_t \) à déterminer :
\[ L_t = \frac{A}{l} = \frac{200}{10} = 20 \text{ m} \]
Dimensions de la terrasse : 20 m (longueur) × 10 m (largeur)
3. Calcul du volume de terre à déplacer pour créer la terrasse
Pour obtenir une plate-forme plane, il faut retirer la partie en excès du terrain incliné.
Si la terrasse est réalisée sur un terrain ayant une pente de 10 % sur la longueur de 20 m, l’élévation naturelle varie sur cette longueur.
- Différence de niveau sur 20 m :
\[ \Delta h = 20 \text{ m} \times 0,10 \] \[ \Delta h = 2 \text{ m} \]
Lors du terrassement, le sol est coupé pour créer une surface horizontale. La différence d’épaisseur varie linéairement de 0 m (au point le plus bas) à 2 m (au point le plus haut). La profondeur moyenne de coupe est donc :
\[ h_{moy} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \text{ m} \]
Formule et données :
- Surface de la terrasse \( A = 200 \) m²
- Profondeur moyenne \( h_{moy} = 1 \) m
Volume de terre retiré \( V \) :
\[ V = A \times h_{moy} \] \[ V = 200 \times 1 \] \[ V = 200 \text{ m}^3 \]
Volume de terre à déplacer : 200 m³
4. Calcul de l’angle de la pente pour l’évacuation de l’eau de pluie (2%)
Une pente de 2 % signifie un rapport de 0,02 entre la montée verticale et la distance horizontale. Pour obtenir l’angle \( \theta \) correspondant, on utilise la tangente.
Formule et données :
- Pente = 2% = 0,02
Relation :
\[ \tan(\theta) = 0,02 \]
Pour trouver \( \theta \) :
\[ \theta = \arctan(0,02) \]
Calcul :
\[ \theta \approx \arctan(0,02) \approx 1,15^\circ \]
Résumé des résultats
- Longueur de la pente nécessaire : environ 50,25 m
- Dimensions de la terrasse : 20 m × 10 m
- Volume de terre à déplacer : 200 m³
- Angle de la pente pour l’évacuation (2 %) : environ 1,15°
Calculs de pentes et de niveaux
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