Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
Comprendre le Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
Vous êtes ingénieur(e) structure dans un bureau d’études et vous travaillez sur la conception d’un bâtiment résidentiel. Une des poutres principales de la structure, située au rez-de-chaussée et supportant les charges des étages supérieurs, nécessite une conception détaillée pour assurer la sécurité et la stabilité de l’ensemble du bâtiment. Cette poutre sera en béton armé et devra être conçue selon les normes de l’Eurocode 2.
Pour comprendre le Calcul des armatures d’une poutre, cliquez sur le lien.
Données de l’Exercice:
- Longueur de la poutre, \(L\): 8 mètres
- Largeur de la poutre, \(b\): 300 mm
- Hauteur de la poutre, \(h\): 600 mm
- Couverture en béton, \(c\): 25 mm
- Diamètre des barres d’armature longitudinales, \(\phi\): 20 mm
- Classe de résistance du béton: C25/30
- Classe d’acier d’armature: B500B
- Charge permanente (G), y compris le poids propre de la poutre: 30 kN/m
- Charge variable (Q): 20 kN/m
- Coefficients de sécurité partiels pour les charges: \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\)
Questions:
1. Calcul des Moments Fléchissants (\(M_{Ed}\)):
Déterminez le moment fléchissant de calcul en tenant compte des charges permanentes et variables appliquées à la poutre, en utilisant les coefficients de sécurité partiels.
2. Détermination de la Section d’Armature Nécessaire (\(A_{s,req}\)):
Calculez la section d’armature nécessaire pour résister au moment fléchissant de calcul, en utilisant les propriétés du matériau (béton et acier) selon l’Eurocode 2.
3. Vérification de la Section d’Armature Minimale et Maximale:
Vérifiez si la section d’armature calculée respecte les exigences minimales et maximales de l’Eurocode 2 pour assurer une distribution adéquate des contraintes et une bonne ductilité de la poutre.
Correction : Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
1. Calcul du Moment Fléchissant de Calcul \(M_{Ed}\)
Étape 1 : Calcul de la charge de calcul
La charge uniformément répartie de calcul est obtenue par :
\[ q = \gamma_G \cdot G + \gamma_Q \cdot Q \]
En substituant les valeurs :
\[ q = 1.35 \times 30 + 1.5 \times 20 \] \[ q = 40.5 + 30 \] \[ q = 70.5\,\text{kN/m} \]
Étape 2 : Calcul du moment maximal
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximum est donné par :
\[ M_{Ed} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
avec \(L = 8\,\text{m}\). On a donc :
\[ M_{Ed} = \frac{70.5\,\text{kN/m} \times (8\,\text{m})^2}{8} \] \[ M_{Ed} = \frac{70.5 \times 64}{8} \] \[ M_{Ed} = 70.5 \times 8 \] \[ M_{Ed} = 564\,\text{kNm} \]
En unités de N·mm (1 kNm = \(10^6\) N·mm) :
\[ M_{Ed} = 564 \times 10^6\,\text{N·mm} \]
2. Détermination de la Section d’Armature Nécessaire \(A_{s,req}\)
Étape 1 : Calcul de la profondeur utile \(d\)
La profondeur utile \(d\) est la distance entre la fibre comprimée et le centre de gravité des armatures tendues. On la calcule approximativement par :
\[ d = h – c – \frac{\phi}{2} \]
Avec :
- \(h = 600\,\text{mm}\)
- \(c = 25\,\text{mm}\)
- \(\frac{\phi}{2} = 10\,\text{mm}\)
On trouve :
\[ d = 600 – 25 – 10 \] \[ d = 565\,\text{mm} \]
Étape 2 : Établissement de l’équilibre des forces et moments
Pour une section rectangulaire en béton armé, l’équilibre (en prenant le stress block équivalent selon Eurocode 2) s’exprime par :
- Équilibre des forces :
La force de compression dans le béton est égale à la force de traction dans l’acier :
\[ A_s \cdot f_{yd} = 0.85\,f_{cd}\,b\,x \]
d’où
\[ x = \frac{A_s\,f_{yd}}{0.85\,f_{cd}\,b} \]
où \(x\) est la profondeur de la zone de compression.
