Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Comprendre le Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Un ingénieur civil est chargé de concevoir un pont en poutre simplement supporté, mais décide d’ajouter des appuis supplémentaires pour augmenter la stabilité du pont.
Le pont est initialement prévu avec deux appuis (un pivot et un rouleau) mais deux autres appuis (rouleaux) sont ajoutés pour distribuer uniformément la charge due au trafic lourd anticipé.
Pour comprendre le Calcul l’effort tranchant et le moment, cliquez sur le lien.
Données:
- Nombre d’appuis (a) : 4
- Pivot : 1
- Rouleau : 3
- Nombre de travées (n) : 3
- Longueurs des travées : 20m, 30m, 20m
- Nombre de degrés de liberté par appui :
- Pivot : 2 (translation verticale interdite et rotation interdite)
- Rouleau : 1 (translation verticale interdite)
- Réactions aux appuis :
- Réaction verticale au pivot : \(R_A\)
- Réaction verticale aux rouleaux : \(R_B, R_C, R_D\)
Question:
Calculer le degré d’hyperstaticité \(n_h\) du pont en utilisant la formule: \(n_h = r – (3n – a + 1)\) où \(r\) représente le nombre total de réactions d’appui (somme des degrés de liberté de chaque appui), \(n\) est le nombre de travées, et \(a\) est le nombre d’appuis.
Correction : Calcul du Degré d’Hyperstaticité
1. Calcul du nombre total de réactions d’appuis (\(r\)):
- Réactions au pivot:
Le pivot empêche deux mouvements (la translation verticale et la rotation). Cela contribue donc à deux réactions d’appui.
Réactions au pivot: 2
- Réactions aux Rouleaux:
Chaque rouleau empêche un mouvement (la translation verticale), et il y a 3 rouleaux. Donc, chaque rouleau contribue à une réaction d’appui.
Le calcul pour les trois rouleaux est donc:
\[ 1 \times 3 = 3 \]
Cela signifie que vous avez une réaction par rouleau et trois rouleaux au total, contribuant ainsi à trois réactions.
Calcul du Nombre Total de Réactions d’Appuis:
Le nombre total de réactions d’appuis, \( r \), est la somme des réactions au pivot et des réactions aux rouleaux:
\[ r = 2 + 3 \] \[ r = 5 \]
Donc, \( r = 5 \) est le total des réactions d’appui pour ce pont, où 2 réactions proviennent du pivot et 3 des rouleaux.
2. Application de la formule pour calculer le degré d’hyperstaticité (\(n_h\))
\[ n_h = r – (3n – a + 1) \]
Où,
- \(r = 5\)
- \(n = 3\)
- \(a = 4\)
Substituons les valeurs dans la formule:
\[ n_h = 5 – (3 \times 3 – 4 + 1) \] \[ n_h = 5 – (9 – 4 + 1) \] \[ n_h = 5 – 6 \] \[ n_h = -1 \]
3. Interprétation des résultats
- Le résultat \(n_h = -1\) indique que la structure est isostatique.
En termes de design structurel, cela signifie que la structure est stable et déterminée statiquement.
Toutes les réactions et les forces internes peuvent être calculées exclusivement à partir des équilibres statiques sans devoir résoudre des équations supplémentaires dues à la redondance.
Discussion
Le pont, tel que configuré, possède le nombre exact de réactions nécessaires pour supporter les charges prévues sans créer de redondance.
Cela est bénéfique en termes de simplicité de calcul et de coûts de construction réduits, car les structures hyperstatiques nécessitent souvent des analyses plus complexes et des matériaux plus coûteux.
Recommandations pour l’Hyperstaticité
Si l’objectif est d’augmenter la sécurité en introduisant de l’hyperstaticité (donc une certaine redondance), l’ingénieur pourrait envisager les modifications suivantes:
- Ajout d’un appui fixe supplémentaire: Transformer un des appuis rouleaux en un appui fixe augmentera les réactions d’appui et donc \(r\).
- Augmenter le nombre d’appuis: Ajouter d’autres appuis fixe ou pivot pour augmenter \(r\) sans modifier le nombre de travées (\(n\)).
- Redessiner les liaisons internes: Ajouter des liaisons internes comme des articulations rigides ou des biellettes qui augmenteraient le nombre de contraintes internes.
Calcul du Degré d’Hyperstaticité
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