Calcul de la torsion d’un poteau

Calcul de la torsion d’un poteau

Comprendre le Calcul de la torsion d’un poteau

Un ingénieur en génie civil doit concevoir un poteau de soutien pour un pont. Ce poteau doit être capable de résister à des moments de torsion générés par les forces du vent et les charges de trafic.

Données :

  • Matériau du poteau : Acier (Module de rigidité G = 80 GPa)
  • Forme du poteau : Cylindrique
  • Diamètre du poteau : 300 mm
  • Longueur du poteau : 6 m
  • Moment de torsion appliqué : 5000 Nm

Questions :

1. Calcul de la contrainte de cisaillement maximale

2. Calcul de l’angle de torsion 

3. Évaluation de la sécurité : En supposant une contrainte de cisaillement admissible de 120 MPa pour l’acier utilisé, évaluer si le poteau est sécuritaire sous la charge de torsion appliquée.

4. Discussion : Discuter de l’impact d’augmenter le diamètre du poteau sur la contrainte de cisaillement et l’angle de torsion.

Correction : Calcul de la torsion d’un poteau

Données de l’exercice:

  • Module de rigidité de l’acier: Le module de rigidité \(G\) de l’acier est de \(80\,GPa\) ou \(80 \times 10^9\,Pa\).
  • Diamètre du poteau: Le diamètre \(d\) du poteau est de \(300\,mm\) ou \(0.3\,m\).
  • Rayon du poteau: Le rayon \(r\) du poteau, qui est la moitié du diamètre, est donc de \( r = \frac{d}{2} = 0.15\,m\)
  • Longueur du poteau: La longueur \(L\) du poteau est de \(6\,m\).
  • Moment de torsion appliqué: Le moment de torsion \(T\) appliqué est de \(5000\,Nm\).

1. Calcul de la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\))

Pour un poteau cylindrique soumis à un moment de torsion, le moment polaire d’inertie \(J\) est crucial pour le calcul de la contrainte de cisaillement.

\(J\) est correctement calculé par

\[J = \pi \cdot r^4\]

Calcul de \(J\):

\[J = \pi \cdot (0.15)^4 = 0.00159\,m^4\]

Calcul de \(\tau_{\text{max}}\):

\[\tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot r}{J} \] \[\tau_{\text{max}} = \frac{5000 \cdot 0.15}{0.00159} \] \[\tau_{\text{max}} = 471570.201753764\,Pa\] \[\tau_{\text{max}} \approx 471.57\,MPa\]

2. Calcul de l’angle de torsion (\(\theta\))

L’angle de torsion, exprimé en radians, est calculé en utilisant la formule suivante:

\[\theta = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}\]

Calcul de \(\theta\):

\[\theta = \frac{5000 \cdot 6}{0.00159 \cdot 80 \times 10^9} \] \[\theta = 0.000235785100876882\,radians\] \[\theta \approx 0.0135\,degrés\]

3. Évaluation de la sécurité

La contrainte de cisaillement admissible pour l’acier est de 120 MPa. La contrainte de cisaillement maximale calculée étant de 471.57 MPa, elle dépasse largement la limite admissible.

Cela signifie que le poteau n’est pas sécuritaire sous la charge de torsion appliquée selon ces calculs corrigés.

4. Discussion sur l’impact d’augmenter le diamètre du poteau

L’augmentation du diamètre du poteau augmente le rayon, ce qui entraîne une augmentation du moment d’inertie polaire \(J\).

Cela a pour effet de réduire la contrainte de cisaillement maximale pour un moment de torsion donné, car la contrainte est inversement proportionnelle à \(J\).

Par conséquent, un poteau plus large serait plus capable de résister aux charges de torsion sans atteindre des contraintes inadmissibles. De même, l’augmentation de \(J\) réduirait également l’angle de torsion, rendant la structure plus rigide.

Calcul de la torsion d’un poteau

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