Calcul de la Poussée des Terres

Calcul de la Poussée des Terres

Comprendre le Calcul de la Poussée des Terres

Dans le cadre de la construction d’un nouveau complexe résidentiel, il est nécessaire de concevoir un mur de soutènement pour stabiliser un talus adjacent à l’espace de construction.

Le mur doit retenir un sol granulaire dont les caractéristiques et les conditions sont décrites ci-dessous.

L’exercice suivant vise à calculer la poussée des terres exercée sur le mur de soutènement et à déterminer les dimensions nécessaires pour la butée afin d’assurer la stabilité du mur.

Données:

  • Hauteur du mur de soutènement, H = 6 m
  • Angle de frottement interne du sol, \(\phi\) = 30°
  • Poids volumique du sol sec, \(\gamma_{\text{sec}}\) = 18 kN/m³
  • Coefficient de poussée au repos, K_0 (pour le calcul initial), supposé égal à 0.5
  • Angle d’inclinaison du mur avec la verticale, \(\theta\) = 0° (mur vertical)
  • Angle d’inclinaison du terrain derrière le mur, \(\beta\) = 0° (terrain horizontal)

Questions:

1. Calculer la poussée active \((P_a)\) exercée par le sol sur le mur de soutènement en utilisant la théorie de Rankine, sans surcharge.
2. Déterminer les dimensions minimales de la butée en considérant uniquement la résistance au glissement et au renversement, en supposant un coefficient de sécurité au glissement de 1.5 et un coefficient de sécurité au renversement de 2.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres

1. Calcul de la Poussée Active

Calcul du Coefficient de Poussée Active \(K_a\)

Avec un angle de frottement interne du sol \(\phi = 30^\circ\), le coefficient de poussée active de Rankine \(K_a\) peut être calculé comme suit:

\[ K_a = \tan^2 \left(45^\circ – \frac{\phi}{2}\right) \] \[ K_a = \tan^2 \left(45^\circ – \frac{30^\circ}{2}\right) \] \[ K_a = \tan^2(30^\circ) \]

Calculons \(K_a\):

\[ K_a = \tan^2 \left(45^\circ – \frac{30^\circ}{2}\right) \] \[ K_a = \tan^2(30^\circ) \] \[ K_a = (0.577)^2 \] (en utilisant la valeur de \(\tan(30^\circ) = 0.577\))

\[ K_a \approx 0.333 \]

Calcul de la Poussée Active \(P_a\)

Avec \(\gamma = 18 \text{ kN/m}^3\), H = 6 m, et \(K_a = 0.333\), la poussée active est:

\[ P_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_a \]

Calculons \(P_a\):

\[ P_a = \frac{1}{2} \times 18 \times 6^2 \times 0.333 \] \[ P_a = \frac{1}{2} \times 18 \times 36 \times 0.333 \] \[ P_a = 9 \times 36 \times 0.333 \]\[ P_a = 324 \times 0.333 \] \[ P_a \approx 107.892 \text{ kN} \]

Donc, la poussée active exercée par le sol sur le mur est d’environ 107.892 kN.

2. Dimensionnement de la Butée

Résistance au Glissement

Le coefficient de sécurité au glissement est de 1,5. Ainsi, la force de résistance au glissement nécessaire (\(F_r\)) doit être :

\[ F_r \geq 1.5 \times P_a \] \[ F_r \geq 1.5 \times 107.892 \] \[ F_r \geq 161.838 \text{ kN} \]

Pour calculer la masse minimale de la butée nécessaire pour garantir cette force de résistance, considérons que la force de frottement (\(F_f\)) est donnée par \(F_f = \mu W\), où \(\mu\) est le coefficient de frottement (basé sur l’angle de frottement entre le sol et la base du mur, \(\phi_b = 25^\circ\)), et W est le poids de la butée.

Le coefficient de frottement \(\mu = \tan(\phi_b) = \tan(25^\circ)\).

Ainsi, le poids de la butée (W) nécessaire est :

\[ W \geq \frac{F_r}{\mu} \] \[ W \geq \frac{161.838}{\tan(25^\circ)} \]

Calculons W :

\[ W \geq \frac{161.838}{0.466} \] \[ W \geq 347.303 \text{ kN} \]

En supposant que le poids volumique du matériau de la butée est de 23 kN/m³, le volume nécessaire de la butée (V) est :

\[ V = \frac{W}{\gamma_{\text{butée}}} \] \[ V = \frac{347.303}{23} \] \[ V \approx 15.1 \text{ m}^3 \]

Résistance au Renversement

Le coefficient de sécurité au renversement est de 2. Le moment de résistance au renversement (\(M_r\)) doit être au moins deux fois le moment de renversement causé par \(P_a\), qui est \(P_a \times \frac{H}{3}\) pour une distribution triangulaire de la poussée.

\[ M_r \geq 2 \times P_a \times \frac{H}{3} \] \[ M_r \geq 2 \times 107.892 \times \frac{6}{3} \] \[ M_r \geq 215.784 \times 2 \] \[ M_r \geq 431.568 \text{ kNm} \]

Pour garantir ce moment avec le poids de la butée calculé, on doit s’assurer que le bras de levier (distance entre le point d’application de W et le point de pivotement, que nous supposerons au bord du mur pour simplifier) est adéquat.

En supposant une distribution uniforme du poids de la butée, le centre de gravité sera au milieu de sa base. Ainsi, pour un moment de 431.568 kNm et un poids de 347.303 kN, le bras de levier minimum nécessaire est :

\[ \text{Bras de levier} = \frac{M_r}{W} \] \[ \text{Bras de levier} = \frac{431.568}{347.303} \] \[ \text{Bras de levier} \approx 1.24 \text{ m} \]

Cela signifie que pour garantir la stabilité au renversement, la butée doit être conçue de manière à ce que son centre de gravité se trouve au moins à 1.24 m derrière le point de pivotement présumé.

Calcul de la Poussée des Terres

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