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Calcul de la Variation d’Énergie

Exercice : Variation d'Énergie en Thermodynamique

Calcul de la Variation d’Énergie en Thermodynamique

Contexte : Le Premier Principe de la ThermodynamiqueAussi connu comme le principe de conservation de l'énergie, il stipule que la variation de l'énergie interne d'un système est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés avec l'extérieur..

Cet exercice porte sur l'application du premier principe de la thermodynamique à un système fermé contenant un gaz parfait. Nous étudierons une transformation isobare (à pression constante) et calculerons les différentes formes d'énergie mises en jeu : le travail des forces de pression, la quantité de chaleur échangée et la variation de l'énergie interne du gaz. La maîtrise de ces concepts est fondamentale pour comprendre le fonctionnement des moteurs thermiques, des réfrigérateurs et de nombreuses machines industrielles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de thermodynamique en étapes logiques, à manipuler les unités correctement et à appliquer les formules fondamentales pour quantifier les échanges d'énergie.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le premier principe de la thermodynamique : \( \Delta U = Q + W \).
  • Calculer le travail des forces de pression pour une transformation isobare.
  • Déterminer la quantité de chaleur échangée lors d'un chauffage à pression constante.
  • Calculer la variation de l'énergie interne d'un gaz parfait.

Données de l'étude

On considère un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement. Ce cylindre contient 2 moles d'un gaz parfait monoatomique. Initialement, le gaz est à une température de 293 K (20 °C) et occupe un volume de 0,04 m³. On chauffe le gaz lentement de manière à ce que la pression à l'intérieur du cylindre reste constante.

Schéma du système Piston-Cylindre
Gaz Parfait État Initial (1) État Final (2)
Paramètre Description Valeur Unité
\(n\) Quantité de matière 2 \(\text{mol}\)
\(T_1\) Température initiale 293 \(\text{K}\)
\(V_1\) Volume initial 0,04 \(\text{m}^3\)
\(C_v\) Capacité thermique molaire à volume constant (gaz monoatomique) \( \frac{3}{2}R \) \( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \)
\(R\) Constante des gaz parfaits 8,314 \( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \)

Questions à traiter

Le gaz subit une transformation isobare jusqu'à une température finale \( T_2 = 353 \text{ K} \) (80 °C).

  1. Calculer la pression \(P\) du gaz, qui reste constante durant la transformation.
  2. Calculer le volume final \(V_2\) du gaz.
  3. Calculer le travail \(W\) des forces de pression reçu par le gaz lors de cette expansion.
  4. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz.
  5. Calculer la quantité de chaleur \(Q\) reçue par le gaz.

Les bases de la Thermodynamique

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur quelques principes et lois fondamentaux.

1. Le Gaz Parfait
Un gaz parfait est un modèle théorique décrivant le comportement des gaz réels à basse pression. Son état est décrit par la loi des gaz parfaits : \[ PV = nRT \] Où \(P\) est la pression, \(V\) le volume, \(n\) la quantité de matière, \(R\) la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue (en Kelvin).

2. Le Premier Principe de la Thermodynamique
Il s'agit de la loi de conservation de l'énergie appliquée à la thermodynamique. Pour un système fermé, la variation de son énergie interne (\( \Delta U \)) est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec le milieu extérieur : \[ \Delta U = Q + W \] Convention de signe : ce qui est reçu par le système (chaleur ou travail) est compté positivement. Ce qui est fourni par le système est compté négativement.

Correction : Calcul de la Variation d’Énergie

Question 1 : Calculer la pression P du gaz

Principe (le concept physique)

