Calcul des armatures d’une poutre

Comprendre le calcul des armatures d’une poutre

Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir les armatures d’une poutre en béton armé pour un petit pont routier. Le pont doit supporter à la fois son propre poids (poids propre) et la charge des véhicules (charge d’exploitation).

Pour comprendre le Calcul de la Section d’Armature d’une poutre, cliquez sur le lien.

Données :

Dimensions de la poutre : Longueur = 10 m, Largeur = 0,3 m, Hauteur = 0,5 m.
Matériaux : Béton : Classe C30/37, Acier : FeE500.

Charges : Poids propre de la poutre : 25 kN/m, Charge d’exploitation : 45 kN/m (charge uniformément répartie).

Conditions de support : La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.

Questions :

1. Détermination des efforts internes :

Calculer le moment fléchissant maximal (Mmax) et l’effort tranchant maximal (Vmax) dans la poutre.

2. Calcul de l’armature longitudinale :

Utiliser les formules de l’Eurocode pour déterminer la section d’acier nécessaire à la résistance à la flexion (As,flexion).
Vérifier la contrainte dans le béton et l’acier.

3. Calcul de l’armature transversale (étriers) :

Calculer l’espacement des étriers pour résister à l’effort tranchant, en suivant les règles de l’Eurocode.

4. Vérifications supplémentaires :

Vérifier l’enrobage minimal des armatures.
S’assurer que les dispositions constructives (espacement minimal entre les barres, diamètre minimal des barres, etc.) sont respectées.

Correction : calcul des armatures d’une poutre

Données du problème

Poutre:

Longueur \( L = 10 \, \text{m} \)
Largeur \( b = 0,3 \, \text{m} \) (300 mm)
Hauteur totale \( h = 0,5 \, \text{m} \) (500 mm)

Matériaux:

– Béton de classe C30/37

\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)

– Acier FeE500

Valeur caractéristique : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
En Eurocode, on utilise la résistance de calcul :

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500}{1,15} \approx 435 \, \text{MPa} \]

Charges:

Poids propre : \( 25 \, \text{kN/m} \)
Charge d’exploitation : \( 45 \, \text{kN/m} \)
Charge uniformément répartie totale :

\[ w = 25 + 45 = 70 \, \text{kN/m} \]

Appuis:

Poutre simplement appuyée aux deux extrémités

1. Détermination des Efforts Internes

1.1 Moment Fléchissant Maximum

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie \( w \), le moment fléchissant maximum se situe en milieu de portée et est donné par :

\[ M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{8} \]

Données numériques :

\(w = 70 \, \text{kN/m}\)
\(L = 10 \, \text{m}\)

Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{70 \times 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{70 \times 100}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{7000}{8} \] \[ M_{\text{max}} \approx 875 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

Remarque : On peut aussi exprimer ce moment en N·mm :

\[ 875 \, \text{kN}\cdot\text{m} = 875 \times 10^6 \, \text{N·mm} \]

1.2 Effort Tranchant Maximum

Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée, l’effort tranchant maximal est :

\[ V_{\text{max}} = \frac{w L}{2} \]

Calcul :

\[ V_{\text{max}} = \frac{70 \times 10}{2} \] \[ V_{\text{max}} = \frac{700}{2} \] \[ V_{\text{max}} = 350 \, \text{kN} \]

2. Calcul de l’Armature Longitudinale pour la Flexion

2.1 Hypothèses et Choix de la Profondeur Efficace

Hauteur totale de la poutre : \( h = 500 \, \text{mm} \)
Enrobage et diamètre des barres ⇒ On choisit une profondeur efficace approximative :

\[ d \approx 450 \, \text{mm} \]
(Cette valeur tient compte de la hauteur totale moins la couverture et la moitié du diamètre de barre.)
\end{itemize}

2.2 Hypothèse sur le Levier

Dans un calcul simplifié, le levier \( z \) est souvent approché par :

\[ z \approx 0,9\, d \]

Ici :

\[ z = 0,9 \times 450 \] \[ z = 405 \, \text{mm} \]

2.3 Formule de Dimensionnement

Le moment résistant \( M_{Rd} \) fourni par l’armature est approximé par :

\[ M_{Rd} = A_{s} \, f_{yd} \, z \]

Pour que la section résiste au moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} \), il faut :

\[ A_{s} = \frac{M_{\text{max}}}{f_{yd} \, z} \]

Attention : La vérification des contraintes dans le béton (compression) et dans l’acier sera ensuite nécessaire.

