CALCUL DES EFFORTS EN BÉTON PRÉCONTRAINT
Comprendre le calcul des efforts en béton précontraint
Dans le cadre de la conception des structures, le calcul des efforts internes joue un rôle crucial pour assurer la sécurité et la performance des bâtiments. Le béton précontraint est souvent choisi pour sa capacité à supporter de grandes charges.
Dans cet exercice, vous effectuerez le calcul des efforts pour une poutre en béton précontraint destinée à un bâtiment résidentiel, conformément aux normes de l’Eurocode.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre (L) : 8 m
- Charge permanente (G) : 15 kN/m
- Charge variable (Q) : 20 kN/m
- Charge concentrée (P) : 50 kN à mi-portée (L/2)
- Résistance caractéristique du béton (f_ck) : 35 MPa
- Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (f_pk) : 1570 MPa
- Coefficient partiel pour les charges permanentes (γ_G) : 1,35
- Coefficient partiel pour les charges variables (γ_Q) : 1,5
Questions:
1. Calcul des Charges Caractéristiques:
- Calculez la charge caractéristique permanente \(G_k\) de la poutre.
- Déterminez la charge caractéristique variable \(Q_k\).
- Quelle est la valeur de la charge concentrée \(P_k\)?
2. Calcul des Charges d’Exploitation
- Déterminez la charge d’exploitation permanente \(G_d\).
- Calculez la charge d’exploitation variable \(Q_d\). Notez que pour les charges variables, un facteur de réduction de 0,6 est appliqué.
3. Calcul des Charges Totales
- Calculez la charge totale résultante sur la poutre en considérant \(G_k\), \(G_d\), et \(Q_d\).
4. Calcul des Moments Fléchissants
- Déterminez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{concentrée}}\) dû à la charge concentrée \(P_k\).
- Calculez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{variable}}\) dû aux charges variables totales.
5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte
- Calculez la force totale \(P_s\) agissant sur l’acier de précontrainte. Considérez toutes les charges appliquées sur la poutre.
Correction : calcul des efforts en béton précontraint
1. Calcul des Charges Caractéristiques
Les charges caractéristiques sont calculées en prenant en compte la charge permanente G, la charge variable Q, et la charge concentrée P.
Ces charges sont essentielles pour anticiper les sollicitations réelles de la structure.
Données:
- Longueur de la poutre L = 8 m
- Charge permanente G = 15 kN/m
- Charge variable Q = 20 kN/m
- Charge concentrée P = 50 kN à mi-portée
Calcul de \(G_k\):
\[ G_k = G \times L \] \[ G_k = 15 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} \] \[ G_k = 120 \, \text{kN} \]
Calcul de \(Q_k\):
\[ Q_k = Q \times L \] \[ Q_k = 20 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} \] \[ Q_k = 160 \, \text{kN} \]
Valeur de \(P_k\):
\[ P_k = 50 \, \text{kN} \]
2. Calcul des Charges d’Exploitation
Les charges d’exploitation sont calculées en utilisant les coefficients partiels pour les charges permanentes et variables.
Données:
- Coefficient partiel pour les charges permanentes \(\gamma_G = 1.35\)
- Coefficient partiel pour les charges variables \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul de \(G_d\):
\[ G_d = \gamma_G \times G_k \] \[ G_d = 1.35 \times 120 \, \text{kN} \] \[ G_d = 162 \, \text{kN} \]
Calcul de \(Q_d\):
\[ Q_d = 0.6 \times \gamma_Q \times Q_k \] \[ Q_d = 0.6 \times 1.5 \times 160 \, \text{kN} \] \[ Q_d = 144 \, \text{kN} \]
3. Calcul des Charges Totales
La charge totale sur la poutre est la somme des charges d’exploitation permanentes et variables.
\[ Q_{\text{total}} = G_d + Q_d \] \[ Q_{\text{total}} = 162 \, \text{kN} + 144 \, \text{kN} \] \[ Q_{\text{total}} = 306 \, \text{kN} \]
4. Calcul des Moments Fléchissants
Le moment fléchissant est un indicateur des sollicitations dues à la flexion de la poutre sous l’effet des charges.
Données:
- Longueur de la poutre L = 8 m
Moment dû à la charge concentrée:
\[ M_{\text{max}}^{\text{concentrée}} = \frac{P_k \times L}{4} \] \[ = \frac{50 \, \text{kN} \times 8 \, \text{m}}{4} \] \[ = 100 \, \text{kNm} \]
Moment dû aux charges variables:
\[ M_{\text{max}}^{\text{variable}} = \frac{Q_{\text{total}} \times L^2}{8} \] \[ = \frac{306 \, \text{kN} \times (8 \, \text{m})^2}{8} \] \[ = 2448 \, \text{kNm} \]
5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte
Il est crucial de s’assurer que l’acier de précontrainte peut supporter les charges appliquées sans dépasser ses limites élastiques.
Calcul de la force totale due aux charges de conception:
Considérons \( P_s \) comme la force totale due aux charges de conception, alors elle devrait être calculée comme suit:
\[ P_s = P_k + G_d + Q_d \]
où:
- \( G_d = \gamma_G \times G_k = 1.35 \times 120 \, \text{kN} = 162 \, \text{kN} \),
- \( Q_d = 0.6 \times \gamma_Q \times Q_k = 0.6 \times 1.5 \times 160 \, \text{kN} = 144 \, \text{kN} \).
Donc:
\[ P_s = 50 \, \text{kN} + 162 \, \text{kN} + 144 \, \text{kN} \] \[ P_s = 356 \, \text{kN} \]
Cette valeur de \( P_s = 356 \, \text{kN} \) représente une meilleure estimation de la force agissant sur l’acier de précontrainte, en considérant les charges de conception.
Calcul des efforts en béton précontraint
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