Calcul du Degré de Saturation du Sol
📝 Situation du Projet et Enjeux Géotechniques
Le projet autoroutier A69, reliant Castres à Toulouse, entre dans sa phase critique de terrassement sur la section Est, traversant la vallée alluviale de l'Agout. Cette zone est caractérisée par des dépôts sédimentaires complexes où alternent limons, sables et argiles. La maîtrise des mouvements de terrain lors de la construction des remblais d'accès aux ouvrages d'art (OA 14 et OA 15) est un enjeu majeur de sécurité et de pérennité.
Dans ce contexte, le laboratoire de chantier a procédé à une campagne de reconnaissance géotechnique intensive. Un échantillon intact de classe 1 a été prélevé à l'aide d'un carottier à piston stationnaire dans la zone d'emprunt "Nord-Vallée", identifiée comme source potentielle de matériaux de remblai. Ce prélèvement a été réalisé à une profondeur de \(2,00 \text{ m}\), juste au-dessus de la nappe phréatique supposée.
La problématique centrale réside dans l'état hydrique naturel de ce matériau. Un sol trop proche de la saturation (\(S_{\text{r}} \approx 100\%\)) engendrerait, lors du compactage par les engins de chantier, des surpressions interstitielles immédiates. L'eau, incompressible, empêcherait le rapprochement des grains, créant un effet de "matelas" instable et rendant le compactage inefficace, voire dangereux (glissement de talus). À l'inverse, un sol trop sec nécessiterait un arrosage massif, coûteux en eau et en temps. Votre expertise est requise pour déterminer avec une précision absolue l'état de saturation actuel de cet échantillon afin de valider son aptitude au réemploi immédiat.
En tant qu'ingénieur géotechnicien principal, vous devez mener l'analyse complète de l'échantillon intact référencé "NV-S4-C1". Votre objectif est de déterminer le Degré de Saturation (\(S_{\text{r}}\)) précis du sol en place. Pour cela, vous devrez déconstruire l'état triphasique du matériau en calculant successivement la teneur en eau pondérale, l'indice des vides, et enfin le volume d'eau rapporté au volume des vides.
"Attention, ne confondez pas la masse humide totale et la masse sèche. Les calculs de volumes doivent impérativement se baser sur la masse volumique absolue des grains (\(\rho_{\text{s}}\)), qui est une constante intrinsèque du matériau, contrairement à la masse volumique apparente qui dépend du tassement."
L'analyse s'appuie sur un échantillon intact, taillé au laboratoire avec le plus grand soin pour préserver sa structure naturelle. Les mesures suivantes ont été réalisées selon les normes françaises NF P94 (Sols : Reconnaissance et Essais) en vigueur. Toutes les pesées sont effectuées sur une balance de précision à \(0,01 \text{ g}\) pour garantir la fiabilité des calculs de densités.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le respect de ces normes est contractuel pour la validation des essais par le bureau de contrôle extérieur.
NF P94-050 (Teneur en eau pondérale) NF P94-053 (Masse volumique des sols)Pour mener à bien les calculs, il est indispensable de visualiser le sol non pas comme un mélange homogène, mais comme un système composé de trois phases distinctes : les grains solides (squelette), l'eau (liquide interstitiel) et l'air (gaz). Le schéma ci-dessous représente cette abstraction physique fondamentale utilisée pour définir les volumes et les masses.
Les données ci-dessous sont issues du procès-verbal d'essai n°2024-058. Elles représentent les valeurs mesurées directement sur l'échantillon sans aucun traitement mathématique préalable.
| 1. MESURES SUR L'ÉCHANTILLON INTACT | |
|
Masse Totale Humide (\(M\)) Mesure effectuée immédiatement après extrusion du carottier pour éviter toute évaporation. Inclut la masse de l'eau et du solide. |
\(1850 \text{ g}\) |
|
Volume Total de l'échantillon (\(V\)) Volume géométrique du cylindre de sol taillé au trousse-coupante. Inclut les vides et les grains. |
\(950 \text{ cm}^3\) |
| 2. MESURES APRÈS ÉTUVAGE (24h à \(105^{\circ}\text{C}\)) | |
|
Masse Sèche (\(M_{\text{s}}\)) Masse constante obtenue après évaporation totale de l'eau libre. Représente uniquement le squelette minéral. |
\(1650 \text{ g}\) |
| 3. PARAMÈTRES PHYSIQUES INTRINSÈQUES | |
|
Masse volumique des grains solides (\(\rho_{\text{s}}\)) Mesurée au pycnomètre à air. Caractéristique minéralogique pure des grains (quartz/feldspaths). |
\(2,65 \text{ g/cm}^3\) |
|
Masse volumique de l'eau (\(\rho_{\text{w}}\)) Valeur conventionnelle utilisée pour les calculs à température ambiante (\(20^{\circ}\text{C}\)). |
\(1,00 \text{ g/cm}^3\) |
E. Protocole de Résolution
Pour remonter jusqu'au degré de saturation, une démarche rigoureuse par étapes successives est indispensable. Chaque calcul s'appuie sur le précédent.