Pour déterminer une caractéristique d'un système à l'équilibre (ici, la pression), on peut utiliser une équation d'état qui lie les différentes grandeurs macroscopiques du système. Pour un gaz parfait, cette équation est la loi des gaz parfaits.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi des gaz parfaits, \(PV=nRT\), est une synthèse de plusieurs lois empiriques (Boyle-Mariotte, Charles, Avogadro). Elle décrit la relation entre la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), la quantité de matière (\(n\)) et la température absolue (\(T\)) d'un gaz. Le terme \(R\) est la constante universelle des gaz parfaits, qui assure la cohérence des unités.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant toute application numérique, identifiez toujours les variables connues et celle que vous cherchez. Ensuite, assurez-vous que toutes vos données sont exprimées dans les unités du Système International (Pascals, m³, Kelvin, moles) pour être compatibles avec la valeur de \(R\) en J·mol⁻¹·K⁻¹.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme de construction, mais d'une convention scientifique. Nous utilisons la valeur de la constante des gaz parfaits (\(R\)) recommandée par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology), qui est l'organisme de référence.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des gaz parfaits réarrangée

\[ PV = nRT \Rightarrow P = \frac{nRT}{V} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le gaz est considéré comme un gaz parfait.
  • Le système est à l'équilibre thermodynamique dans son état initial.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)2\(\text{mol}\)
Constante des gaz parfaits\(R\)8,314\( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \)
Température initiale\(T_1\)293\(\text{K}\)
Volume initial\(V_1\)0,04\(\text{m}^3\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier l'ordre de grandeur, rappelez-vous que la pression atmosphérique standard est d'environ \(10^5\) Pa (ou 1 bar). Votre résultat doit être dans un voisinage raisonnable de cette valeur pour un tel système.

Schéma (Avant les calculs)
Système dans son état initial
Gaz Parfait (État 1) V₁, T₁, n
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule avec les données de l'état initial.

\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{2 \times 8,314 \times 293}{0,04} \\ &= 121800,44 \text{ Pa} \\ &\approx 1,22 \times 10^5 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point initial sur le diagramme (P, V)
V (m³)P (Pa)État 10,041,22.10⁵
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pression calculée est d'environ 1,22 bar. Comme la transformation est isobare, cette pression restera la même dans l'état final. C'est la pression que le milieu extérieur (piston + atmosphère) exerce sur le gaz.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est d'utiliser la température en degrés Celsius. La loi des gaz parfaits n'est valable qu'avec une température absolue en Kelvin (\(T_K = T_C + 273,15\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La loi des gaz parfaits est l'outil fondamental pour déterminer une des grandeurs d'état (\(P, V, T, n\)) d'un gaz lorsque les autres sont connues.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'équation d'état \(PV=nRT\) a été formulée pour la première fois par l'ingénieur et physicien français Émile Clapeyron en 1834. Elle combine les travaux antérieurs de Boyle, Mariotte, Charles et Gay-Lussac.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on les Kelvin ?

La température en Kelvin est une mesure absolue de l'agitation thermique. À 0 K (zéro absolu), il n'y a plus d'agitation. Les relations de proportionnalité des lois des gaz ne fonctionnent qu'avec ce point de référence zéro.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pression du gaz, qui reste constante tout au long de la transformation, est d'environ \(1,22 \times 10^5\) Pascals.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si le volume initial était de 0,05 m³ (avec n et T₁ inchangés), quelle serait la pression en Pa ?

Question 2 : Calculer le volume final V₂

Principe (le concept physique)

Pour une transformation à pression constante (isobare) d'une quantité de gaz fixe, la loi des gaz parfaits implique une relation de proportionnalité directe entre le volume et la température absolue. C'est la loi de Charles.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Si \(P\) et \(n\) sont constants, la loi \(PV=nRT\) peut s'écrire \(V = (\frac{nR}{P})T\). Comme le terme entre parenthèses est une constante, on obtient \(V/T = \text{constante}\). Ainsi, pour deux états 1 et 2 d'une même transformation isobare, on a \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette relation directe est très intuitive : si vous chauffez un gaz sans le contraindre (pression constante), ses molécules s'agitent plus, se repoussent et il prend plus de place. Le gaz se dilate.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme mais d'une loi physique fondamentale de la thermodynamique, dérivée de l'équation d'état des gaz parfaits.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation de Charles

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = V_1 \times \frac{T_2}{T_1} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le gaz suit le modèle du gaz parfait.
  • La transformation entre l'état 1 et l'état 2 est isobare (pression constante).
  • La quantité de matière \(n\) est constante (système fermé).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Volume initial\(V_1\)0,04\(\text{m}^3\)
Température initiale\(T_1\)293\(\text{K}\)
Température finale\(T_2\)353\(\text{K}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer, faites une vérification qualitative. Ici, la température augmente (\(T_2 > T_1\)), donc on s'attend logiquement à une expansion, c'est-à-dire \(V_2 > V_1\). Si votre calcul donne un volume plus petit, vous avez probablement inversé les températures.

