Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Comprendre le calcul de la section d’acier de précontrainte

Vous êtes chargé de concevoir une section de poutre en béton précontraint pour un pont piétonnier. La poutre est précontrainte à l’aide de câbles post-tension. La poutre aura une portée simple avec une longueur de 20 mètres et une hauteur de 1.5 mètres. On souhaite limiter la contrainte admissible en service pour le béton à \(\sigma_{cb}\)

Pour comprendre le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.

Voici les données initiales pour la conception :

Charge permanente (G) : 25 kN/m (incluant le poids propre de la poutre)
Charge d’exploitation (Q) : 10 kN/m
Résistance caractéristique à la compression du béton (f’c) : 40 MPa
Contrainte admissible en service pour le béton \(\sigma_{cb}\) : 12 MPa
Contrainte admissible en service pour l’acier de précontrainte \((\sigma_{pb})\) : 0.7 fois la résistance caractéristique de l’acier
Module d’élasticité du béton \((E_c)\) : 30 GPa
Module d’élasticité de l’acier de précontrainte \((E_p)\) : 195 GPa
Pertes immédiates de précontrainte dues à l’élasticité du béton \(\delta_{\text{pi}}\) : 5%
Pertes différées de précontrainte \((\delta_{\text{pd}})\) : 20% (comprenant les pertes dues au fluage, au retrait du béton et au relâchement de l’acier)
Coefficient de majoration des charges \((\gamma_f)\) : 1.35 pour G et 1.5 pour Q

Questions:

1. Calcul des Moments Fléchissants:

Déterminez les moments fléchissants maximaux en service pour la charge permanente et la charge d’exploitation (G et Q).

2. Force de Précontrainte Initiale:

Calculez la force de précontrainte initiale nécessaire \((P_i)\) pour compenser les moments fléchissants dus aux charges appliquées.

3. Quantité d’Acier de Précontrainte:

Déterminez la section d’acier de précontrainte requise \((A_p)\) sachant que la contrainte initiale dans l’acier de précontrainte ne doit pas dépasser 75% de sa résistance caractéristique.

Données complémentaires pour l’exercice :

Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (\(f_{p,k}\)): 1860 MPa
Coefficient partiel de sécurité pour l’acier de précontrainte (\(\gamma_{p}\)): 1.15

Correction : Calcul de la section d’acier de précontrainte

1. Calcul des Moments Fléchissants en Service

Données :

Portée de la poutre, \( L = 20 \) m
Charge permanente, \( G = 25 \) kN/m
Charge d’exploitation, \( Q = 10 \) kN/m

Formule :

Pour une poutre simplement portée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal est donné par

\[ M = \frac{q \cdot L^2}{8} \]

Calculs :

Moment dû à la charge permanente \( G \) :

\[ M_G = \frac{25 \times (20)^2}{8} \] \[ M_G = \frac{25 \times 400}{8} \] \[ M_G = \frac{10\,000}{8} \] \[ M_G = 1250 \text{ kNm} \]

Moment dû à la charge d’exploitation \( Q \) :

\[ M_Q = \frac{10 \times (20)^2}{8} \] \[ M_Q = \frac{10 \times 400}{8} \] \[ M_Q = \frac{4000}{8} \] \[ M_Q = 500 \text{ kNm} \]

Moment total en service :

\[ M_{\text{total}} = M_G + M_Q \] \[ M_{\text{total}} = 1250 + 500 \] \[ M_{\text{total}} = 1750 \text{ kNm} \]

2. Calcul de la Force de Précontrainte Initiale

But :
Déterminer la force initiale de précontrainte \( P_i \) nécessaire pour compenser le moment fléchissant dû aux charges appliquées.

Données complémentaires et hypothèses :

Moment total à compenser : \( M_{\text{total}} = 1750 \) kNm
On suppose un bras effectif \( z \) représentant l’écart entre la ligne d’action de la précontrainte et le centre de gravité de la section.

Une estimation courante pour une poutre de hauteur \( h = 1.5 \) m est :

\[ z \approx 0.9 \times h \] \[ z = 0.9 \times 1.5 \] \[ z = 1.35 \text{ m} \]

Pertes de précontrainte :

Pertes immédiates dues à l’élasticité du béton : 5%
Pertes différées (fluage, retrait, relâchement) : 20%

La combinaison des pertes conduit à un facteur de retenue de l’ordre de :

\[ (1 – 0.05 – 0.20) \approx 0.75 \]

Ce facteur signifie que la force résiduelle après pertes sera \( P_i \times 0.75 \).

Formule et raisonnement :

Pour compenser le moment, la force résiduelle effective doit satisfaire :

\[ P_{i,\text{eff}} \times z = M_{\text{total}} \]

avec

\[ P_{i,\text{eff}} = P_i \times 0.75 \]

D’où :

\[ P_i = \frac{M_{\text{total}}}{z \times 0.75} \]

Calcul :

Substitution des valeurs :

\[ P_i = \frac{1750\ \text{kNm}}{1.35\ \text{m} \times 0.75} \] \[ P_i = \frac{1750}{1.0125} \] \[ P_i \approx 1727 \text{ kN} \]

Remarque : La force initiale de précontrainte calculée ici tient compte des pertes totales (immediate et différée).

3. Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte \( A_p \)

But :
Déterminer la section d’acier nécessaire afin que la contrainte initiale dans l’acier ne dépasse pas 75 % de sa résistance caractéristique.

Données complémentaires :

Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte, \( f_{p,k} = 1860 \) MPa
Limite de contrainte en précontrainte initiale : 75 % de \( f_{p,k} \)

\[ \sigma_{p,\text{max}} = 0.75 \times 1860 \] \[ \sigma_{p,\text{max}} = 1395 \text{ MPa} \]

La force initiale calculée est \( P_i \approx 1727 \) kN (à convertir en N pour la cohérence des unités : \( 1727 \text{ kN} = 1\,727\,000 \text{ N} \))