2.4 Calcul Numérique

\( M_{\text{max}} = 875 \times 10^6 \, \text{N·mm} \)
\( f_{yd} \approx 435 \, \text{N/mm}^2 \)
\( z = 405 \, \text{mm} \)

Calcul :

\[ A_{s} = \frac{875 \times 10^6}{435 \times 405} \] \[ A_{s} \approx \frac{875\,000\,000}{176\,175} \] \[ A_{s}\approx 4960 \, \text{mm}^2 \]

Conclusion :

La section d’armature longitudinale nécessaire pour résister à la flexion est d’environ 4960 mm².

3. Calcul de l’Armature Transversale (Étriers) pour le Cisaillement

3.1 Vérification de la Résistance au Cisaillement du Béton

L’Eurocode donne une formule pour la résistance au cisaillement du béton, \( V_{Rd,c} \) :

\[ V_{Rd,c} = \left[C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100 \, \rho_l \, f_{ck})^{1/3}\right] \, b \, d \]

avec :

\( C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_c} \). En prenant \( \gamma_c = 1,5 \), on a \( C_{Rd,c} \approx 0,12 \).
\( k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \) (avec \( k \leq 2 \)). Pour \( d = 450 \, \text{mm} \) :

\[ \sqrt{\frac{200}{450}} \approx \sqrt{0,444} \approx 0,667 \] \[ \Rightarrow \quad k \approx 1 + 0,667 = 1,667 \]

\( \rho_l \) est le taux d’armature longitudinal (défini comme \( A_s/(b \, d) \)). Ici :

\[ \rho_l = \frac{4960}{300 \times 450} \] \[ \rho_l = \frac{4960}{135\,000} \] \[ \rho_l \approx 0,0367 \quad (\text{soit } 3,67\%) \]

Calcul de \( V_{Rd,c} \) :

Calculons le terme \( (100 \, \rho_l \, f_{ck}) \) :

\[ 100 \, \rho_l \, f_{ck} = 100 \times 0,0367 \times 30 \] \[ \approx 110,1 \]

Cube racine :

\[ (110,1)^{1/3} \approx 4,79 \]

Ensuite :

\[ V_{Rd,c} = 0,12 \times 1,667 \times 4,79 \times (300 \times 450) \]

Calcul intermédiaire :

\( 0,12 \times 1,667 \approx 0,20004 \)
\( 0,20004 \times 4,79 \approx 0,958 \)
\( b \times d = 300 \times 450 = 135\,000 \, \text{mm}^2 \)

Ainsi :

\[ V_{Rd,c} \approx 0,958 \times 135\,000 \] \[ V_{Rd,c} \approx 129\,330 \, \text{N} \quad (\approx 129 \, \text{kN}) \]

3.2 Détermination de l’Excédent de Cisaillement à Armaturer

L’effort tranchant maximal est \( V_{\text{max}} = 350 \, \text{kN} \).