Schéma (Avant les calculs)
Trajet de la transformation isobare
VP12
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la relation de proportionnalité.

\[ \begin{aligned} V_2 &= 0,04 \times \frac{353}{293} \\ &\approx 0,04819 \text{ m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des états initial et final
Position Initiale (V₁)Position Finale (V₂)ΔV > 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le volume a augmenté d'environ 20%. Ceci est cohérent avec l'augmentation de la température absolue (de 293 K à 353 K, soit aussi environ 20%). Le gaz s'est détendu.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Encore une fois, l'utilisation des températures en Kelvin est absolument cruciale. La relation de proportionnalité n'est pas valable en Celsius (passer de 20°C à 80°C n'est pas un quadruplement de la température !).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour une transformation isobare d'un gaz parfait, le volume est directement proportionnel à la température absolue (Loi de Charles).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

C'est grâce à cette loi que les frères Montgolfier ont réussi le premier vol en montgolfière en 1783. En chauffant l'air à l'intérieur du ballon, ils augmentaient son volume, ce qui diminuait sa masse volumique par rapport à l'air extérieur et créait la poussée d'Archimède nécessaire pour décoller.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette loi est-elle toujours valable pour les gaz réels ?

Elle est une très bonne approximation pour la plupart des gaz (comme l'air, l'azote...) dans des conditions proches de la température et de la pression ambiante. Elle devient moins précise à très haute pression ou très basse température.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume final du gaz est d'environ 0,0482 m³.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la température finale \(T_2\) (en K) nécessaire pour atteindre un volume final de 0.06 m³ ?

Question 3 : Calculer le travail W reçu par le gaz

Principe (le concept physique)

Le travail des forces de pression est l'énergie mécanique échangée entre le système (le gaz) et l'extérieur (le piston) due au changement de volume. Lorsque le gaz se détend, il pousse le piston et transfère de l'énergie à l'extérieur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le travail élémentaire reçu par un système est \(dW = -P_{\text{ext}} dV\). Pour une transformation quasi-statique (suffisamment lente), la pression du gaz \(P\) est égale à la pression extérieure \(P_{\text{ext}}\). Si de plus la pression est constante (isobare), on peut intégrer facilement : \(W = \int_{V_1}^{V_2} -P dV = -P \int_{V_1}^{V_2} dV = -P(V_2 - V_1)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au signe du travail de manière intuitive : le système gagne-t-il ou perd-il de l'énergie ? Ici, le gaz pousse, il "fait un effort", donc il perd de l'énergie. Le travail qu'il *reçoit* doit donc être négatif.

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons la convention de signe de l'IUPAC (Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée) : l'énergie (travail ou chaleur) qui entre dans le système est positive, celle qui en sort est négative.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Travail reçu pour une transformation isobare

\[ W = -P \Delta V = -P(V_2 - V_1) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La transformation est isobare (P = constante).
  • La transformation est quasi-statique (lente), donc \(P_{\text{interne}} = P_{\text{externe}}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression constante\(P\)\(1,22 \times 10^5\)\(\text{Pa}\)
Volume initial\(V_1\)0,04\(\text{m}^3\)
Volume final\(V_2\)0,0482\(\text{m}^3\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans un diagramme P-V, le travail est l'opposé de l'aire sous la courbe du processus. Pour une isobare, c'est simplement l'aire d'un rectangle de hauteur \(P\) et de largeur \(\Delta V\).

