CALCUL DES EFFORTS EN BÉTON PRÉCONTRAINT
Comprendre le calcul des efforts en béton précontraint
Dans le cadre de la conception des structures, le calcul des efforts internes joue un rôle crucial pour assurer la sécurité et la performance des bâtiments. Le béton précontraint est souvent choisi pour sa capacité à supporter de grandes charges. Dans cet exercice, vous effectuerez le calcul des efforts pour une poutre en béton précontraint destinée à un bâtiment résidentiel, conformément aux normes de l’Eurocode.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre (L) : 8 m
- Charge permanente (G) : 15 kN/m
- Charge variable (Q) : 20 kN/m
- Charge concentrée (P) : 50 kN à mi-portée (L/2)
- Résistance caractéristique du béton (f_ck) : 35 MPa
- Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (f_pk) : 1570 MPa
- Coefficient partiel pour les charges permanentes (γ_G) : 1,35
- Coefficient partiel pour les charges variables (γ_Q) : 1,5
Questions:
1. Calcul des Charges Caractéristiques:
- Calculez la charge caractéristique permanente \(G_k\) de la poutre.
- Déterminez la charge caractéristique variable \(Q_k\).
- Quelle est la valeur de la charge concentrée \(P_k\)?
2. Calcul des Charges d’Exploitation
- Déterminez la charge d’exploitation permanente \(G_d\).
- Calculez la charge d’exploitation variable \(Q_d\). Notez que pour les charges variables, un facteur de réduction de 0,6 est appliqué.
3. Calcul des Charges Totales
- Calculez la charge totale résultante sur la poutre en considérant \(G_k\), \(G_d\), et \(Q_d\).
4. Calcul des Moments Fléchissants
- Déterminez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{concentrée}}\) dû à la charge concentrée \(P_k\).
- Calculez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{variable}}\) dû aux charges variables totales.
5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte
- Calculez la force totale \(P_s\) agissant sur l’acier de précontrainte. Considérez toutes les charges appliquées sur la poutre.
Correction : calcul des efforts en béton précontraint
Hypothèses de travail :
– La poutre est simplement appuyée sur ses deux extrémités.
– Les charges permanentes et variables font l’objet de coefficients partiels en fonction des règles de l’Eurocode.
– Pour le calcul des moments fléchissants, nous considérerons séparément l’effet de la charge concentrée et de la charge uniformément répartie (issue des charges permanentes et variables d’exploitation).
– Pour déterminer la force de précontrainte, nous utiliserons la relation classique
\[ M_{\text{total}} = P_s \cdot z \]
où \(z\) est le bras de levier effectif. En l’absence d’information sur la géométrie, nous supposerons \(z = 0{,}8\;\text{m}\) (valeur typique).
1. Calcul des Charges Caractéristiques
Les données caractéristiques sont données directement :
1. Charge permanente caractéristique
\[ G_k = 15\;\text{kN/m} \]
2. Charge variable caractéristique
\[ Q_k = 20\;\text{kN/m} \]
3. Charge concentrée caractéristique
\[ P_k = 50\;\text{kN} \quad \text{(appliquée en }L/2\text{)} \]
2. Calcul des Charges d’Exploitation
On applique les coefficients partiels fournis pour obtenir les charges d’exploitation (design) :
1. Pour la charge permanente :
\[ G_d = \gamma_G \times G_k \] \[ G_d = 1{,}35 \times 15 \] \[ G_d = 20{,}25\;\text{kN/m} \]
2. Pour la charge variable :
On applique d’abord le coefficient partiel puis le facteur de réduction de 0,6 :
\[ Q_d = 0{,}6 \times \gamma_Q \times Q_k \] \[ Q_d = 0{,}6 \times 1{,}5 \times 20 \] \[ Q_d = 18\;\text{kN/m} \]
3. Calcul des Charges Totales
Pour la conception, les charges d’exploitation retenues sur la poutre sont :
-
Charge répartie (uniforme) totale
La poutre est soumise à une charge répartie constituée de la somme de la charge permanente d’exploitation et de la charge variable d’exploitation :
\[ w_{\text{total}} = G_d + Q_d \] \[ w_{\text{total}} = 20{,}25 + 18 \] \[ w_{\text{total}} = 38{,}25\;\text{kN/m} \]
Sur une longueur \(L = 8\;\text{m}\), la force totale répartie (résultante) est :
\[ F_{\text{répartie}} = w_{\text{total}} \times L \] \[ F_{\text{répartie}} = 38{,}25 \times 8 \] \[ F_{\text{répartie}} = 306\;\text{kN} \]
- Charge concentrée
La charge ponctuelle reste :
\[ P_k = 50\;\text{kN} \]
4. Calcul des Moments Fléchissants
Les moments maximaux se calculent séparément pour la charge concentrée et la charge répartie.
