Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte
Comprendre le calcul de la section d’acier de précontrainte
Vous êtes chargé de concevoir une section de poutre en béton précontraint pour un pont piétonnier.
La poutre est précontrainte à l’aide de câbles post-tension. La poutre aura une portée simple avec une longueur de 20 mètres et une hauteur de 1.5 mètres.
On souhaite limiter la contrainte admissible en service pour le béton à \(\sigma_{cb}\)
Pour comprendre le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.
Voici les données initiales pour la conception :
- Charge permanente (G) : 25 kN/m (incluant le poids propre de la poutre)
- Charge d’exploitation (Q) : 10 kN/m
- Résistance caractéristique à la compression du béton (f’c) : 40 MPa
- Contrainte admissible en service pour le béton \(\sigma_{cb}\) : 12 MPa
- Contrainte admissible en service pour l’acier de précontrainte \((\sigma_{pb})\) : 0.7 fois la résistance caractéristique de l’acier
- Module d’élasticité du béton \((E_c)\) : 30 GPa
- Module d’élasticité de l’acier de précontrainte \((E_p)\) : 195 GPa
- Pertes immédiates de précontrainte dues à l’élasticité du béton \(\delta_{\text{pi}}\) : 5%
- Pertes différées de précontrainte \((\delta_{\text{pd}})\) : 20% (comprenant les pertes dues au fluage, au retrait du béton et au relâchement de l’acier)
- Coefficient de majoration des charges \((\gamma_f)\) : 1.35 pour G et 1.5 pour Q
Questions:
1. Calcul des Moments Fléchissants:
Déterminez les moments fléchissants maximaux en service pour la charge permanente et la charge d’exploitation (G et Q).
2. Force de Précontrainte Initiale:
Calculez la force de précontrainte initiale nécessaire \((P_i)\) pour compenser les moments fléchissants dus aux charges appliquées.
3. Quantité d’Acier de Précontrainte:
Déterminez la section d’acier de précontrainte requise \((A_p)\) sachant que la contrainte initiale dans l’acier de précontrainte ne doit pas dépasser 75% de sa résistance caractéristique.
Données complémentaires pour l’exercice :
- Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (\(f_{p,k}\)): 1860 MPa
- Coefficient partiel de sécurité pour l’acier de précontrainte (\(\gamma_{p}\)): 1.15
Correction : Calcul de la section d’acier de précontrainte
Calculs Préliminaires
- Résistance de calcul de l’acier de précontrainte :
\[ \sigma_{p,d} = 0.75 \times \frac{f_{p,k}}{\gamma_{p}} \] \[ \sigma_{p,d} \approx 1213 \text{ MPa} \]
1. Moment fléchissant dû à la charge permanente (G) et d’exploitation (Q):
Pour une poutre simplement appuyée:
\[ M_{G+Q} = \frac{w_{\text{tot}} \times L^2}{8} \]
où
- \(w_{\text{tot}} = G + Q\)
donc
\[ w_{\text{tot}} = 25 + 10 \] \[ w_{\text{tot}} = 35 \text{ kN/m} \]
\[ M_{G+Q} = \frac{35 \text{ kN/m} \times (20 \text{ m})^2}{8} \] \[ M_{G+Q} = 1750 \text{ kNm} \]
2. Force de Précontrainte Initiale} (\(P_i\):
La force de précontrainte doit équilibrer le moment fléchissant dû aux charges permanentes et variables.
Sachant que l’on souhaite limiter cette contrainte à \(\sigma_{cb}\):
\[ P_i = \frac{M_{G+Q}}{e} \]
où e est l’excentricité de la précontrainte, choisie pour l’exemple à \(\frac{h}{6}\) (avec h hauteur de la section de la poutre).
- Hauteur de la poutre h = 1.5 mètres:
\[ e = \frac{h}{6} = \frac{1.5}{6} = 0.25 \text{ m} \]
donc
\[ P_i = \frac{1750 \times 10^3 \text{ Nm}}{0.25 \text{ m}} = 7000 \text{ kN} \]
3. Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte
Pour trouver la section nécessaire de l’acier de précontrainte \(A_p\), on utilise la contrainte admissible en service:
\[ A_p = \frac{P_i}{\sigma_{p,d}} \] \[A_p = \frac{7000 \times 10^3 \text{ N}}{1213 \times 10^6 \text{ N/m}^2} \] \[A_p \approx 5.77 \times 10^{-3} \text{ m}^2\] \[ A_p \approx 5770 \text{ mm}^2 \]
Résumé
La quantité d’acier de précontrainte nécessaire pour la poutre de pont piétonnier donnée dans cet exercice est d’environ 5770 mm², basée sur les contraintes calculées.
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