Calcul du coefficient d’équivalence
Comprendre le Calcul du coefficient d’équivalence
Vous êtes ingénieur en structure travaillant sur la conception d’un bâtiment en béton armé. Une partie de votre tâche consiste à calculer le coefficient d’équivalence pour garantir la stabilité et la sécurité de la structure.
Pour comprendre le Calcul du Ratio d’Armature en Béton Armé, cliquez sur le lien.
Données :
- Dimensions de la section transversale du béton : Largeur = 300 mm, Hauteur = 500 mm
- Type de béton : B25 (Résistance caractéristique à la compression = 25 MPa)
- Type d’acier pour l’armature : Fe500 (Limite d’élasticité = 500 MPa)
- Diamètre des barres d’armature : 16 mm
- Nombre de barres d’armature : 6
- Recouvrement du béton : 40 mm
Questions :
1. Calculez l’aire de la section transversale du béton.
2. Déterminez l’aire totale des barres d’armature.
3. Utilisez les propriétés des matériaux (béton et acier) pour calculer le coefficient d’équivalence (n). Rappel : Le coefficient d’équivalence est le rapport entre le module d’élasticité de l’acier (E_s) et celui du béton (E_c).
4. Calculez la section transformée de béton équivalente en prenant en compte l’armature.
5. Analysez l’impact du coefficient d’équivalence sur la conception de la section transversale en béton armé.
Correction : Calcul du coefficient d’équivalence
1. Calcul de l’aire de la section transversale du béton
La section transversale du béton se calcule en multipliant la largeur par la hauteur. Cette aire représente l’ensemble du béton qui constitue la pièce.
Formule :
\[ A_c = \text{Largeur} \times \text{Hauteur} \]
Données :
- Largeur, \( L = 300\ \text{mm} \)
- Hauteur, \( H = 500\ \text{mm} \)
Calcul :
\[ A_c = 300\ \text{mm} \times 500\ \text{mm} \] \[ A_c = 150\,000\ \text{mm}^2 \]
2. Calcul de l’aire totale des barres d’armature
Chaque barre d’armature est circulaire. L’aire d’une barre se calcule à partir du diamètre avec la formule de l’aire d’un cercle. Le nombre total de barres permet de trouver l’aire totale de l’armature.
Formule pour une barre :
\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données :
- Diamètre des barres, \( d = 16\ \text{mm} \)
- Nombre de barres, \( N = 6 \)
Calcul pour une barre :
\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \times (16\ \text{mm})^2}{4} \] \[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \times 256\ \text{mm}^2}{4} \] \[ A_{\text{barre}} = 64\pi\ \text{mm}^2 \]
En remplaçant \(\pi\) par sa valeur numérique (≈ 3,1416) :
\[ 64\pi \approx 64 \times 3,1416 \approx 201,06\ \text{mm}^2 \]
Calcul de l’aire totale des armatures :
\[ A_s = N \times A_{\text{barre}} \] \[ A_s = 6 \times 201,06\ \text{mm}^2 \] \[ A_s \approx 1\,206,37\ \text{mm}^2 \]
3. Calcul du coefficient d’équivalence \( n \)
Le coefficient d’équivalence permet de convertir l’aire d’armature (acier) en une aire équivalente de béton en tenant compte de la différence de rigidité entre les deux matériaux. Il se calcule comme le rapport entre le module d’élasticité de l’acier et celui du béton.
Formule :
\[ n = \frac{E_s}{E_c} \]
Données :
- Module d’élasticité de l’acier, \( E_s = 210\,000\ \text{MPa} \)
- Module d’élasticité du béton (pour un béton B25), \( E_c = 30\,000\ \text{MPa} \)
Calcul :
\[ n = \frac{210\,000\ \text{MPa}}{30\,000\ \text{MPa}} = 7 \]
Explication complémentaire :
Ce résultat indique que l’acier est 7 fois plus rigide que le béton, ce qui justifie que, pour l’analyse de la section transformée, l’aire de l’armature soit multipliée par 7.
4. Calcul de la section transformée de béton équivalente
Pour réaliser l’analyse d’une section en béton armé en ne considérant qu’un seul matériau (le béton), on « transforme » l’aire de l’armature en une aire équivalente de béton. On peut adopter la méthode suivante :
- Méthode 1 (Transformation complète) :
\[ A_{\text{trans}} = A_c + n \times A_s \]
Ici, on ajoute l’aire du béton plus l’aire des barres d’armature multipliée par le coefficient \( n \).
- Méthode 2 (Remplacement net) :
Si l’on considère que l’aire d’armature est déjà incluse dans l’aire totale de la section, on utilise :
\[ A_{\text{trans}} = A_c + (n – 1) \times A_s \]
Dans cet exercice, nous adopterons la méthode 1 pour obtenir la section transformée totale.
Formule :
\[ A_{\text{trans}} = A_c + n \times A_s \]
Données :
- \( A_c = 150\,000\ \text{mm}^2 \)
- \( A_s \approx 1\,206,37\ \text{mm}^2 \)
- \( n = 7 \)
Calcul :
\[ n \times A_s = 7 \times 1\,206,37\ \text{mm}^2 \] \[ \approx 8\,444,59\ \text{mm}^2 \]
\[ A_{\text{trans}} = 150\,000\ \text{mm}^2 + 8\,444,59\ \text{mm}^2 \] \[ A_{\text{trans}} \approx 158\,444,59\ \text{mm}^2 \]
5. Analyse de l’impact du coefficient d’équivalence sur la conception de la section transversale en béton armé
- Contribution de l’armature :
Le coefficient \( n = 7 \) signifie que l’armature a une rigidité bien supérieure à celle du béton. En transformant l’aire de l’armature en une aire équivalente de béton, on prend en compte cette différence de comportement dans le calcul de la résistance et de la flexion de la section. - Effet sur la distribution des contraintes :
La section transformée permet de déterminer la position de l’axe neutre et de calculer les moments d’inertie. Un coefficient plus élevé accroît la contribution effective de l’armature dans la résistance à la flexion, modifiant ainsi la répartition des contraintes dans la section. - Dimensionnement :
Dans la conception, le fait d’utiliser un coefficient d’équivalence important permet de mieux exploiter la résistance de l’acier. Cela peut conduire à des sections en béton plus économes, tout en assurant une sécurité adéquate. Toutefois, il est essentiel de vérifier que la prise en compte de l’armature dans la section transformée ne néglige pas d’autres phénomènes (comme la fissuration ou l’ancrage).
Calcul du coefficient d’équivalence
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