Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Comprendre le Calcul du Degré d’Hyperstaticité
On considère une poutre rigide soumise à des charges verticales (aucune charge horizontale n’étant présente). La poutre se compose de deux parties :
- Partie encastrée : La poutre est encastrée dans un mur à son extrémité gauche. Un encastrement en plan fournit 3 inconnues d’appuis :
- Une réaction horizontale \( R_x \)
- Une réaction verticale \( R_y \)
- Une réaction moment \( M \)
- Partie en porte-à-faux : La poutre se prolonge horizontalement sur une longueur \( L = 8 \, \text{m} \) (distance entre l’encastrement et l’extrémité libre).
À l’extrémité libre (à droite), on ajoute un appui simple (ou rouler) qui ne fournit qu’une réaction verticale \(R\)
Remarque sur les appuis :
– L’encastrement fixe à la fois les translations (en \( x \) et \( y \)) et la rotation (par le moment).
– L’appui simple (type rouler) ne contraint que le déplacement vertical.
Questions:
1. Identification des inconnues : Déterminer le nombre total d’inconnues apportées par les appuis de la poutre.
2. Calcul du degré d’hyperstaticité : Sachant que pour un solide plan on peut écrire 3 équations d’équilibre indépendantes (\(\sum F_x\), \(\sum F_y\) et \(\sum M\)), déterminer le degré d’hyperstaticité (c’est-à-dire le nombre d’inconnues en excès par rapport aux équations disponibles).
3. Modification pour rendre la structure déterminée : Proposer une modification du système d’appuis (en changeant le type d’appui) qui permettrait de rendre la structure statiquement déterminée.
Correction : Calcul du Degré d’Hyperstaticité
Étape 1 : Calcul du nombre total d’inconnues
1. Le nombre total d’inconnues apportées par les appuis
Chaque type d’appui fournit un certain nombre de réactions (inconnues). L’encastrement impose trois contraintes (translation en \(x\), translation en \(y\) et rotation), alors que l’appui simple, typiquement de type rouler, n’impose qu’une contrainte (translation verticale).
Formule :
\[ N_{\text{inconnues}} = N_{\text{encastrement}} + N_{\text{appui simple}} \]
Données :
- Encastrement : \(N_{\text{encastrement}}\) = 3 \((\text{réactions} R_x, R_y, M)\)
- Appui simple : \(N_{\text{appui simple}} = 1 \text{ (réaction R)})\)
Calcul :
\[ N_{\text{inconnues}} = 3 + 1 = 4 \]
Étape 2 : Calcul du nombre d’équations d’équilibre disponibles
2. Le nombre d’équations d’équilibre pour un solide plan
Pour un solide plan, nous pouvons écrire trois équations d’équilibre indépendantes. Il s’agit de l’équilibre des forces en \(x\), l’équilibre des forces en \(y\) et l’équilibre des moments.
Formule :
\[ N_{\text{équil}} = 3 \]
Données :
- \(\sum F_x = 0\)
- \(\sum F_y = 0\)
- \(\sum M = 0\)
Calcul :
\[ N_{\text{équil}} = 3 \]
Étape 3 : Calcul du degré d’hyperstaticité
3. Calcul de : Le degré d’hyperstaticité \(h\)
Le degré d’hyperstaticité est défini comme la différence entre le nombre total d’inconnues et le nombre d’équations d’équilibre disponibles. Il représente le nombre d’inconnues supplémentaires qui ne peuvent être déterminées par les seules équations d’équilibre.
Formule :
\[ h = N_{\text{inconnues}} – N_{\text{équil}} \]
Données :
- \(N_{\text{inconnues}} = 4\)
- \(N_{\text{équil}} = 3\)
Calcul :
\[ h = 4 – 3 = 1 \]
Interprétation : La poutre est hyperstatique d’ordre 1, ce qui signifie qu’il y a 1 inconnue supplémentaire qui ne peut pas être résolue par les seules équations d’équilibre.
Étape 4 : Proposition de modification pour rendre la structure statiquement déterminée
4. La modification nécessaire pour obtenir une structure statiquement déterminée
Pour qu’une structure soit statiquement déterminée, le nombre d’inconnues doit être exactement égal au nombre d’équations d’équilibre disponibles (ici 3). Une solution consiste à réduire le nombre d’inconnues.
L’une des solutions est de modifier l’encastrement, qui fournit initialement 3 inconnues, en le remplaçant par un appui pivot. Un appui pivot ne contraint que les translations (en \(x\) et \(y\)) et ne transmet pas de moment, ce qui diminue le nombre d’inconnues.
Formule :
Si on remplace l’encastrement par un appui pivot, le nombre d’inconnues à gauche devient :
\[ N_{\text{pivot}} = 2 \text{ (réactions Rx et Ry)} \]
Le nombre total d’inconnues devient alors :
\[ N_{\text{inconnues (nouveau)}} = N_{\text{pivot}} + N_{\text{appui simple}} \] \[ N_{\text{inconnues (nouveau)}} = 2 + 1 = 3 \]
Le degré d’hyperstaticité s’obtient alors par :
\[ h = 3 – 3 = 0 \]
Données :
- Appui pivot: 2 inconnues (\(R_x\) et \(R_y\))
- Appui simple : 1 inconnue (\(R\))
Calcul :
\[ N_{\text{inconnues (nouveau)}} = 2 + 1 = 3 \]
\[ h = 3 – 3 = 0 \]
Conclusion : En remplaçant l’encastrement par un appui pivot, le nombre total d’inconnues devient égal aux 3 équations d’équilibre disponibles, et la structure devient statiquement déterminée.
Calcul du Degré d’Hyperstaticité
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