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Calcul de la Vitesse de Percolation

Calcul de la Vitesse de Percolation

Comprendre la Vitesse de Percolation dans les Sols

L'écoulement de l'eau à travers les pores d'un sol est un phénomène fondamental en géotechnique, influençant la stabilité des pentes, la consolidation des argiles, le débit des puits, et les sous-pressions sur les ouvrages. La loi de Darcy décrit cet écoulement en régime laminaire, reliant la vitesse de décharge (ou vitesse de Darcy, \(v\)) au gradient hydraulique (\(i\)) et à la conductivité hydraulique (ou perméabilité, \(k\)) du sol. Cependant, la vitesse de Darcy est une vitesse fictive, calculée sur la section totale de l'échantillon (solides + vides). La vitesse réelle de l'eau dans les pores, appelée vitesse de percolation ou vitesse interstitielle (\(v_s\)), est plus élevée et dépend de la porosité du sol. Cet exercice se concentre sur le calcul de ces différentes vitesses et du débit d'eau.

Données de l'étude

Un essai de perméabilité à charge constante est réalisé en laboratoire sur un échantillon de sable.

Caractéristiques de l'échantillon et de l'essai :

  • Longueur de l'échantillon de sol (\(L\)) : \(0.50 \, \text{m}\)
  • Aire de la section transversale de l'échantillon (\(A\)) : \(0.01 \, \text{m}^2\)
  • Différence de charge hydraulique maintenue entre les extrémités de l'échantillon (\(\Delta h\)) : \(0.25 \, \text{m}\)
  • Conductivité hydraulique du sable (\(k\)) : \(5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\)
  • Porosité du sable (\(n\)) : \(0.35\)
Schéma : Perméamètre à Charge Constante
Sable (L, A, n, k) h1 h2 Δh L Q Perméamètre à Charge Constante Section A

Schéma d'un perméamètre à charge constante utilisé pour mesurer la conductivité hydraulique et étudier l'écoulement.

Questions à traiter

  1. Calculer le gradient hydraulique (\(i\)) à travers l'échantillon de sol.
  2. Calculer la vitesse de décharge (ou vitesse de Darcy, \(v\)) de l'eau à travers le sable.
  3. Calculer la vitesse de percolation (ou vitesse interstitielle/réelle, \(v_s\)) de l'eau dans les pores du sable.
  4. Calculer le débit d'eau (\(Q\)) qui traverse l'échantillon de sol.

Correction : Calcul de la Vitesse de Percolation

Question 1 : Calcul du Gradient Hydraulique (\(i\))

Principe :

Le gradient hydraulique (\(i\)) est la perte de charge hydraulique par unité de longueur d'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i = \frac{\Delta h}{L} \]
Données spécifiques :
  • Différence de charge hydraulique (\(\Delta h\)) : \(0.25 \, \text{m}\)
  • Longueur de l'échantillon (\(L\)) : \(0.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} i &= \frac{0.25 \, \text{m}}{0.50 \, \text{m}} \\ &= 0.5 \end{aligned} \]

Le gradient hydraulique est adimensionnel.

Résultat Question 1 : Le gradient hydraulique est \(i = 0.5\).

Question 2 : Calcul de la Vitesse de Décharge (\(v\))

Principe :

La vitesse de décharge (ou vitesse de Darcy) est donnée par la loi de Darcy.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = k \cdot i \]
Données spécifiques :
  • Conductivité hydraulique (\(k\)) : \(5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\)
  • Gradient hydraulique (\(i\)) : \(0.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= (5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}) \cdot 0.5 \\ &= 2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse de décharge est \(v = 2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\).

Question 3 : Calcul de la Vitesse de Percolation (\(v_s\))

Principe :

La vitesse de percolation (ou vitesse interstitielle/réelle) est la vitesse de Darcy divisée par la porosité du sol. Elle représente la vitesse moyenne réelle de l'eau à travers les pores.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_s = \frac{v}{n} \]
Données spécifiques :
  • Vitesse de décharge (\(v\)) : \(2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\)
  • Porosité (\(n\)) : \(0.35\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_s &= \frac{2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}}{0.35} \\ &\approx 7.1428 \times 10^{-4} \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse de percolation est \(v_s \approx 7.14 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La vitesse de percolation \(v_s\) est toujours :

Question 4 : Calcul du Débit d'Eau (\(Q\))

Principe :

Le débit d'eau (\(Q\)) à travers l'échantillon est le produit de la vitesse de Darcy et de l'aire de la section transversale totale de l'échantillon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = v \cdot A \]
Données spécifiques :
  • Vitesse de décharge (\(v\)) : \(2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\)
  • Aire de la section (\(A\)) : \(0.01 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= (2.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}) \cdot (0.01 \, \text{m}^2) \\ &= 2.5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion en litres par minute (1 m³ = 1000 L, 1 min = 60 s) :

\[ \begin{aligned} Q &= 2.5 \times 10^{-6} \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot \frac{1000 \, \text{L}}{1 \, \text{m}^3} \cdot \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} \\ &= 2.5 \times 10^{-3} \cdot 60 \, \text{L/min} \\ &= 0.15 \, \text{L/min} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le débit d'eau à travers l'échantillon est \(Q = 2.5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}\) (ou \(0.15 \, \text{L/min}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Darcy est valable pour un écoulement :

2. Si la porosité (\(n\)) d'un sol diminue, la vitesse de percolation (\(v_s\)) pour une même vitesse de Darcy (\(v\)) :

Glossaire

Loi de Darcy
Loi empirique qui décrit l'écoulement de l'eau à travers un milieu poreux saturé. Elle stipule que la vitesse de décharge est proportionnelle au gradient hydraulique (\(v = ki\)).
Vitesse de Décharge (Vitesse de Darcy, \(v\))
Vitesse fictive de l'eau calculée comme si l'écoulement se produisait à travers la section transversale totale du sol (solides + vides).
Vitesse de Percolation (Vitesse Interstitielle, \(v_s\))
Vitesse moyenne réelle de l'eau s'écoulant à travers les pores (vides) du sol. Elle est calculée par \(v_s = v/n\), où \(n\) est la porosité.
Gradient Hydraulique (\(i\))
Perte de charge hydraulique par unité de longueur d'écoulement (\(i = \Delta h / L\)). C'est la "force motrice" de l'écoulement.
Conductivité Hydraulique (Perméabilité, \(k\))
Mesure de la facilité avec laquelle l'eau peut s'écouler à travers un sol. Elle dépend des propriétés du fluide (viscosité, densité) et du milieu poreux (taille des pores, tortuosité).
Porosité (\(n\))
Rapport du volume des vides au volume total d'un échantillon de sol, exprimé en pourcentage ou en décimal.
Débit (\(Q\))
Volume d'eau s'écoulant à travers une section transversale par unité de temps (\(Q = vA\)).
Calcul de la Vitesse de Percolation - Exercice d'Application

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