- Moment résistant :
Le moment de résistance est donné par :
\[ M_{Ed} = A_s \cdot f_{yd} \cdot \left(d – \frac{x}{2}\right) \]
En remplaçant \(x\) :
\[ M_{Ed} = A_s \cdot f_{yd} \cdot \left(d – \frac{A_s\,f_{yd}}{2\cdot0.85\,f_{cd}\,b}\right) \]
Substitution des valeurs numériques:
Nous avons :
- \(M_{Ed} = 564 \times 10^6\,\text{N·mm}\)
- \(f_{yd} = 435\,\text{MPa} = 435\,\text{N/mm}^2\)
- \(d = 565\,\text{mm}\)
- \(b = 300\,\text{mm}\)
- \(f_{cd} = 16.67\,\text{MPa} = 16.67\,\text{N/mm}^2\)
L’équation devient :
\[ 564 \times 10^6 = A_s \times 435 \times \left(565 – \frac{435\,A_s}{2 \times 0.85 \times 16.67 \times 300}\right) \]
Calcul du dénominateur constant
Calculons :
\[ 2 \times 0.85 \times 16.67 \times 300 \approx 8501.7 \]
L’équation s’écrit alors :
\[ 564 \times 10^6 = 435\,A_s \left(565 – \frac{435\,A_s}{8501.7}\right) \]
Mise en forme de l’équation
Développons le membre de droite :
\[ 564 \times 10^6 = 435 \times 565\,A_s – \frac{435^2}{8501.7}\,A_s^2 \]
Calculons :
- \(435 \times 565 \approx 245775\)
- \(435^2 = 189225\)
Ainsi,
\[ \frac{189225}{8501.7} \approx 22.27 \]
L’équation quadratique s’écrit alors :
\[ 22.27\,A_s^2 – 245775\,A_s + 564 \times 10^6 = 0 \]
Résolution de l’équation quadratique
La solution générale est :
\[ A_s = \frac{245775 \pm \sqrt{245775^2 – 4 \times 22.27 \times 564 \times 10^6}}{2 \times 22.27} \]
Calcul du discriminant \(D\) :
\[ D = 245775^2 – 4 \times 22.27 \times 564 \times 10^6 \]
Une évaluation donne environ :
\[ D \approx 1.016 \times 10^{10} \]
et
\[ \sqrt{D} \approx 100793 \]
Deux solutions sont alors obtenues :
\[ A_s = \frac{245775 – 100793}{44.54} \quad \text{ou} \quad A_s = \frac{245775 + 100793}{44.54} \]
La solution retenue est la plus petite (pour obtenir une section sous–reinforcée et ductile) :
\[ A_s \approx \frac{144982}{44.54} \approx 3257\,\text{mm}^2 \]
3. Vérification des Conditions Minimale et Maximale
Section minimale
Selon l’Eurocode 2, le taux minimal d’armature en flexion est :
\[ \rho_{min} = \max\left(0.26\,\frac{f_{ctm}}{f_{yk}},\, 0.0013\right) \]
Pour un béton de classe C25/30, on peut prendre \(f_{ctm} \approx 2.6\,\text{MPa}\). Ainsi :
\[ 0.26\,\frac{2.6}{500} \approx 0.00135 \]
Donc, la section minimale est :
\[ A_{s,\text{min}} = \rho_{min} \times b \times d \] \[ A_{s,\text{min}} = 0.00135 \times 300 \times 565 \] \[ A_{s,\text{min}} \approx 229\,\text{mm}^2 \]
Section maximale
Pour assurer une ductilité suffisante, l’Eurocode 2 recommande de ne pas dépasser un taux d’armature d’environ 4 % :
\[ A_{s,\text{max}} = 0.04 \times b \times d \] \[ A_{s,\text{max}} = 0.04 \times 300 \times 565 \] \[ A_{s,\text{max}} \approx 6780\,\text{mm}^2 \]
Vérification
La section calculée est :
\[ A_{s,req} \approx 3257\,\text{mm}^2 \]
Elle vérifie bien :
\[ A_{s,\text{min}} \,(229\,\text{mm}^2) \leq A_{s,req} \,(3257\,\text{mm}^2) \leq A_{s,\text{max}} \,(6780\,\text{mm}^2) \]
Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
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