Calcul de la Teneur en Eau (\(w\))
Quantification de la proportion d'eau par rapport à la masse de matière sèche.
Détermination de l'Indice des Vides (\(e\))
Évaluation de la porosité du sol via les masses volumiques.
Calcul du Degré de Saturation (\(S_{\text{r}}\))
Synthèse des résultats précédents pour trouver le taux de remplissage des vides par l'eau.
Analyse & Bilan
Interprétation physique de l'état du sol et validation géotechnique.
Calcul du Degré de Saturation du Sol
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape
L'objectif de cette première étape est de quantifier précisément la proportion d'eau contenue dans les interstices du sol par rapport à sa fraction solide. La teneur en eau pondérale n'est pas une simple mesure d'humidité ; c'est un paramètre d'état fondamental en mécanique des sols, car elle conditionne la consistance (limites d'Atterberg) et le comportement mécanique (cohésion apparente, compressibilité) du matériau.
📚 Référentiel Technique
- NF P94-050 : Sols : Reconnaissance et Essais - Détermination de la teneur en eau pondérale des matériaux.
- Principe de Terzaghi : Distinction fondamentale entre les contraintes effectives (squelette) et la pression interstitielle (eau).
Nous disposons de deux mesures de masse issues de la pesée : la masse totale \(M\) (sol humide) et la masse sèche \(M_{\text{s}}\) (après passage à l'étuve). La loi de conservation de la masse nous indique que la différence \(M - M_{\text{s}}\) correspond exclusivement à la masse de l'eau qui s'est évaporée (\(M_{\text{w}}\)), puisque la masse des grains minéraux est invariable à \(105^{\circ}\text{C}\).
Point crucial de raisonnement : En géotechnique, contrairement à d'autres disciplines, la teneur en eau est définie par rapport à la masse sèche (\(M_{\text{s}}\)) et non par rapport à la masse totale. Pourquoi ? Parce que le volume et la masse totale du sol changent lors des tassements ou des gonflements, alors que la quantité de grains solides reste constante. Utiliser \(M_{\text{s}}\) comme dénominateur permet de comparer l'état hydrique du sol à différents stades de son histoire sans biais mathématique.
L'eau dans un sol n'est pas uniforme. On distingue :
1. L'eau libre (ou gravitaire) : Circule librement dans les macropores sous l'effet de la gravité (loi de Darcy). C'est celle que nous mesurons ici principalement.
2. L'eau capillaire : Retenue par tension superficielle dans les micropores, créant la succion.
3. L'eau adsorbée : Liée électrostatiquement à la surface des feuillets argileux. Elle ne s'évapore pas totalement à \(105^{\circ}\text{C}\) pour certaines argiles très plastiques, mais pour notre limon sableux, l'étuvage à \(105^{\circ}\text{C}\) est considéré comme éliminant toute l'eau libre et capillaire significative.
Schéma de principe : Perte de masse due à l'évaporation de l'eau interstitielle.
📋 Données d'Entrée Spécifiques
| Symbole | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(M\) | Masse Totale Humide | \(1850 \text{ g}\) |
| \(M_{\text{s}}\) | Masse Sèche (après étuve) | \(1650 \text{ g}\) |
Lors d'un essai réel, assurez-vous que la masse sèche est bien "constante". On remet souvent l'échantillon à l'étuve pour une heure supplémentaire pour vérifier que la masse ne descend plus. Si la masse continue de baisser, c'est que de l'eau est encore piégée au cœur de l'échantillon.
📝 Note de Calculs Détaillée
1. Détermination de la masse d'eau évaporée (\(M_{\text{w}}\))
Nous commençons par calculer la quantité absolue d'eau qui a été extraite de l'échantillon lors du passage à l'étuve.
L'échantillon contenait initialement \(200 \text{ g}\) d'eau liquide.
2. Calcul du ratio pondéral (\(w\))
Nous rapportons maintenant cette masse d'eau à la masse de référence (la masse solide) pour obtenir la valeur intrinsèque \(w\).
Le résultat brut est un nombre décimal périodique.
3. Conversion en pourcentage
Pour faciliter la lecture et se conformer aux usages, nous convertissons ce ratio en pourcentage.
