Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
Comprendre le Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
Un barrage rectangulaire retient de l’eau pour une utilisation agricole. La paroi du barrage est verticale et en contact avec l’eau sur une de ses faces.
L’objectif de cet exercice est de calculer la force totale exercée par l’eau sur cette paroi du barrage.
Données:
- Hauteur de l’eau (\(H\)): 15 mètres
- Largeur de la paroi du barrage (\(W\)): 50 mètres
- Densité de l’eau (\(\rho\)): 1000 kg/m\(^3\)
- Accélération due à la gravité (\(g\)): 9.81 m/s\(^2\)
Questions:
1. Calculer la pression hydrostatique en un point à la profondeur \(h\) de la paroi.
2. Déterminer la distribution de la pression le long de la paroi.
3. Calculer la force totale exercée par l’eau sur la paroi du barrage.
4. Déterminer le point d’application de cette force (centre de pression).
Correction : Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
1. Calcul de la pression hydrostatique
La pression hydrostatique à une profondeur \(h\) est donnée par la formule:
\[ P = \rho g h \] \[ P = 1000 \times 9.81 \times h \] \[ P = 9810h \, \text{Pa} \]
2. Pression maximale à la base du barrage
À la base du barrage, à la hauteur maximale \(H = 15 \, \text{m}\), la pression est:
\[ P_{\text{max}} = 9810 \times 15 \] \[ P_{\text{max}} = 147150 \, \text{Pa} \]
Soit \(147 \, \text{kPa}\).
3. Calcul de la force totale
La force totale \(F\) exercée par l’eau sur la paroi est obtenue par intégration de la pression sur toute la hauteur de la paroi:
\[ F = \int_0^{15} 9810h \times 50 \, dh \] \[ F = 55181250 \, \text{N} \]
Soit environ \(55.18 \, \text{MN}\).
4. Centre de pression
Le centre de pression \(y_c\) est le point où la force totale peut être considérée comme appliquée. Il est calculé par:
\[ y_c = \frac{\int_0^{15} h \times 9810h \times 50 \, dh}{55181250} \] \[ y_c = 10 \, \text{m} \]
Le centre de pression se trouve donc à 10 mètres de la base du barrage, ce qui est logiquement le centre de la hauteur totale de l’eau puisque la distribution de pression est linéaire et symétrique.
Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
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