Calcul de la longueur de flambement critique
Comprendre le Calcul de la longueur de flambement critique
Dans la conception de structures métalliques, la longueur de flambement critique est une mesure clé qui aide à déterminer la résistance d’une colonne métallique soumise à des charges de compression.
Cette longueur est cruciale pour éviter le flambement de la colonne, qui peut entraîner l’effondrement de la structure.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériau de la colonne: Acier S275
- Section transversale: Carrée, avec une dimension de côté de 200 mm
- Longueur de la colonne: 5 mètres
- Charge axiale appliquée: \( P = 300 \, \text{kN} \)
Propriétés de l’acier S275
- Module d’élasticité (E): 210 GPa
- Contrainte de flambement critique (\(\sigma_{cr}\)): à calculer
Question:
Calculer la longueur de flambement critique (\( L_{cr} \)) pour une colonne en acier S275 avec une section carrée sous une charge axiale donnée, en utilisant la formule de l’Eurocode 3 pour les colonnes élancées.
Correction : Calcul de la longueur de flambement critique
1. Calcul du moment d’inertie \( I \)
Pour une section carrée, le moment d’inertie \( I \) autour de son axe central est donné par la formule:
\[ I = \frac{a^4}{12} \]
où \( a \) est le côté de la section. Ici, \( a = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m} \).
En substituant \( a \) dans la formule, nous obtenons:
\[ I = \frac{(0.2 \, \text{m})^4}{12} \] \[ I = \frac{0.0016 \, \text{m}^4}{12} \] \[ I = 0.0001333 \, \text{m}^4 \]
2. Calcul de la charge critique de flambement \( N_{cr} \)
La charge critique de flambement peut être calculée en utilisant l’expression:
\[ N_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(kL)^2} \]
où \( E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{Pa} \), \( k = 1 \) pour des conditions d’encastrement typiques des colonnes (articulées des deux côtés), et \( L \) est la longueur présumée de flambement que nous cherchons à confirmer.
En substituant les valeurs connues:
\[ N_{cr} = \frac{\pi^2 \times 210 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0.0001333 \, \text{m}^4}{(1 \times 5 \, \text{m})^2} \] \[ N_{cr} = \frac{98.175 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0.0001333 \, \text{m}^4}{25 \, \text{m}^2} \] \[ N_{cr} = \frac{13.097 \times 10^9 \, \text{N m}^2}{25 \, \text{m}^2} \] \[ N_{cr} = 523.880 \, \text{kN} \]
3. Calcul de la longueur de flambement critique \( L_{cr} \)
Avec \( N_{cr} \) maintenant connu, nous pouvons calculer \( L_{cr} \) pour vérifier si la longueur actuelle de la colonne est adéquate ou susceptible de flambement:
\[ L_{cr} = \pi \sqrt{\frac{EI}{N_{cr}}} \]
Substituant les valeurs:
\[ L_{cr} = \pi \sqrt{\frac{210 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0.0001333 \, \text{m}^4}{523.880 \, \text{kN}}} \]
Convertissant \( N_{cr} \) en Newtons pour cohérence des unités:
\[ L_{cr} = \pi \sqrt{\frac{27.993 \times 10^12 \, \text{N m}^2}{523.880 \times 10^3 \, \text{N}}} \] \[ L_{cr} = \pi \sqrt{53.45 \, \text{m}^2} \] \[ L_{cr} = \pi \times 7.31 \, \text{m} \] \[ L_{cr} = 22.97 \, \text{m} \]
Conclusion
La longueur de flambement critique \( L_{cr} \) calculée est de 22.97 mètres. Cela signifie que sous les conditions données, une colonne de 5 mètres est loin de la longueur à laquelle le flambement serait critique et est donc stable sous la charge axiale de 300 kN.
Cela confirme que la conception est sécuritaire et que la colonne ne flambera pas sous la charge donnée dans les conditions d’installation actuelles.
Calcul de la longueur de flambement critique
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