Schéma (Avant les calculs)
Aire représentant le travail sur le diagramme P-V
VPV₁V₂Aire = P ΔV
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en faisant attention aux signes.

\[ \begin{aligned} W &= -(1,22 \times 10^5) \times (0,0482 - 0,04) \\ &= -(1,22 \times 10^5) \times 0,0082 \\ &\approx -1000,4 \text{ J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flux d'énergie (Travail)
Système (Gaz)W < 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une énergie de 1 kJ a été transférée du gaz vers le milieu extérieur. Cette énergie a servi à déplacer le piston. C'est le principe de base de la conversion d'énergie thermique en énergie mécanique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est le signe du travail. Retenez :
• Expansion : \(\Delta V > 0 \Rightarrow W < 0\) (le système fournit du travail).
• Compression : \(\Delta V < 0 \Rightarrow W > 0\) (le système reçoit du travail).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le travail des forces de pression pour une transformation isobare est \(W = -P(V_2 - V_1)\). Il représente un échange d'énergie mécanique avec l'extérieur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "travail" en physique a été largement développé par des ingénieurs comme Sadi Carnot et James Watt qui cherchaient à optimiser le rendement des machines à vapeur au 19ème siècle. Leur but était d'obtenir le plus de travail mécanique possible à partir d'une quantité de chaleur donnée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le travail serait-il différent si la pression n'était pas constante ?

Si la pression varie, il faut calculer l'intégrale \(W = - \int_{V_1}^{V_2} P(V) dV\). La valeur dépendra de la façon dont P varie en fonction de V (le "chemin" de la transformation). C'est pour cela qu'on dit que le travail n'est pas une fonction d'état.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le travail reçu par le gaz est d'environ -1000 Joules (-1 kJ).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si le gaz était comprimé de 0.04 m³ à 0.03 m³ à la même pression, quel serait le travail reçu (en J) ?

Question 4 : Calculer la variation d'énergie interne ΔU

Principe (le concept physique)

L'énergie interne (\(U\)) d'un gaz parfait représente l'énergie d'agitation de ses molécules. Selon la première loi de Joule, cette énergie ne dépend que de la température. Une augmentation de température se traduit donc directement par une augmentation de l'énergie interne.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La capacité thermique molaire à volume constant, \(C_v\), est définie comme la quantité d'énergie qu'il faut fournir à une mole de gaz pour augmenter sa température de 1 Kelvin, sans que son volume change. Pour une variation finie, on a donc \(\Delta U = n C_v \Delta T\). Cette formule est remarquable car elle reste valable pour un gaz parfait quelle que soit la transformation (isobare, isotherme, etc.), car \(U\) ne dépend que de \(T\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le piège classique est de vouloir utiliser la capacité thermique à pression constante (\(C_p\)) parce que la transformation est isobare. C'est une erreur ! La variation d'énergie interne \(\Delta U\) est TOUJOURS calculée avec \(C_v\) pour un gaz parfait.

Normes (la référence réglementaire)

La valeur de \(C_v\) dépend de la nature du gaz. Pour un gaz parfait monoatomique (comme l'hélium ou l'argon), la théorie cinétique des gaz établit que \(C_v = \frac{3}{2}R\). Pour un gaz diatomique (comme \(N_2\) ou \(O_2\)), \(C_v = \frac{5}{2}R\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation d'énergie interne d'un gaz parfait

\[ \Delta U = n C_v \Delta T = n C_v (T_2 - T_1) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le gaz est parfait et monoatomique, donc \(C_v = \frac{3}{2}R\).
  • La capacité thermique \(C_v\) est considérée constante sur l'intervalle de température.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)2\(\text{mol}\)
Capacité thermique\(C_v\)\(1.5 \times 8.314\)\(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Variation de température\(\Delta T\)\(353 - 293 = 60\)\(\text{K}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Le signe de \(\Delta U\) est toujours le même que celui de \(\Delta T\). Si le gaz chauffe, \(\Delta U > 0\). S'il refroidit, \(\Delta U < 0\).

