Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment
Comprendre le Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment
Dans le cadre de la construction d’un nouveau bâtiment commercial, une évaluation géotechnique est nécessaire pour déterminer si le sol sur le site peut supporter le poids de la structure proposée. Le bâtiment aura une fondation rectangulaire répartie uniformément.
Pour comprendre le calcul des Pressions de Terre au Repos et en Mouvement, cliquez sur le lien.
Données:
- Dimensions de la fondation : 20 m x 30 m
- Poids total du bâtiment (G) : 9500 kN
- Profondeur de la fondation (D) : 2 m
- Caractéristiques du sol :
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Angle de frottement interne (ϕ) : 30°
- Cohésion (c) : 25 kN/m²
Questions:
1. Calculez la pression appliquée par le bâtiment au sol (\(q\)).
2. Déterminez la pression due au poids du sol (\(q_s\)).
3. Trouvez la pression totale au niveau de la base de la fondation (\(q_t\)).
4. Calculez la capacité portante ultime (\(q_u\)) du sol.
Le sol est-il capable de supporter le bâtiment proposé ? Justifiez votre réponse avec des calculs détaillés.
Correction : Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment
Données de l’exercice
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Dimensions de la fondation : 20 m × 30 m
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Poids total du bâtiment (G) : 9500 kN
-
Profondeur de la fondation (D) : 2 m
-
Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
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Angle de frottement interne (ϕ) : 30°
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Cohésion (c) : 25 kN/m²
Pour le calcul de la capacité portante ultime, nous utiliserons la formule générale de Terzaghi pour une fondation superficielle :
\[ q_u = c N_c + q N_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma \]
avec :
- \( q \) : pression de surcharge au niveau de la fondation (due au poids du sol sur la profondeur D)
- \( B \) : largeur de la fondation considérée (la dimension la plus courte, ici 20 m)
- \( N_c \), \( N_q \), \( N_\gamma \) : facteurs de capacité portante dépendant de \(\varphi\)
Pour \(\varphi = 30^\circ\), les valeurs usuelles approximatives sont :
- \( N_q \approx 18,4 \)
- \( N_c \approx (N_q – 1)\cot(30^\circ) \approx (18,4 – 1) \times 1,732 \approx 30,1 \)
- \( N_\gamma \approx 2 \, (N_q+1) \, \tan(30^\circ) \approx 2 \times 19,4 \times 0,577 \approx 22,4 \)
1. Calcul de la pression appliquée par le bâtiment au sol (q)
La pression \( q \) due au bâtiment est obtenue en divisant le poids total du bâtiment par la surface de la fondation.
Formule :
\[ q = \frac{G}{A} \quad \text{où} \quad A = L \times l \]
Substitution des données :
- \( G = 9500 \, \text{kN} \)
- \( A = 20 \, \text{m} \times 30 \, \text{m} = 600 \, \text{m}^2 \)
Calcul :
\[ q = \frac{9500 \, \text{kN}}{600 \, \text{m}^2} \] \[ q = 15,8333 \, \text{kN/m}^2 \]
2. Calcul de la pression due au poids du sol \((q_s)\)
La pression due au poids du sol à la profondeur de la fondation s’obtient en multipliant le poids volumique du sol par la profondeur de la fondation.
Formule :
\[ q_s = \gamma \times D \]
Substitution des données :
- \( \gamma = 18 \, \text{kN/m}^3 \)
- \( D = 2 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ q_s = 18 \, \text{kN/m}^3 \times 2 \, \text{m} \] \[ q_s = 36 \, \text{kN/m}^2 \]
3. Calcul de la pression totale au niveau de la base de la fondation \((q_t)\)
La pression totale \( q_t \) au niveau de la base est la somme de la pression due au bâtiment \( q \) et de la pression due au poids du sol \( q_s \).
Formule :
\[ q_t = q + q_s \]
Substitution des valeurs :
- \( q = 15,8333 \, \text{kN/m}^2 \)
- \( q_s = 36 \, \text{kN/m}^2 \)
Calcul :
\[ q_t = 15,8333 \, \text{kN/m}^2 + 36 \, \text{kN/m}^2 \] \[ q_t = 51,8333 \, \text{kN/m}^2 \]
4. Calcul de la capacité portante ultime \((q_u)\) du sol
La capacité portante ultime \( q_u \) est déterminée en tenant compte de trois contributions :
- La cohésion du sol multipliée par le facteur \( N_c \)
- La surcharge (la pression effective au niveau de la fondation) multipliée par le facteur \( N_q \)
- La contribution de la masse du sol au-dessus de la fondation, qui dépend de \( \gamma \), de la largeur de la fondation \( B \) et du facteur \( N_\gamma \)
Formule générale (Terzaghi) :
\[ q_u = c \, N_c + q_s \, N_q + \frac{1}{2} \, \gamma \, B \, N_\gamma \]
Remarque : Ici, \( q_s = \gamma D \) est utilisée comme surcharge.
Substitution des données et valeurs numériques :
- \( c = 25 \, \text{kN/m}^2 \)
- \( N_c \approx 30,1 \)
- \( q_s = 36 \, \text{kN/m}^2 \)
- \( N_q \approx 18,4 \)
- \( \gamma = 18 \, \text{kN/m}^3 \)
- \( B = 20 \, \text{m} \)
- \( N_\gamma \approx 22,4 \)
Calcul détaillé :
1. Contribution de la cohésion :
\[ c \, N_c = 25 \, \text{kN/m}^2 \times 30,1 \] \[ = 752,5 \, \text{kN/m}^2 \]
2. Contribution de la surcharge (poids du sol) :
\[ q_s \, N_q = 36 \, \text{kN/m}^2 \times 18,4 \] \[ = 662,4 \, \text{kN/m}^2 \]
3. Contribution du poids du sol sur la largeur de la fondation :
\[ \frac{1}{2} \, \gamma \, B \, N_\gamma = \frac{1}{2} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 20 \, \text{m} \times 22,4 \]
Détail du calcul :
- \( \frac{1}{2} \times 18 = 9 \)
- \( 9 \times 20 = 180 \)
- \( 180 \times 22,4 = 4032 \, \text{kN/m}^2 \)
4. Somme des contributions :
\[ q_u = 752,5 + 662,4 + 4032 \] \[ q_u = 5446,9 \, \text{kN/m}^2 \]
5. Vérification de la capacité portante du sol
Pour que le sol supporte le bâtiment, la pression totale appliquée au niveau de la fondation \( q_t \) doit être inférieure à la capacité portante ultime \( q_u \).
Comparaison :
- Pression totale appliquée : \( q_t \approx 51,83 \, \text{kN/m}^2 \)
- Capacité portante ultime : \( q_u \approx 5446,9 \, \text{kN/m}^2 \)
Conclusion :
Puisque
\[ 51,83 \, \text{kN/m}^2 \ll 5446,9 \, \text{kN/m}^2, \]
le sol est largement capable de supporter le bâtiment proposé.
Calcul des Pressions au Sol pour un Bâtiment
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