Calcul du moment induit par la force sismique
Comprendre le Calcul du moment induit par la force sismique
Vous êtes ingénieur en structure et vous travaillez sur la conception d’un bâtiment de taille moyenne dans une région à risque sismique élevé.
Le bâtiment est conçu pour avoir une base rectangulaire et est composé de plusieurs étages.
Objectif de l’exercice : Calculer le moment induit par les forces sismiques sur la base du bâtiment en considérant une distribution de masse uniforme et une accélération sismique spécifique.
Pour comprendre l’Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Hauteur du bâtiment (H) : 30 m
- Nombre d’étages (n) : 10
- Masse par étage (m) : 200 tonnes
- Dimension de la base du bâtiment :
- Longueur (L) : 20 m
- Largeur (W) : 15 m
- Accélération du sol (a_g) : 0.3 g (où g = 9.81 m/s²)
- Coefficient de comportement (R) : 5
- Importance du bâtiment (I) : 1.2
Questions :
1. Calculer la force sismique totale (F_tot):
- Supposons une distribution linéaire de hauteur (i.e., chaque étage est à une hauteur proportionnelle de la base).
3. Déterminer le moment induit par la force sismique (M):
- Nous considérerons que le centre de gravité est au centre de la hauteur du bâtiment.
Correction : Calcul du moment induit par la force sismique
Données Utilisées:
- Hauteur totale du bâtiment \( H = 30 \) m
- Nombre d’étages \( n = 10 \)
- Masse par étage \( m = 200,000 \) kg (conversion de tonnes en kg)
- Dimensions de la base du bâtiment: Longueur \( L = 20 \) m, Largeur \( W = 15 \) m
- Accélération du sol \( a_g = 0.3g = 2.943 \) m/s\(^2\) (0.3 \( \times \) 9.81 m/s\(^2\))
- Coefficient de comportement \( R = 5 \)
- Importance du bâtiment \( I = 1.2 \).
1. Calcul de la Force Sismique Totale \( F_b \)
La force de base sismique \( F_b \) se calcule via la formule:
\[ F_b = \frac{a_g \cdot W \cdot I}{R} \cdot \sum (m_i \cdot h_i) \]
Calcul de \( \sum (m_i \cdot h_i) \):
Pour une distribution linéaire des masses aux étages à des hauteurs allant de 3 m à 30 m, nous calculons la somme des hauteurs par étage comme suit :
\[ \text{Somme des hauteurs} = 3 + 6 + 9 + \ldots + 30 \]
Utilisant la formule de la somme d’une série arithmétique :
\[ \text{Somme des hauteurs} = \frac{n}{2} \cdot (\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \] \[ \text{Somme des hauteurs} = \frac{10}{2} \cdot (3 + 30) \] \[ \text{Somme des hauteurs} = 5 \cdot 33 \] \[ \text{Somme des hauteurs} = 165 \text{ m} \]
La somme des produits de la masse par la hauteur pour chaque étage devient :
\[ \sum (m_i \cdot h_i) = 200,000 \cdot 165 \] \[ \sum (m_i \cdot h_i) = 33,000,000 \text{ kg} \cdot \text{m} \]
Substitution des valeurs dans la formule \( F_b \):
\[ F_b = \frac{2.943 \cdot 15 \cdot 1.2}{5} \cdot 33,000,000 \] \[ F_b = 0.70632 \cdot 33,000,000 \] \[ F_b = 23,308,560 \text{ N} \]
2. Calcul du Moment Induit par la Force Sismique \( M \)
Le moment induit \( M \) est calculé par:
\[ M = F_b \cdot \frac{H}{2} \] \[ M = 23,308,560 \cdot \frac{30}{2} \] \[ M = 23,308,560 \cdot 15 \] \[ M = 349,628,400 \text{ N} \cdot \text{m} \]
Résultats Finis:
- Force sismique totale \( F_b \): 23,308,560 Newtons.
- Moment induit \( M \): 349,628,400 Newton-mètres.
Calcul du moment induit par la force sismique
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