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Question 1 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe

Dans la méthode des États Limites (Eurocode 2), on ne dimensionne jamais une structure avec la résistance réelle moyenne des matériaux. On utilise une valeur de calcul, dite "design" (indice \(d\)), qui est une valeur sécurisée. Cette valeur est obtenue en divisant la résistance caractéristique (indice \(k\)) par un coefficient partiel de sécurité (\(\gamma\)). Cela permet de couvrir les incertitudes liées à la fabrication du matériau et à sa mise en œuvre sur chantier.

Mini-Cours : Les Coefficients de Sécurité

Remarque Pédagogique

Normes

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), Article 2.4.2.4 "Valeurs partielles des propriétés des matériaux".

Formule(s)

Résistance de calcul du béton (compression)

Limite d'élasticité de calcul de l'acier (traction)

Hypothèses

Nous supposons ici une situation de projet courante :

• Situation durable ou transitoire (pas de séisme, pas de feu).
• Contrôle de qualité normal sur le chantier.

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul pour le Béton

On remplace \(f_{ck}\) par 25 MPa et \(\gamma_c\) par 1.5. Le coefficient \(\alpha_{cc}\) vaut 1.0.

Le béton "de calcul" est considéré comme résistant à 16.67 MPa en compression.

2. Calcul pour l'Acier

On remplace \(f_{yk}\) par 500 MPa et \(\gamma_s\) par 1.15 :

L'acier est considéré comme plastifiant (cédant) à partir de 435 MPa pour les calculs de sécurité.

Réflexions

Cette réduction de résistance est la première étape de la "méthode des états limites". Elle s'ajoute à la majoration des charges vue dans l'exercice précédent. On diminue la résistance ET on augmente la charge : on encadre le risque des deux côtés !

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Pourquoi la résistance du béton est-elle divisée par 1.5 ?

Parce que le béton est fabriqué in-situ (sur chantier), soumis aux intempéries, et sa résistance dépend du vibrage et de la cure. L'incertitude est donc plus grande que pour l'acier usiné.

Question 2 : Moment Réduit Ultime (\(\mu_{\text{u}}\))

Principe

Le moment réduit \(\mu_{\text{u}}\) est un indicateur **sans dimension** (il n'a pas d'unité) qui agit comme un "thermomètre" de la section de béton. Il mesure l'intensité de l'effort de compression que le béton doit supporter pour équilibrer le moment fléchissant. Si ce "thermomètre" monte trop haut, le béton "grille" (s'écrase) avant que l'acier ne travaille efficacement.

Mini-Cours : Les Domaines de Rupture (Pivots)

Remarque Pédagogique

Normes

Eurocode 2 - Section 6.1. La limite 0,372 correspond à la frontière entre le domaine élastique et plastique de l'acier (pour un acier B500B avec un palier horizontal).

Formule(s)

Moment réduit de référence

On divise le moment agissant par le "moment résistant" géométrique du béton :

Hypothèses

Pour ce calcul, nous admettons que :

• Le diagramme de contrainte du béton est rectangulaire simplifié (hauteur 0.8x, contrainte \(f_{cd}\)).
• Il n'y a pas d'effort normal significatif (flexion simple).

Donnée(s) Converties

Astuces

Calcul(s) Détaillés

On remplace les valeurs dans la formule. Notez bien le carré sur la hauteur utile \(d\) (0.45m).

Le résultat final est 0,178.

Réflexions

Nous trouvons \(\mu_{\text{u}} = 0,178\).
Analyse : \(0,178 < 0,186\) (limite Pivot A).
Cela signifie que la poutre est "peu" sollicitée en compression. Si on la charge jusqu'à la rupture, l'acier s'allongera énormément (plus de 10 pour mille) bien avant que le béton ne casse. C'est une conception très sûre et économique car on n'a pas besoin d'ajouter d'aciers comprimés.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Que faire si \(\mu_{\text{u}} > 0.372\) ?

Trois solutions : 1) Augmenter la hauteur de la poutre (le plus efficace car \(d^2\)). 2) Augmenter la largeur \(b\). 3) Utiliser un béton plus résistant (C30 ou C40). Sinon, il faut ajouter des armatures de compression (A').

Question 3 : Hauteur \(\alpha\) et Bras de Levier \(z\)

Principe

Puisque \(\mu_{\text{u}} < 0.372\) (limite pivot B), nous n'avons pas besoin d'aciers comprimés. La section travaille "normalement". Nous pouvons maintenant calculer la géométrie interne des forces :
1. \(\alpha\) (Alpha) : détermine la hauteur de la zone de béton qui est réellement comprimée (le haut de la poutre).
2. \(z\) (Bras de levier) : détermine la distance verticale efficace entre la poussée du béton et la traction de l'acier. C'est ce bras de levier qui crée le couple résistant.

Mini-Cours : Le Couple Interne

Remarque Pédagogique

Normes

Ces formules sont issues de l'intégration du diagramme rectangulaire simplifié des contraintes du béton (Eurocode 2 - Annexe).

