Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon
Comprendre le Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon
Vous êtes un ingénieur civil chargé de concevoir les murs pignons d’un nouvel ensemble résidentiel. Ces murs sont cruciaux pour soutenir les toits en pente des maisons et doivent être calculés avec précision pour assurer la stabilité structurelle et respecter les normes de construction locales.
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Données Fournies:
- Longueur de la base du toit (L): 12 mètres
- Pente du toit (P): 35°
- Hauteur du faîte depuis la base du mur (Hf): Est à calculer
- Épaisseur du mur (E): 0,30 mètres
- Hauteur standard du mur avant le début de la pente (Hb): 3 mètres
Questions:
1. Calcul de la hauteur du faîte (Hf).
2. Calcul de la longueur de l’hypoténuse du triangle formé par la pente du toit.
3. Calcul de la hauteur totale du mur pignon (Ht).
Correction : Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon
1. Calcul de la hauteur du faîte (Hf)
Pour déterminer la hauteur du faîte depuis la base du mur, on considère le triangle rectangle formé par la projection horizontale (du mur jusqu’au faîte) et la hauteur verticale (\(Hf\)) correspondant à l’élévation due à la pente du toit.
Hypothèse : La « Longueur de la base du toit » (\(L = 12\,\text{m}\)) représente la largeur totale du toit. Le triangle de pente se forme à partir du centre, donc la distance horizontale depuis le mur jusqu’au faîte est égale à la moitié de \(L\), soit \(6\,\text{m}\).
Formule
La tangente de l’angle de pente (\(P\)) est le rapport de la hauteur opposée (\(Hf\)) sur la longueur adjacente (\(L/2\)) :
\[ \tan(P) = \frac{Hf}{\frac{L}{2}} \]
D’où :
\[ Hf = \frac{L}{2} \times \tan(P) \]
Données
- \(L = 12\,\text{m}\)
- \(P = 35^\circ\)
- \(\frac{L}{2} = 6\,\text{m}\)
Calcul
1. Calcul de \(\tan(35^\circ)\) :
\[ \tan(35^\circ) \approx 0.7002 \]
2. Substitution dans la formule :
\[ Hf = 6 \times 0.7002 \] \[ Hf \approx 4.20\,\text{m} \]
2. Calcul de la longueur de l’hypoténuse du triangle formé par la pente du toit
Dans le triangle rectangle, l’hypoténuse correspond à la longueur réelle de la pente du toit. Elle se trouve grâce à la relation entre le côté adjacent (\(L/2\)) et l’angle de pente.
Formule
La relation faisant intervenir le cosinus est :
\[ \cos(P) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \]
D’où :
\[ \text{Hypoténuse} = \frac{\text{adjacent}}{\cos(P)} \]
Ici, l’adjacent vaut \(\frac{L}{2} = 6\,\text{m}\).
Données
- \(P = 35^\circ\)
- \(\frac{L}{2} = 6\,\text{m}\)
Calcul
1. Calcul de \(\cos(35^\circ)\) :
\[ \cos(35^\circ) \approx 0.8192 \]
2. Substitution dans la formule :
\[ \text{Hypoténuse} = \frac{6}{0.8192} \approx 7.32\,\text{m} \]
3. Calcul de la hauteur totale du mur pignon (Ht)
La hauteur totale du mur pignon est la somme de :
- La hauteur standard du mur avant la pente (\(Hb\)),
- La hauteur supplémentaire apportée par le faîte (\(Hf\)),
- Et l’épaisseur du mur (\(E\)) qui, dans certaines pratiques, est ajoutée pour tenir compte de l’épaisseur effective du mur lors de la pose de la toiture.
Formule
\[ Ht = Hb + Hf + E \]
Données
- \(Hb = 3\,\text{m}\)
- \(Hf \approx 4.20\,\text{m}\) (calculé précédemment)
- \(E = 0.30\,\text{m}\)
Calcul
1. Addition des composantes :
\[ Ht = 3 + 4.20 + 0.30 \] \[ Ht = 7.50\,\text{m} \]
Conclusion
- Hauteur du faîte (Hf) : ≈ 4.20 m
- Longueur de l’hypoténuse : ≈ 7.32 m
- Hauteur totale du mur pignon (Ht) : ≈ 7.50 m
Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon
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