L’armature transversale doit donc assurer la résistance complémentaire :

\[ V_{s,\text{req}} = V_{\text{max}} – V_{Rd,c} \] \[ V_{s,\text{req}} = 350 – 129 \] \[ V_{s,\text{req}} \approx 221 \, \text{kN} \]

3.3 Dimensionnement des Étriers

Pour les étriers, on utilise généralement une formule simplifiée basée sur la résistance de l’acier :

On choisit des étriers à deux branches (c’est-à-dire deux barres par étrier).
Si l’on choisit par exemple des barres de diamètre \( \phi = 10 \, \text{mm} \), l’aire d’une barre est :

\[ A_{sw,\text{barre}} \approx 78,5 \, \text{mm}^2 \]

Donc, pour deux branches :

\[ A_{sw} = 2 \times 78,5 = 157 \, \text{mm}^2 \]

La contribution d’un étrier réparti sur un espacement \( s \) est donnée par :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw} \, f_{yd} \, d}{s} \]

Pour assurer la résistance complémentaire, il faut que, sur la longueur de la poutre, la contribution totale soit au moins égale à \( V_{s,\text{req}} \). En pratique, on dimensionne l’espacement \( s \) pour que, localement, l’étrier assure une capacité de cisaillement :

\[ s \leq \frac{A_{sw} \, f_{yd} \, d}{V_{s,\text{req, local}}} \]

En adoptant une approche simplifiée, on peut dimensionner \( s \) par :

\[ s = \frac{A_{sw} \, f_{yd} \, d}{V_{s,\text{req}}} \]

Calcul numérique :

\( A_{sw} = 157 \, \text{mm}^2 \)
\( f_{yd} = 435 \, \text{N/mm}^2 \)
\( d = 450 \, \text{mm} \)
\( V_{s,\text{req}} = 221\,000 \, \text{N} \)

Calcul du numérateur :

\[ 157 \times 435 \times 450 \approx 157 \times (435 \times 450) \]

Calculons d’abord \( 435 \times 450 \) :

\[ 435 \times 450 = 195750 \, \text{N·mm}^2 \]

Puis :

\[ 157 \times 195750 \approx 30\,732\,750 \, \text{N·mm}^2 \]

Donc :

\[ s \approx \frac{30\,732\,750}{221\,000} \approx 139 \, \text{mm} \]

Conclusion :
Un espacement d’environ 140 mm (arrondi) entre les étriers est nécessaire pour résister à l’effort tranchant.
Il faut vérifier que cet espacement respecte également les prescriptions minimales et maximales (par exemple, l’espacement maximum est souvent \( 0,75\,d \), soit \( 0,75 \times 450 = 337,5 \, \text{mm} \)).

4. Vérifications Supplémentaires

4.1 Enrobage Minimal

Vérifier que l’épaisseur d’enrobage respecte les exigences de l’Eurocode (par exemple, pour des structures exposées, l’enrobage minimal peut être de l’ordre de 30 mm, voire plus dans certains cas).
Dans notre cas, avec une hauteur totale \( h = 500 \, \text{mm} \) et une profondeur efficace \( d = 450 \, \text{mm} \), on déduit que la couverture est suffisante pour protéger les barres, à condition que la disposition détaillée des armatures respecte la réglementation.

4.2 Dispositions Constructives

Espacement entre barres longitudinales :
L’espacement minimal doit être respecté (souvent 20 à 30 mm, selon le diamètre des barres et la nature du béton).
Diamètre minimal des barres :
Selon l’Eurocode, le diamètre des barres doit être choisi en fonction des sollicitations et de la finesse de la poutre. Le choix de barres de 16 mm ou 20 mm peut être envisagé en flexion selon les besoins ; ici, nous avons dimensionné une aire totale de 4960 mm² pour la flexion.

– Par exemple, si l’on choisit des barres de 20 mm de diamètre (aire d’environ 314 mm² chacune), le nombre de barres nécessaires serait :

\[ n = \frac{4960}{314} \approx 15,8 \] soit 16 barres réparties dans la travée.

– Le détail de la disposition (deux cornières, en éventail, etc.) se fera en fonction des pratiques de mise en œuvre et des contrôles de ductilité.

Disposition des étriers :
L’espacement de 140 mm calculé doit être comparé aux prescriptions minimales (souvent 100 mm) et ne doit pas dépasser \( 0,75\,d \). Ici, \( 0,75\,d = 337,5 \, \text{mm} \) ce qui est respecté.

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