Le sol possède une teneur en eau naturelle de \(12,12\%\).
✅ Interprétation Globale
Une teneur en eau de \(12\%\) pour un limon sableux est caractéristique d'un état "humide" mais non boueux. À titre de comparaison, un sable propre drainant aurait une teneur en eau de \(3-5\%\), tandis qu'une argile plastique pourrait dépasser \(30-40\%\). Cette valeur suggère que le matériau a une consistance ferme, probablement apte à supporter le passage d'engins.
L'ordre de grandeur est correct. Si nous avions trouvé \(120\%\), il se serait agi d'une tourbe ou d'une vase organique (ce qui contredirait la nature "limon sableux"). Si nous avions trouvé \(1\%\), le sol serait quasi-désertique ou séché artificiellement.
L'erreur la plus fréquente chez les étudiants est de calculer \(w = M_{\text{w}} / M_{\text{total}} = 200/1850 = 10,8\%\). C'est ce qu'on appelle la teneur en eau sur brut, utilisée parfois en génie civil routier (enrobés), mais jamais en mécanique des sols traditionnelle. Cette erreur fausserait tous les calculs de saturation suivants.
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape
L'indice des vides est une mesure structurelle qui quantifie la "porosité" du sol d'une manière spécifique à la géotechnique. Il exprime le rapport volumique entre le vide (l'espace disponible pour l'air et l'eau) et le plein (le volume occupé par les grains minéraux). C'est un indicateur direct de la compacité : plus l'indice des vides est faible, plus le sol est dense, tassé et résistant. Plus il est élevé, plus le sol est lâche, compressible et instable.
📚 Référentiel Technique
- Définition fondamentale : Paramètre d'état structurel \(e\).
- NF P94-054 : Détermination de la masse volumique des particules solides (\(\rho_{\text{s}}\)).
Nous sommes face à une difficulté : nous connaissons les masses (\(1650 \text{ g}\) de solide), mais pour calculer un indice des vides, nous avons impérativement besoin des volumes. Nous ne pouvons pas mesurer directement le volume des grains de sable un par un.
C'est ici qu'intervient la "Pierre de Rosette" de la géotechnique : la masse volumique absolue des grains (\(\rho_{\text{s}}\)). Cette valeur (donnée à \(2,65 \text{ g/cm}^3\)) agit comme un facteur de conversion. Elle nous permet de transformer la masse sèche \(M_{\text{s}}\) en un Volume de Solide équivalent \(V_{\text{s}}\). Une fois \(V_{\text{s}}\) connu, et sachant que le Volume Total \(V\) est mesuré géométriquement, nous pourrons déduire le Volume des Vides \(V_{\text{v}}\) par simple soustraction (\(V - V_{\text{s}}\)).
Ne confondez pas Indice des Vides (\(e\)) et Porosité (\(n\)).
- Porosité (\(n = V_{\text{v}} / V_{\text{total}}\)) : C'est la part de vide dans le volume total. Elle est toujours inférieure à \(1\) (ou \(100\%\)). C'est intuitif mais mathématiquement moins pratique car le dénominateur (\(V_{\text{total}}\)) change si le sol se tasse.
- Indice des Vides (\(e = V_{\text{v}} / V_{\text{s}}\)) : C'est le rapport du vide sur le solide. Le dénominateur (\(V_{\text{s}}\)) est constant quelle que soit la compression du sol. C'est pour cela que les ingénieurs préfèrent \(e\) pour les calculs de tassement. Notez que \(e\) peut être supérieur à \(1\) (volume de vide > volume de solide) pour des argiles très lâches.
La masse volumique des grains agit comme un convertisseur entre le monde des masses et le monde des volumes.
📋 Données d'Entrée Spécifiques
| Symbole | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(M_{\text{s}}\) | Masse Sèche | \(1650 \text{ g}\) |
| \(V\) | Volume Total Géométrique | \(950 \text{ cm}^3\) |
| \(\rho_{\text{s}}\) | Masse volumique des grains | \(2,65 \text{ g/cm}^3\) |
En examen, si on ne vous donne pas \(\rho_{\text{s}}\), prenez la valeur par défaut de \(2,65 \text{ g/cm}^3\) (ou \(2700 \text{ kg/m}^3\)). C'est la densité moyenne de la croûte terrestre (quartz, calcite).
📝 Note de Calculs Détaillée
1. Calcul du Volume des Solides (\(V_{\text{s}}\))
C'est l'étape critique de conversion. Nous utilisons la masse volumique pour transformer la masse en volume.