4.1 Moment dû à la charge concentrée
Pour une poutre simplement appuyée, le moment maximal causé par une charge ponctuelle placée en milieu de portée est donné par :
\[ M_{\text{conc, max}} = \frac{P_k \times L}{4} \]
En substituant :
\[ M_{\text{conc, max}} = \frac{50 \times 8}{4} \] \[ M_{\text{conc, max}} = 100\;\text{kN}\cdot\text{m} \]
4.2 Moment dû à la charge répartie
Le moment maximal pour une charge uniformément répartie est :
\[ M_{\text{réparti, max}} = \frac{w_{\text{total}} \times L^2}{8} \]
Ici, avec \(w_{\text{total}} = 38{,}25\;\text{kN/m}\) et \(L = 8\;\text{m}\) :
\[ M_{\text{réparti, max}} = \frac{38{,}25 \times 8^2}{8} \] \[ M_{\text{réparti, max}} = \frac{38{,}25 \times 64}{8} \] \[ M_{\text{réparti, max}} = 38{,}25 \times 8 \] \[ M_{\text{réparti, max}} = 306\;\text{kN}\cdot\text{m} \]
4.3 Moment fléchissant total
En combinant l’effet de la charge répartie et de la charge concentrée (en supposant qu’elles agissent simultanément au même point critique), le moment total est :
\[ M_{\text{total}} = M_{\text{réparti, max}} + M_{\text{conc, max}} \] \[ M_{\text{total}} = 306 + 100 \] \[ M_{\text{total}} = 406\;\text{kN}\cdot\text{m} \]
5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte
La fonction de l’acier de précontrainte est de compenser le moment fléchissant en créant un moment de contre-fléchissement. On a :
\[ M_{\text{total}} = P_s \cdot z \]
où :
- \(P_s\) est la force de précontrainte totale recherchée,
- \(z\) est le bras de levier effectif (que nous avons supposé égal à \(0{,}8\;\text{m}\)).
On peut donc isoler \(P_s\) :
\[ P_s = \frac{M_{\text{total}}}{z} \] \[ P_s = \frac{406}{0{,}8} \approx 507{,}5\;\text{kN} \]
Arrondi, on peut écrire :
\[ P_s \approx 508\;\text{kN} \]
Conclusion :
Pour cette poutre en béton précontraint, la combinaison des charges d’exploitation donne une résultante répartie de \(38{,}25\;\text{kN/m}\) et une charge ponctuelle de \(50\;\text{kN}\). Les moments fléchissants maximum, respectivement de \(306\;\text{kN}\cdot\text{m}\) (réparti) et \(100\;\text{kN}\cdot\text{m}\) (concentrée), conduisent à un moment total de \(406\;\text{kN}\cdot\text{m}\). En admettant un bras de levier effectif de \(0{,}8\;\text{m}\), la force de précontrainte nécessaire dans l’acier est d’environ \(508\;\text{kN}\).
Remarque :
En pratique, le choix du bras de levier effectif \(z\) dépend de la géométrie exacte de la section et de la position des armatures, et il est obtenu lors de la conception détaillée de la poutre. Les calculs ci-dessus présentent une approche simplifiée pour illustrer le procédé de calcul des efforts en béton précontraint.
Calcul des efforts en béton précontraint
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