Calcul de la Perméabilité (k)
Comprendre le calcul de la Perméabilité (k)
Dans le cadre d’un projet de construction d’un pont, une étude géotechnique est réalisée pour évaluer la perméabilité du sol dans la zone de construction. L’essai de perméabilité est effectué sur un échantillon de sol prélevé à une profondeur spécifique.
Pour comprendre le Calcul des Coefficients de Perméabilité, cliquez sur le lien.
Données
- Type d’essai de perméabilité: Essai de perméabilité à charge constante.
- Dimensions de l’échantillon de sol:
- Diamètre: 10 cm
- Hauteur: 15 cm
- Hauteur de la colonne d’eau: 20 cm (maintenue constante)
- Volume d’eau écoulé: 500 mL
- Durée de l’essai: 30 minutes
Questions:
1. Calcul de la surface transversale de l’échantillon (A)
2. Calcul de la perméabilité (k)
Correction : Calcul de la Perméabilité (k)
1. Calcul de la surface transversale de l’échantillon (A)
L’échantillon de sol est de forme cylindrique. La surface transversale correspond à l’aire de la section circulaire du cylindre.
Formule:
\[ A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 \]
où :
- \(D\) est le diamètre de l’échantillon.
Données:
- Diamètre : \(D = 10\, \text{cm}\)
Pour rester cohérent avec le Système International, convertissons en mètres : \(D = 10\, \text{cm} = 0,10\, \text{m}\). - Rayon : \(r = \frac{D}{2} = \frac{0,10\, \text{m}}{2} = 0,05\, \text{m}\).
Calcul:
\[ A = \pi \times (0,05\, \text{m})^2 = \pi \times 0,0025\, \text{m}^2 \]
En utilisant \(\pi \approx 3,1416\) :
\[ A \approx 3,1416 \times 0,0025\, \text{m}^2 \] \[ A \approx 0,00785\, \text{m}^2 \]
Résultat
La surface transversale de l’échantillon est :
\[ A \approx 7,85 \times 10^{-3}\, \text{m}^2 \]
2. Calcul de la perméabilité (k)
Pour un essai de perméabilité à charge constante, la loi de Darcy s’applique. Elle exprime le débit d’écoulement \(Q\) en fonction de la perméabilité \(k\), de l’aire \(A\), de la différence de charge hydraulique \(\Delta h\) et de la longueur \(L\) de l’échantillon.
Formule:
La loi de Darcy s’écrit :
\[ Q = k\, A\, \frac{\Delta h}{L} \]
On peut isoler \(k\) pour obtenir :
\[ k = \frac{Q\, L}{A\, \Delta h} \]
où :
- \(Q\) est le débit (volume écoulé par unité de temps).
Données:
- Volume d’eau écoulé : \(V = 500\, \text{mL}\)
- Conversion en mètres cubes : \(1\, \text{mL} = 10^{-6}\, \text{m}^3\) donc \(V = 500 \times 10^{-6}\, \text{m}^3 = 5 \times 10^{-4}\, \text{m}^3\).
- Durée de l’essai : \(t = 30\, \text{minutes} = 30 \times 60\, \text{s} = 1800\, \text{s}\).
- Débit (Q) :
\[ Q = \frac{V}{t} = \frac{5 \times 10^{-4}\, \text{m}^3}{1800\, \text{s}} \approx 2,78 \times 10^{-7}\, \text{m}^3/\text{s} \]
- Hauteur de l’échantillon : \(L = 15\, \text{cm} = 0,15\, \text{m}\).
- Hauteur de la colonne d’eau (différence de charge) : \(\Delta h = 20\, \text{cm} = 0,20\, \text{m}\).
- Surface transversale : \(A \approx 7,85 \times 10^{-3}\, \text{m}^2\) (calculé précédemment).
Calcul:
En utilisant la formule :
\[ k = \frac{Q\, L}{A\, \Delta h} \]
Substituons les valeurs :
\[ k = \frac{(2,78 \times 10^{-7}\, \text{m}^3/\text{s}) \times (0,15\, \text{m})}{(7,85 \times 10^{-3}\, \text{m}^2) \times (0,20\, \text{m})} \] \[ k = \frac{4,17 \times 10^{-8}\, \text{m}^4/\text{s}}{1,57 \times 10^{-3}\, \text{m}^3} \] \[ k \approx 2,66 \times 10^{-5}\, \text{m}/\text{s} \]
Résultat
La perméabilité du sol est :
\[ k \approx 2,66 \times 10^{-5}\, \text{m}/\text{s} \]
Calcul de la Perméabilité (k)
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