Formule(s)

1. Hauteur relative de la zone comprimée

2. Bras de levier du couple interne

Hypothèses

Béton de classe \(\leq\) C50/60.

• Diagramme rectangulaire : \(\lambda = 0.8\).
• Facteur d'intensité : \(\eta = 1.0\).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de Alpha (\(\alpha\))

On remplace \(\mu_{\text{u}}\) par 0,178. C'est l'étape mathématique la plus complexe, faites-la en plusieurs fois si besoin.

On trouve \(\alpha \approx 0,247\). La zone comprimée représente environ un quart de la hauteur.

2. Calcul du Bras de Levier (\(z\))

On utilise \(\alpha\) et la hauteur utile \(d\).

On arrondit généralement au millimètre : \(z = 0,405 \text{ m}\).

Réflexions

On constate que \(z\) (40.5 cm) est bien inférieur à \(d\) (45 cm), mais reste proche (\(z \approx 0,9d\)). Le "bras de levier" est optimisé. C'est le signe d'une poutre bien proportionnée.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

D'où vient le 0.4 dans la formule de z ?

Cela correspond à la position du centre de gravité du diagramme rectangulaire de contraintes. La résultante de compression s'applique à mi-hauteur de la zone comprimée efficace (0.8x), soit à \(0.4x\) de la fibre supérieure.

Question 4 : Section d'Armatures Théorique (\(A_s\))

Principe

C'est l'étape finale et cruciale du dimensionnement mécanique. Nous savons quel moment la poutre doit supporter (\(M_{\text{Ed}}\)). Nous connaissons le bras de levier (\(z\)) dont elle dispose grâce à sa hauteur. Le principe est l'équilibre des moments : le moment extérieur appliqué doit être compensé par un moment intérieur résistant.
Ce moment résistant est créé par le couple de forces : (Compression du Béton) + (Traction de l'Acier).
Le moment est le produit de la force par le bras de levier : \(M = F \times z\).
La force de traction \(F\) doit être entièrement reprise par l'acier (le béton fissuré est négligé). Donc \(F = A_s \times f_{yd}\).
En combinant, on obtient l'équation fondamentale : \(M_{\text{Ed}} = A_s \times f_{yd} \times z\).

Mini-Cours : Section Théorique vs Réelle

Remarque Pédagogique

Normes

Eurocode 2 - Article 6.1 (Flexion simple avec ou sans effort normal).

Formule(s)

Section d'acier requise

Attention aux unités ! Pour obtenir des \(m^2\), il faut :
- \(M_{\text{Ed}}\) en \(\text{MNm}\) (Méganewton-mètre)
- \(z\) en \(\text{m}\) (mètre)
- \(f_{yd}\) en \(\text{MPa}\) (ou \(\text{MN/m}^2\))

Hypothèses

On se place dans le cas où l'acier travaille à son plein potentiel (Pivot A ou B, sans raccourcissement excessif du béton), ce qui est garanti car nous avons vérifié que \(\mu_{\text{u}} < 0.372\).

• Adhérence parfaite acier-béton (pas de glissement).
• Contrainte de l'acier = \(f_{yd}\) (palier plastique atteint).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s) Détaillés

On pose l'équation avec les valeurs en unités SI pour la cohérence :

Conversion cruciale : Pour passer des mètres carrés aux centimètres carrés, on déplace la virgule de 4 rangs (multiplication par \(100 \times 100 = 10\,000\)).

On arrondit généralement à deux décimales par sécurité : 8,52 cm².

Réflexions

Il faut donc placer 8,52 cm² d'acier en partie basse. C'est la section strictement nécessaire pour que la poutre tienne. Si on en met moins, elle casse. Si on en met un peu plus, on augmente la sécurité.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Peut-on mettre une seule très grosse barre ?

Théoriquement oui pour la section, mais non en pratique. On préfère plusieurs barres moyennes (16, 20, 25mm) pour mieux répartir les contraintes dans le béton, limiter la fissuration et réduire les longueurs de scellement (ancrage).

Question 5 : Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))

Principe

Le béton est un matériau fragile qui casse brutalement en traction. Imaginez une poutre sans aucun acier : elle casserait d'un coup sec dès la première fissure. Pour éviter cela, les normes imposent une section minimale d'armatures. Cette quantité minimale doit être capable de reprendre l'effort de traction que le béton supportait juste avant de fissurer. Ainsi, si le béton fissure, l'acier prend le relais immédiatement sans céder.

Mini-Cours : Le "Garde-Fou"

Remarque Pédagogique

Normes

Eurocode 2 - Article 9.2.1.1 : "Section minimale des armatures longitudinales".

Formule(s)

Section minimale à respecter

Où \(f_{ctm}\) est la résistance moyenne en traction du béton, et \(b_t\) la largeur moyenne de la zone tendue (ici \(b\)).

Hypothèses

Béton de classe courante (C25/30).