Schéma (Avant les calculs)
Agitation Moléculaire
État 1 (T₁)État 2 (T₂ > T₁)
Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise la valeur de \(C_v\) pour un gaz parfait monoatomique.

\[ \begin{aligned} \Delta U &= 2 \times \left(\frac{3}{2} \times 8,314\right) \times (353 - 293) \\ &= 2 \times (12,471) \times 60 \\ &= 1496,52 \text{ J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Variation de l'Énergie Interne
U₁U₂ΔU > 0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'énergie interne du gaz a augmenté de 1.5 kJ. Cette énergie stockée se manifeste par une plus grande vitesse et donc une plus grande énergie cinétique des molécules du gaz.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre \(C_v\) et \(C_p\). Pour le calcul de \(\Delta U\), c'est toujours \(C_v\) qu'il faut utiliser pour un gaz parfait, même si le volume change durant la transformation. C'est une propriété fondamentale de ce modèle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La variation d'énergie interne d'un gaz parfait est une fonction d'état qui ne dépend que des températures initiale et finale : \(\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

James Prescott Joule a démontré expérimentalement vers 1845 que lorsqu'un gaz parfait se détend dans le vide (détente de Joule-Gay-Lussac), sa température ne varie pas. Comme \(Q=0\) et \(W=0\), cela implique que \(\Delta U=0\). Puisque le volume a changé mais pas la température, il en a déduit que l'énergie interne ne dépendait que de T.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(C_v\) alors que le volume change ?

C'est parce que \(\Delta U\) est une "fonction d'état". Sa valeur ne dépend que des états initial et final, pas du chemin pris. On peut donc imaginer un chemin fictif plus simple pour la calculer : un refroidissement à volume constant jusqu'à \(T_1\) suivi d'un chauffage isochore jusqu'à \(T_2\). Le seul segment qui contribue à \(\Delta U\) est le chauffage isochore, d'où l'utilisation de \(C_v\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation d'énergie interne du gaz est d'environ +1497 Joules.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la variation \(\Delta U\) (en J) si le gaz était diatomique (\(C_v = \frac{5}{2}R\)) pour la même variation de température ?

Question 5 : Calculer la quantité de chaleur Q reçue

Principe (le concept physique)

Le premier principe de la thermodynamique est un principe de conservation. L'énergie ne peut être ni créée ni détruite. La variation de l'énergie stockée dans le système (\(\Delta U\)) est donc nécessairement égale à la somme des énergies qu'il a échangées avec l'extérieur (chaleur \(Q\) et travail \(W\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le premier principe s'écrit \(\Delta U = Q + W\). Il agit comme une balance comptable pour l'énergie. Connaissant deux des trois termes, on peut toujours en déduire le troisième. C'est une des lois les plus fondamentales de toute la physique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La chaleur apportée (\(Q\)) au système a servi à deux choses : une partie a été stockée pour augmenter la température du gaz (correspondant à \(\Delta U\)), et l'autre partie a été immédiatement utilisée par le gaz pour pousser le piston (correspondant à \(-W\), le travail fourni).

Normes (la référence réglementaire)

L'équation \(\Delta U = Q + W\) est la formulation du premier principe selon la convention IUPAC. Attention, certains ouvrages, notamment en ingénierie mécanique, utilisent la convention \( \Delta U = Q - W \) où \(W\) est le travail fourni par le système. Il faut toujours vérifier la convention utilisée !

Formule(s) (l'outil mathématique)

Premier Principe de la Thermodynamique

\[ \Delta U = Q + W \Rightarrow Q = \Delta U - W \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le système est fermé (pas d'échange de matière).
  • Les seuls échanges d'énergie sont le travail des forces de pression et la chaleur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Variation d'énergie interne\(\Delta U\)+1497\(\text{J}\)
Travail reçu\(W\)-1000\(\text{J}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une transformation isobare, on peut aussi calculer la chaleur directement avec la capacité thermique à pression constante \(C_p\). Pour un gaz parfait, la relation de Mayer donne \(C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R\). Le calcul donne :

Calcul direct de la chaleur

\[ \begin{aligned} Q &= n C_p \Delta T \\ &= 2 \times \left(\frac{5}{2} \times 8,314\right) \times (353 - 293) \\ &= 2 \times (20,785) \times 60 \\ &\approx 2494,2 \text{ J} \end{aligned} \]

Le résultat est cohérent avec celui obtenu par le premier principe, ce qui est un excellent moyen de vérifier ses calculs !