Sur les \(950 \text{ cm}^3\) de l'échantillon, \(622,64 \text{ cm}^3\) sont réellement occupés par de la matière minérale.
2. Calcul du Volume des Vides (\(V_{\text{v}}\))
Nous déduisons l'espace interstitiel par soustraction du volume solide au volume total.
Il y a donc environ \(327 \text{ cm}^3\) de "trous" (pores) dans cet échantillon, actuellement remplis par un mélange d'air et d'eau.
3. Calcul final de l'Indice des Vides (\(e\))
Nous établissons le ratio structurel final en divisant le volume de vide par le volume de solide.
L'indice des vides est de \(0,526\). C'est un paramètre sans unité.
✅ Interprétation Globale
Une valeur de \(e = 0,526\) indique un sol moyennement compact. Pour les sables et limons, les indices des vides varient généralement entre \(0,4\) (très dense) et \(0,8\) (lâche). Nous sommes ici dans la fourchette basse, ce qui suggère que le sol en place a déjà subi une certaine consolidation naturelle ou géologique. Il ne s'agit pas d'un sol fraîchement déposé ou très aéré.
Le résultat est physiquement réaliste.
Si \(e > 1,5\) : Erreur probable (sauf argiles organiques ou vases).
Si \(e < 0,3\) : Impossible physiquement pour un sol granulaire (les grains ne peuvent pas s'imbriquer autant).
Une confusion fréquente est d'utiliser \(V_{\text{total}}\) au dénominateur au lieu de \(V_{\text{s}}\). Cela donnerait la porosité \(n\), qui a une signification différente. Vérifiez toujours la définition de votre formule.
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape
C'est l'objectif final et crucial de notre mission. Nous avons quantifié le volume total des "trous" (volume des vides \(V_{\text{v}}\)) à l'étape 2. Maintenant, nous devons répondre à la question : à quel point ces trous sont-ils remplis d'eau ?
Le degré de saturation (\(S_{\text{r}}\)) est le pourcentage du volume des vides occupé par l'eau liquide. Si \(S_{\text{r}} = 0\%\), le sol est sec. Si \(S_{\text{r}} = 100\%\), le sol est saturé (plus d'air). Entre les deux, le sol est dit "non saturé".
📚 Référentiel Technique
- Mécanique des Sols non saturés : Domaine spécifique étudiant la succion capillaire.
- Relation Fondamentale des 3 phases : Équation d'état reliant \(w\), \(e\), \(S_{\text{r}}\) et les densités.
Nous avons toutes les pièces du puzzle :
1. Nous connaissons le volume des vides \(V_{\text{v}} = 327,36 \text{ cm}^3\).
2. Nous connaissons la masse de l'eau \(M_{\text{w}} = 200 \text{ g}\).
Il nous manque une seule conversion : transformer la masse d'eau en Volume d'Eau (\(V_{\text{w}}\)) pour pouvoir comparer des volumes avec des volumes (on ne divise pas des grammes par des cm³ !). Heureusement, la physique de l'eau est simple : sa masse volumique \(\rho_{\text{w}}\) est de \(1 \text{ g/cm}^3\). La conversion sera donc numérique triviale, mais dimensionnellement essentielle.
Le degré de saturation est un paramètre borné : \(0 \le S_{\text{r}} \le 100\%\).
- \(S_{\text{r}} < 80\%\) : L'air est sous forme continue (canaux d'air connectés). L'air s'échappe facilement lors du compactage.
- \(S_{\text{r}} > 85\%\) : L'air devient occlus (bulles piégées). Il ne peut plus s'échapper. Si on compacte, on comprime ces bulles, augmentant la pression interstitielle, ce qui peut "liquéfier" le sol localement.
Représentation visuelle : L'eau occupe une fraction du volume disponible.
📋 Données d'Entrée Consolidées
| Symbole | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(M_{\text{w}}\) | Masse d'eau (calc. Q1) | \(200 \text{ g}\) |
| \(V_{\text{v}}\) | Volume des vides (calc. Q2) | \(327,36 \text{ cm}^3\) |
| \(\rho_{\text{w}}\) | Masse volumique eau | \(1,00 \text{ g/cm}^3\) |
Avant de rendre votre rapport, vérifiez TOUJOURS vos calculs avec la relation fondamentale \(S_{\text{r}} \cdot e = w \cdot G_{\text{s}}\). Si elle n'est pas vérifiée, vous avez fait une erreur.
Testons ici :
- Côté gauche : \(0,611 \times 0,526 = \mathbf{0,3213}\)
- Côté droit : \(0,1212 \times 2,65 = \mathbf{0,3211}\)
La différence minime est due aux arrondis. Le calcul est validé !