• La formule de la résistance en traction est empirique : \(f_{ctm} = 0.30 \times f_{ck}^{(2/3)}\).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la résistance en traction \(f_{ctm}\)

On estime la résistance moyenne à la traction à partir de la résistance à la compression :

2. Première borne (Condition mécanique)

On applique la première partie de la formule. Attention aux unités (mètres pour \(b\) et \(d\)) :

Conversion en cm² : \(0,0001497 \times 10000 = 1,50 \text{ cm}^2\).

3. Seconde borne (Condition géométrique)

On vérifie le minimum absolu (1.3 pour mille de la section utile) :

Conversion en cm² : \(0,0001462 \times 10000 = 1,46 \text{ cm}^2\).

4. Comparaison et Conclusion

La section minimale réglementaire est le maximum des deux valeurs :

On compare maintenant cette valeur minimale à notre calcul théorique de la Question 4 (\(A_{s,calcul} = 8,52 \text{ cm}^2\)).

La condition est vérifiée. Nous devons ferrailler avec la plus grande des deux valeurs, soit 8,52 cm².

Réflexions

Si le moment fléchissant avait été très faible (ex: 10 kNm), le calcul RDM aurait donné très peu d'acier (ex: 0.5 cm²). Dans ce cas, il aurait fallu ignorer le calcul RDM et mettre 1.50 cm² pour respecter la norme. Ici, la poutre est très chargée, donc le calcul mécanique "l'emporte".

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Et si j'utilise de l'acier fyk = 400 MPa ?

La valeur minimale augmenterait ! Comme on divise par \(f_{yk}\) dans la formule, utiliser un acier moins résistant oblige à en mettre plus pour garantir la même sécurité contre la rupture fragile.

Question 6 : Choix du Ferraillage Réel

Principe

Le calcul théorique nous donne une section d'acier exacte (ici \(8,52 \text{ cm}^2\)). Mais sur le chantier, on ne peut pas commander de l'acier au gramme près. Il faut choisir un nombre entier de barres standardisées (les diamètres commerciaux) dont la somme des aires est supérieure ou égale à la valeur nécessaire, tout en respectant les règles d'espacement pour que le béton puisse passer entre elles.

Mini-Cours : Le Tableau des Aciers

Remarque Pédagogique

Normes

Eurocode 2 - Article 8 (Dispositions constructives). Espacement horizontal minimal \(s_{min} \ge \max(k_1 \cdot \phi, d_g + k_2, 20 \text{ mm})\). En général, on vise \(> 3 \text{ cm}\) entre barres.

Formule(s)

Section réelle

Espacement libre

Hypothèses

On cherche à disposer les aciers sur un seul lit (une seule couche horizontale) pour maximiser le bras de levier \(z\).

• Diamètre des cadres transversaux estimé à 8 mm.
• Enrobage \(c_{\text{nom}} = 30 \text{ mm}\).

Donnée(s) : Tableau des Sections (cm²)

Astuces

Calcul(s) Détaillés

1. Recherche de la combinaison

On doit couvrir \(A_s \ge 8,52 \text{ cm}^2\). Pour chaque diamètre commercial, on divise la section requise par la section d'une seule barre pour trouver le nombre nécessaire.

Option A : Diamètre 16 mm (HA16 - 2,01 cm²)

5 barres de 16mm donnent \(5 \times 2,01 = 10,05 \text{ cm}^2\). C'est suffisant mais 5 barres peuvent être difficiles à loger sur 25cm de large.

Option B : Diamètre 20 mm (HA20 - 3,14 cm²)

3 barres de 20mm donnent \(3 \times 3,14 = 9,42 \text{ cm}^2\). C'est idéal : quantité suffisante et disposition aérée.

Option C : Diamètre 25 mm (HA25 - 4,91 cm²)

2 barres de 25mm donnent \(2 \times 4,91 = 9,82 \text{ cm}^2\). C'est aussi une solution possible.

Nous retenons la solution 3 HA 20 (\(9,42 \text{ cm}^2\)) car elle offre une bonne répartition de l'acier dans la largeur.

2. Vérification de l'espacement

On calcule d'abord la largeur disponible entre les nus intérieurs des cadres. On part de la largeur totale \(b\) (250mm) et on enlève les enrobages (\(c_{nom}=30mm\)) et les cadres (\(\phi_t=8mm\)) des deux côtés.

Dans cet espace de 174 mm, on place nos 3 barres de 20 mm. L'espace restant (le vide) est :

Ce vide total de 114 mm est réparti équitablement entre les barres. Pour 3 barres, il y a \(3-1 = 2\) espaces. L'espacement unitaire \(s\) est :

Réflexions

L'espacement de 57 mm est largement supérieur à la taille standard des granulats (généralement 20 ou 25 mm). Le béton pourra s'infiltrer parfaitement entre les barres sans bloquer. La solution 3 HA 20 est donc validée techniquement et pratiquement.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Peut-on mélanger les diamètres ?

Oui, c'est très courant pour optimiser (ex: 2HA20 en angles + 1HA16 central). Il faut juste respecter la symétrie par rapport à l'axe vertical pour éviter la torsion.