Schéma (Avant les calculs)
Bilan d'Énergie du Système
Système (Gaz)ΔU > 0Q > 0W < 0
Calcul(s) (l'application numérique)

On substitue les valeurs de \(\Delta U\) et \(W\) calculées précédemment.

\[ \begin{aligned} Q &= \Delta U - W \\ &= 1497 - (-1000) \\ &= 1497 + 1000 \\ &= 2497 \text{ J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan d'Énergie Final
Système (Gaz)ΔU ≈ +1.5 kJQ ≈ +2.5 kJW ≈ -1.0 kJ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour augmenter la température du gaz de 60 K et le faire se détendre, il a fallu fournir 2.5 kJ de chaleur. Environ 60% de cette chaleur (1.5 kJ) a été stockée sous forme d'énergie interne, et les 40% restants (1 kJ) ont été convertis en travail mécanique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe dans la formule \(Q = \Delta U - W\). Si \(W\) est négatif (cas d'une détente), le terme \(-W\) devient positif. Soyez méthodique avec les signes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le premier principe \(\Delta U = Q + W\) est une loi de conservation qui lie les trois grandeurs énergétiques fondamentales d'une transformation thermodynamique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Rudolf Clausius, un physicien allemand, est l'un des premiers à avoir formulé le premier principe de la thermodynamique de manière claire en 1850. Il est aussi célèbre pour avoir introduit le concept d'entropie et énoncé le second principe de la thermodynamique.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que \(C_p\) et pourquoi est-il plus grand que \(C_v\) ?

\(C_p\) est la capacité thermique à pression constante. Il faut plus de chaleur pour élever la température d'un gaz de 1K à pression constante qu'à volume constant, car à pression constante, une partie de la chaleur fournie doit être utilisée pour effectuer le travail d'expansion (\(W<0\)), en plus d'augmenter l'énergie interne. C'est pourquoi \(C_p > C_v\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La quantité de chaleur reçue par le gaz est d'environ +2497 Joules (+2,5 kJ).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si la variation d'énergie interne d'un système est de +500 J et qu'il reçoit un travail de +200 J (compression), quelle est la quantité de chaleur Q reçue par le système ?

Outil Interactif : Simulateur d'une Détente Isobare

Utilisez les curseurs pour faire varier la quantité de matière et la chaleur ajoutée au système. Observez comment la température finale, le travail et l'énergie interne varient. L'état initial est fixé à \(P=1,22 \times 10^5\) Pa et \(T_1 = 293\) K.

Paramètres d'Entrée
2.0 mol
2500 J
Résultats Clés
Température Finale (\(T_2\)) - K
Travail Reçu (\(W\)) - J
Variation Énergie Interne (\(\Delta U\)) - J

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon le premier principe de la thermodynamique, si un système reçoit 50 J de chaleur et fournit 20 J de travail, que vaut sa variation d'énergie interne ?

2. Lors d'une compression isotherme (température constante) d'un gaz parfait, que peut-on dire de la variation de son énergie interne \(\Delta U\) ?

3. Un gaz se détend en poussant un piston. Le travail W reçu par le gaz, est :

4. Qu'est-ce qu'une transformation isobare ?

5. Pour un gaz parfait, de quoi dépend exclusivement l'énergie interne ?

Glossaire

Énergie Interne (U)
Somme des énergies cinétiques et potentielles de toutes les particules (atomes, molécules) constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Travail (W)
Énergie transférée entre un système et son environnement par le biais d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, il s'agit souvent du travail des forces de pression.
Chaleur (Q)
Énergie transférée entre deux systèmes en raison d'une différence de température. C'est un transfert d'agitation thermique au niveau microscopique.
Gaz Parfait
Modèle idéal d'un gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissant pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il suit la loi PV = nRT.
Transformation Isobare
Un processus thermodynamique qui se déroule à pression constante.
Exercice : Thermodynamique du Gaz Parfait

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