📝 Note de Calculs Détaillée
1. Conversion Masse \(\rightarrow\) Volume pour l'eau
Nous transformons les \(200 \text{ g}\) d'eau en volume équivalent.
Comme prévu, la valeur numérique ne change pas, mais l'unité devient spatiale (\(\text{cm}^3\)).
2. Calcul du ratio de remplissage (\(S_{\text{r}}\))
Nous comparons le volume d'eau (\(200 \text{ cm}^3\)) au volume total disponible dans les pores (\(327,36 \text{ cm}^3\)).
L'eau occupe \(61,1\%\) de l'espace poreux. Les \(38,9\%\) restants sont donc occupés par de l'air.
✅ Interprétation Globale
Le degré de saturation est de \(61\%\). Le sol n'est pas saturé. Il est dans un état dit "humide". L'air circule encore librement dans le réseau poreux. C'est un état qui ne présente pas de risque de liquéfaction statique immédiate.
Le résultat est cohérent. Il est rare de trouver un sol avec \(S_{\text{r}} < 40\%\) en climat tempéré (sauf en surface l'été). Une valeur de \(60\%\) est standard.
Attention aux remontées de nappe. Si la nappe phréatique monte de \(1 \text{ m}\), ce sol pourrait passer rapidement à \(S_{\text{r}} = 100\%\) par capillarité, changeant radicalement ses propriétés mécaniques.
🎯 Objectif Scientifique de l'Étape
Cette étape finale sert de contrôle qualité. Nous allons vérifier que la somme de tous les volumes partiels calculés (\(V_{\text{s}}\), \(V_{\text{w}}\) et le volume d'air déduit) redonne bien exactement le volume total de l'échantillon mesuré au départ. C'est une preuve de la rigueur mathématique de la démarche.
📚 Référentiel Technique
- Principe de conservation du volume : \(V_{\text{total}} = V_{\text{s}} + V_{\text{w}} + V_{\text{air}}\)
Nous avons calculé \(V_{\text{s}}\) et \(V_{\text{w}}\) indépendamment. Le volume d'air (\(V_{\text{air}}\)) est la partie des vides non occupée par l'eau. En calculant explicitement ce volume d'air et en l'ajoutant aux deux autres, nous devons retrouver les \(950 \text{ cm}^3\) initiaux. Tout écart signifierait une erreur de calcul antérieure.
Dans un modèle triphasique, la phase gazeuse est compressible, contrairement aux phases solides et liquides. Cependant, pour un bilan de masse et de volume à un instant T, on considère les volumes comme géométriquement finis.
📋 Données d'Entrée Consolidées
| Symbole | Valeur |
|---|---|
| \(V_{\text{v}}\) | \(327,36 \text{ cm}^3\) |
| \(V_{\text{w}}\) | \(200,00 \text{ cm}^3\) |
| \(V_{\text{s}}\) | \(622,64 \text{ cm}^3\) |
Si la somme n'est pas exacte, vérifiez vos arrondis intermédiaires. En géotechnique, on garde souvent 2 décimales pour les volumes en \(\text{cm}^3\).
📝 Note de Calculs Détaillée
1. Calcul du Volume d'Air Résiduel
Nous déterminons le volume de gaz.
Il reste \(127,36 \text{ cm}^3\) d'air.
2. Sommation des Phases (Vérification)
Nous additionnons les trois volumes partiels.
La somme correspond exactement au volume géométrique initial.
✅ Interprétation Globale
Le modèle se boucle parfaitement. Aucune masse ni aucun volume n'a été perdu dans les calculs. Le résultat est certifié exact.
Cohérence absolue validée.
Bien que l'état soit favorable aujourd'hui (\(S_{\text{r}} = 61\%\)), ce limon est sensible à l'eau. Une forte pluie de 24h pourrait faire passer \(S_{\text{r}}\) au-delà de \(90\%\). Action requise : Si une pluie est annoncée, fermer le chantier et bâcher le stock.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Émission originale - Validation Emprunt Nord | Ing. Géotech |
- Provenance : Zone d'emprunt "Nord-Vallée" - Sondage S4 à \(-2,00 \text{ m}\)
- Nature présumée : Limon sableux
- Densité des particules (\(\rho_{\text{s}}\)) : \(2,65 \text{ g/cm}^3\)
| Masse Totale Humide | \(1850 \text{ g}\) |
| Masse Sèche | \(1650 \text{ g}\) |
| Volume Total | \(950 \text{ cm}^3\) |
Synthèse des calculs effectués selon normes NF P94.
L'Ingénieur Expert
Dir. Technique
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