Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

Comprendre le Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

Vous êtes ingénieur(e) dans une entreprise spécialisée dans la conception de structures métalliques. Un nouveau projet nécessite la conception d’une poutre en acier qui supportera une charge uniformément répartie. Pour garantir la sécurité et l’efficacité de la conception, vous devez calculer le module d’élasticité de l’acier utilisé, afin de vérifier sa conformité avec les spécifications du projet.

Pour comprendre le Calcul d’une poutre en acier, cliquez sur le lien.

Données:

Matériau de la poutre: acier
Longueur de la poutre (L): 3 mètres
Charge uniformément répartie (q): 2000 N/m
Flèche maximale admissible (f_max): 10 mm
Moment d’inertie de la section transversale de la poutre (I): \(4 \times 10^{-6} m^4\)
Distance entre les appuis (a): 3 mètres

Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

Questions:

1. Calculer la réaction aux appuis

2. Déterminer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))

3. Calculer le module d’élasticité (\(E\))

Correction : Calcul du Module d’Élasticité d’une Poutre

1. Calcul de la Réaction aux Appuis

Pour une poutre simplement appuyée et soumise à une charge uniformément répartie, la réaction en chaque appui se calcule par :

\[ R = \frac{q \times L}{2} \]

Substitution des valeurs :

\[ R = \frac{2000 \, \text{N/m} \times 3 \, \text{m}}{2} \] \[ R = \frac{6000 \, \text{N}}{2} \] \[ R = 3000 \, \text{N} \]

Résultat : La réaction en chaque appui est de 3000 N.

2. Détermination du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\max}\))

Pour une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au centre de la poutre et s’exprime par :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q \times L^2}{8} \]

Substitution des valeurs :

\[ M_{\text{max}} = \frac{2000 \, \text{N/m} \times (3 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{2000 \times 9}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{18000}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 2250 \, \text{N·m} \]

Résultat : Le moment fléchissant maximal est de 2250 N·m.

3. Calcul du Module d’Élasticité (E)

La flèche maximale d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie est donnée par :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, E \, I} \]

Pour déterminer \(E\), on isole cette inconnue :

\[ E = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, I \, f_{\text{max}}} \]

Substitution des valeurs :

\(q = 2000 \, \text{N/m}\)
\(L = 3 \, \text{m}\) donc \(L^4 = 3^4 = 81 \, \text{m}^4\)
\(I = 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^4\)
\(f_{\text{max}} = 0,01 \, \text{m}\)

Calcul du numérateur :

\[ 5 \, q \, L^4 = 5 \times 2000 \times 81 \] \[ = 10000 \times 81 = 810\,000 \, \text{N·m}^4 \]

Calcul du dénominateur :

\[ 384 \, I \, f_{\text{max}} = 384 \times 4 \times 10^{-6} \times 0,01 \] \[ = 384 \times 4 \times 10^{-8} = 1536 \times 10^{-8} \] \[ = 1,536 \times 10^{-5} \]

Ainsi, le module d’élasticité s’écrit :

\[ E = \frac{810\,000}{1,536 \times 10^{-5}} \, \text{N/m}^2 \]

Pour effectuer la division :

\[ E \approx \frac{810\,000}{0,00001536} \] \[ E \approx 52\,700\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \] \[ E = 5,27 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2 \]

Résultat : Le module d’élasticité calculé est d’environ 52,7 GPa.

Remarques

Interprétation du résultat :
Pour l’acier, un module d’élasticité typique se situe généralement autour de 200 GPa. La valeur obtenue ici (52,7 GPa) indique soit une hypothèse de départ différente, soit une contrainte de flèche très permissive pour une application particulière. Dans un contexte d’ingénierie, il convient de vérifier si les hypothèses du problème correspondent bien à la réalité du matériau utilisé ou si des paramètres (notamment la flèche maximale admissible) ont été choisis pour des raisons spécifiques au projet.