Calcul du moment induit par la force sismique

1. Calcul de la force sismique totale (F_tot)

La force sismique totale est obtenue en considérant l’accélération sismique effective qui agit sur le bâtiment. La méthode classique consiste à réduire le poids total (issu de la masse de l’ensemble des étages) par un facteur lié au comportement dynamique (coefficient R) et à multiplier par le facteur d’importance (I) ainsi que par l’accélération sismique effective.

Formule

On utilise la formule suivante :

\[ F_{tot} = \frac{I \times a_{g}}{R} \times (m_{total} \times g) \]

où :

• I est le facteur d’importance,
• a_g est l’accélération sismique (exprimée en fraction de g),
• R est le coefficient de comportement,
• m_total est la masse totale du bâtiment (en kg),
• g est l’accélération de la pesanteur (9,81 m/s²).

Données

• Nombre d’étages, n = 10.
• Masse par étage, m = 200 tonnes. Convertissons en kg : 200 tonnes = 200 × 1 000 = 200 000 kg.
• Masse totale, m_total = n × m = 10 × 200 000 = 2 000 000 kg.
• g = 9,81 m/s².
• a_g = 0.3 g.
• Coefficient de comportement, R = 5.
• Facteur d’importance, I = 1.2.

Calcul

1. Calcul du poids total du bâtiment :
   

   \[ W = m_{total} \times g \] \[ W = 2\,000\,000 \text{ kg} \times 9,81 \text{ m/s}^2 \] \[ W = 19\,620\,000 \text{ N} \]

2. Calcul de \( F_{tot} \) :
   

   \[ F_{tot} = \frac{I \times a_{g}}{R} \times W \] \[ F_{tot} = \frac{1.2 \times 0.3}{5} \times 19\,620\,000 \] \[ F_{tot} = 0.072 \times 19\,620\,000 \] \[ F_{tot} \approx 1\,412\,640 \text{ N} \]

2. Calcul du moment induit par la force sismique (M)

La distribution des forces sismiques est supposée « linéaire » par rapport à la hauteur, ce qui signifie que la force appliquée à chaque niveau est proportionnelle à l’altitude. Une telle distribution conduit à une répartition en « charge triangulaire » (commençant à zéro à la base et atteignant sa valeur maximale au sommet). Le résultat de cette distribution (force résultante \(F_{tot}\)) s’exerce au centre de gravité de la distribution de charge, qui se trouve pour une charge triangulaire variant linéairement, à une hauteur égale à \[ \frac{2H}{3} \] par rapport à la base. Étant donné que le centre de gravité global du bâtiment est considéré au milieu de sa hauteur (soit à \( \frac{H}{2} \)), le bras de levier effectif pour l’action de \(F_{tot}\) est la distance entre ces deux points.

Formule

Le moment induit \( M \) est calculé par la formule :

\[ M = F_{tot} \times \left( \frac{2H}{3} - \frac{H}{2} \right) \]

Données

• Hauteur totale, H = 30 m.
• Force sismique totale, \( F_{tot} \) = 1 412 640 N (calculé précédemment).

Calcul

1. Calcul du centre de force (du côté de la répartition de la force) :
   

   \[ \frac{2H}{3} = \frac{2 \times 30}{3} = 20 \text{ m} \]

2. Centre de gravité du bâtiment :
   

   \[ \frac{H}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ m} \]

3. Calcul du bras de levier (distance entre les deux centres) :
   

   \[ \text{Distance} = \frac{2H}{3} - \frac{H}{2} = 20 \text{ m} - 15 \text{ m} \] \[ \text{Distance} = 5 \text{ m} \]

4. Calcul final du moment :
   

   \[ M = F_{tot} \times \text{Distance} \] \[ M = 1\,412\,640 \text{ N} \times 5 \text{ m} \] \[ M = 7\,063\,200 \text{ N·m} \]

Conclusion

• La force sismique totale est \( F_{tot} \approx 1\,412\,640 \text{ N} \).
• Le moment induit par la force sismique est \( M \approx 7\,063\,200 \text{ N·m} \).