Calcul de la masse d’une construction urbaine

Données de l’exercice

Bâtiments et dimensions :
Bâtiment A : 20 m (longueur), 15 m (largeur), 10 m (hauteur)
Bâtiment B : 15 m (longueur), 15 m (largeur), 12 m (hauteur)
Bâtiment C : 25 m (longueur), 20 m (largeur), 8 m (hauteur)

Matériaux de construction et leurs densités :
Béton : 2400 kg/m³
Acier (structures de support) : 7850 kg/m³

Répartition des matériaux :
Murs et planchers : 100% béton (pour 95 % du volume, puisque 5 % est en acier)
Structures de support : 5 % du volume total de chaque bâtiment en acier

1. Calculer le volume de chaque bâtiment

Bâtiment A

Calcul :

Le volume est le produit de la longueur, de la largeur et de la hauteur.

Formule : \[ V = L \times l \times h \]

Données : \( L = 20 \, \text{m} \), \( l = 15 \, \text{m} \), \( h = 10 \, \text{m} \)

Calcul : \[ V_A = 20 \times 15 \times 10 \] \[ V_A = 3000 \, \text{m}^3 \]

Bâtiment B

Calcul :

Utilisation de la même formule pour la multiplication des dimensions.

Formule : \[ V = L \times l \times h \]

Données : \( L = 15 \, \text{m} \), \( l = 15 \, \text{m} \), \( h = 12 \, \text{m} \)

Calcul : \[ V_B = 15 \times 15 \times 12 \] \[ V_B = 2700 \, \text{m}^3 \]

Bâtiment C

Calcul :

Même principe de calcul en multipliant les dimensions.

Formule : \[ V = L \times l \times h \]

Données : \( L = 25 \, \text{m} \), \( l = 20 \, \text{m} \), \( h = 8 \, \text{m} \)

Calcul : \[ V_C = 25 \times 20 \times 8 \] \[ V_C = 4000 \, \text{m}^3 \]

2. Déterminer la masse totale de béton et d’acier pour chaque bâtiment

Principe général pour chaque bâtiment :

Pour chaque bâtiment, on a :
- Volume total (V_total) : Calculé précédemment.
- Volume d’acier (V_acier) : 5 % du volume total.
- Volume de béton (V_béton) : Le reste, soit 95 % du volume total.

Les formules sont :

- Volume d’acier : \[ V_{\text{acier}} = 0,05 \times V_{\text{total}} \]

- Volume de béton : \[ V_{\text{béton}} = V_{\text{total}} - V_{\text{acier}} \] \[ V_{\text{béton}} = 0,95 \times V_{\text{total}} \]

Conversion des volumes en masses à l’aide des densités :

- Masse du béton : \[ m_{\text{béton}} = V_{\text{béton}} \times \rho_{\text{béton}} \quad \text{avec} \quad \rho_{\text{béton}} = 2400 \, \text{kg/m}^3 \]

- Masse de l’acier : \[ m_{\text{acier}} = V_{\text{acier}} \times \rho_{\text{acier}} \quad \text{avec} \quad \rho_{\text{acier}} = 7850 \, \text{kg/m}^3 \]

Bâtiment A

1. Calcul du volume de béton et d’acier :

Données : \( V_A = 3000 \, \text{m}^3 \)

Volume d’acier : \[ V_{\text{acier},A} = 0,05 \times 3000 \] \[ V_{\text{acier},A} = 150 \, \text{m}^3 \]

Volume de béton : \[ V_{\text{béton},A} = 0,95 \times 3000 \] \[ V_{\text{béton},A} = 2850 \, \text{m}^3 \]

2. Conversion en masses :

Masse de béton : \[ m_{\text{béton},A} = 2850 \times 2400 \] \[ m_{\text{béton},A} = 6\,840\,000 \, \text{kg} \]

Masse d’acier : \[ m_{\text{acier},A} = 150 \times 7850 \] \[ m_{\text{acier},A} = 1\,177\,500 \, \text{kg} \]

3. Masse totale pour le bâtiment A : \[ m_{\text{total},A} = 6\,840\,000 + 1\,177\,500 = 8\,017\,500 \, \text{kg} \]

Bâtiment B

1. Calcul du volume de béton et d’acier :

Données : \( V_B = 2700 \, \text{m}^3 \)

Volume d’acier : \[ V_{\text{acier},B} = 0,05 \times 2700 \] \[ V_{\text{acier},B} = 135 \, \text{m}^3 \]

Volume de béton : \[ V_{\text{béton},B} = 0,95 \times 2700 \] \[ V_{\text{béton},B} = 2565 \, \text{m}^3 \]

2. Conversion en masses :

Masse de béton : \[ m_{\text{béton},B} = 2565 \times 2400 \] \[ m_{\text{béton},B} = 6\,156\,000 \, \text{kg} \]

Masse d’acier : \[ m_{\text{acier},B} = 135 \times 7850 \] \[ m_{\text{acier},B} = 1\,059\,750 \, \text{kg} \]

3. Masse totale pour le bâtiment B : \[ m_{\text{total},B} = 6\,156\,000 + 1\,059\,750 \] \[ m_{\text{total},B} = 7\,215\,750 \, \text{kg} \]

Bâtiment C

1. Calcul du volume de béton et d’acier :

Données : \( V_C = 4000 \, \text{m}^3 \)

Volume d’acier : \[ V_{\text{acier},C} = 0,05 \times 4000 \] \[ V_{\text{acier},C} = 200 \, \text{m}^3 \]

Volume de béton : \[ V_{\text{béton},C} = 0,95 \times 4000 \] \[ V_{\text{béton},C} = 3800 \, \text{m}^3 \]

2. Conversion en masses :

Masse de béton : \[ m_{\text{béton},C} = 3800 \times 2400 \] \[ m_{\text{béton},C} = 9\,120\,000 \, \text{kg} \]

Masse d’acier : \[ m_{\text{acier},C} = 200 \times 7850 \] \[ m_{\text{acier},C} = 1\,570\,000 \, \text{kg} \]

3. Masse totale pour le bâtiment C : \[ m_{\text{total},C} = 9\,120\,000 + 1\,570\,000 \] \[ m_{\text{total},C} = 10\,690\,000 \, \text{kg} \]

3. Calcul de la masse totale de la construction

Calcul :

La masse totale de la construction est obtenue en additionnant la masse totale (béton + acier) de chacun des bâtiments.

Formule : \[ m_{\text{total}} = m_{\text{total},A} + m_{\text{total},B} + m_{\text{total},C} \]

Données :
- \( m_{\text{total},A} = 8\,017\,500 \, \text{kg} \)
- \( m_{\text{total},B} = 7\,215\,750 \, \text{kg} \)
- \( m_{\text{total},C} = 10\,690\,000 \, \text{kg} \)

Calcul : \[ m_{\text{total}} = 8\,017\,500 + 7\,215\,750 + 10\,690\,000 \] \[ m_{\text{total}} = 26\,923\,250 \, \text{kg} \]

Résumé des résultats

Volume de chaque bâtiment :
Bâtiment A : 3000 m³
Bâtiment B : 2700 m³
Bâtiment C : 4000 m³

Masse totale par bâtiment :
Bâtiment A : 8 017 500 kg
Bâtiment B : 7 215 750 kg
Bâtiment C : 10 690 000 kg

Masse totale du complexe résidentiel :
\[ 26\,923\,250 \, \text{kg} \]