Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

1. Calcul de la vitesse du fluide dans le tuyau

La vitesse moyenne du fluide dans un tuyau se calcule en divisant le débit volumétrique par la section transversale du tuyau. La formule générale est :

\[ v = \frac{Q}{A} \]

Formule

La section transversale d’un tuyau circulaire est donnée par :

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Ainsi,

\[ v = \frac{Q}{\pi D^2/4} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]

Données substituées

• Débit volumétrique : \( Q = 0,05 \, \text{m}^3/\text{s} \)
• Diamètre interne : \( D = 0,25 \, \text{m} \)

Calcul détaillé

1. Calcul de la section \( A \) :

\[ A = \frac{\pi (0,25)^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0,0625}{4} \quad \text{(puisque } 0,25^2 = 0,0625\text{)} \]

\[ A = \frac{0,0625 \pi}{4} \] \[ A \approx \frac{0,19635}{4} \] \[ A \approx 0,04909 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la vitesse \( v \) :

\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{0,05}{0,04909} \approx 1,019 \, \text{m/s} \]

Résultat : La vitesse du fluide dans le tuyau est d’environ 1,019 m/s.

2. Calcul du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds (\( Re \)) est un critère adimensionnel utilisé pour déterminer si l’écoulement est laminaire ou turbulent. Il se calcule en multipliant la vitesse par le diamètre et en divisant par la viscosité cinématique du fluide.

\[ Re = \frac{vD}{\nu} \]

Formule

\[ Re = \frac{vD}{\nu} \]

Données substituées

• Vitesse calculée : \( v \approx 1,019 \, \text{m/s} \)
• Diamètre interne : \( D = 0,25 \, \text{m} \)
• Viscosité cinématique de l’eau à 20°C : \( \nu = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \)

Calcul détaillé

1. Calcul du numérateur \( v \times D \) :

\[ v \times D = 1,019 \times 0,25 \approx 0,25475 \, \text{m}^2/\text{s} \]

2. Calcul du nombre de Reynolds :

\[ Re = \frac{0,25475}{1 \times 10^{-6}} = 254750 \]

Résultat : Le nombre de Reynolds est d’environ 254750. (Ce nombre élevé indique un écoulement turbulent.)

3. Estimation du facteur de friction de Darcy-Weisbach par la formule de Colebrook-White

Explication

Le facteur de friction \( f \) dans le régime turbulent pour une conduite rugueuse est souvent obtenu à l’aide de l’équation implicite de Colebrook-White :

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\epsilon}{3,7D} + \frac{2,51}{Re\,\sqrt{f}} \right) \]

Cette équation ne se résout pas analytiquement et nécessite une méthode itérative.

Formule

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\epsilon}{3,7\,D} + \frac{2,51}{Re\,\sqrt{f}} \right) \]

Données substituées

• Diamètre interne : \( D = 0,25 \, \text{m} \)
• Rugosité absolue du tuyau : \( \epsilon = 0,045 \, \text{mm} = 0,045 \times 10^{-3} \, \text{m} = 4,5 \times 10^{-5} \, \text{m} \)
• Nombre de Reynolds : \( Re \approx 254750 \)

Calcul détaillé (méthode itérative)

Itération 1 – Choix d’une estimation initiale

Nous faisons une première hypothèse : \( f \approx 0,02 \).

Calcul de \( \sqrt{f} \) :

\[ \sqrt{0,02} \approx 0,14142 \]

Calcul de la contribution de la rugosité :

\[ \frac{\epsilon}{3,7D} = \frac{4,5 \times 10^{-5}}{3,7 \times 0,25} = \frac{4,5 \times 10^{-5}}{0,925} \approx 4,86 \times 10^{-5} \]

Calcul de la contribution du terme Reynolds :

\[ \frac{2,51}{Re\,\sqrt{f}} = \frac{2,51}{254750 \times 0,14142} \approx \frac{2,51}{36006,55} \approx 6,97 \times 10^{-5} \]

Somme des deux contributions :

\[ \text{Terme} = 4,86 \times 10^{-5} + 6,97 \times 10^{-5} \approx 1,183 \times 10^{-4} \]

Application dans la formule de Colebrook-White :

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} \stackrel{?}{=} -2 \log_{10}(1,183 \times 10^{-4}) \]

On calcule :

\[ \log_{10}(1,183 \times 10^{-4}) = \log_{10}(1,183) + \log_{10}(10^{-4}) \] \[ \approx 0,0739 - 4 = -3,9261 \]

Donc :

\[ -2 \times (-3,9261) \approx 7,8522 \]

Pour notre estimation initiale, le côté gauche donne :

\[ \frac{1}{\sqrt{0,02}} = \frac{1}{0,14142} \approx 7,071 \]

La valeur obtenue \( 7,071 \) est légèrement inférieure à \( 7,8522 \) ; ainsi, notre hypothèse initiale doit être ajustée.

Itération 2 – Raffinement

Recherchons une valeur telle que :

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx 7,85 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{f} \approx \frac{1}{7,85} \approx 0,1274 \]

Ce qui donne :

\[ f \approx (0,1274)^2 \approx 0,0162 \]

Vérifions avec \( f = 0,0162 \) :

\( \sqrt{f} = \sqrt{0,0162} \approx 0,1274 \)

Terme rugosité (inchangé) :

\[ \frac{\epsilon}{3,7D} \approx 4,86 \times 10^{-5} \]

Terme Reynolds modifié :

\[ \frac{2,51}{Re\,\sqrt{f}} = \frac{2,51}{254750 \times 0,1274} \approx \frac{2,51}{32411,65} \approx 7,75 \times 10^{-5} \]

Somme totale :

\[ 4,86 \times 10^{-5} + 7,75 \times 10^{-5} = 1,261 \times 10^{-4} \]

Calcul du côté droit de l’équation :

\[ \log_{10}(1,261 \times 10^{-4}) \approx \log_{10}(1,261) - 4 \approx 0,1004 - 4 = -3,8996 \]

\[ -2 \times (-3,8996) = 7,7992 \]

Comparaison avec le côté gauche :

\[ \frac{1}{\sqrt{0,0162}} \approx \frac{1}{0,1274} \approx 7,856 \]

La différence entre \( 7,856 \) et \( 7,7992 \) est très faible, ce qui indique que notre valeur itérée est satisfaisante.

Résultat : Le facteur de friction de Darcy-Weisbach est d’environ 0,0162.

Conclusion

• Vitesse du fluide : \( v \approx 1,019 \, \text{m/s} \)
• Nombre de Reynolds : \( Re \approx 254750 \) (indiquant un écoulement turbulent)
• Facteur de friction (par Colebrook-White) : \( f \approx 0,0162 \)