Calcul de la Force de Traînée

Comprendre le Calcul de la Force de Traînée

Un ingénieur en génie civil étudie l’écoulement de l’air autour d’un panneau publicitaire rectangulaire placé perpendiculairement au vent. L’objectif est de déterminer la force de traînée exercée par le vent sur le panneau pour s’assurer que sa structure est suffisamment robuste.

Données

Dimensions du panneau : Hauteur (H) = 5 m, Largeur (W) = 3 m.
Vitesse du vent : \( U_{\infty} = 15 \) m/s.
Viscosité cinématique de l’air : \( \nu = 1.5 \times 10^{-5} \) m²/s.
Densité de l’air : \( \rho = 1.2 \) kg/m³.

Questions:

1. Calcul du nombre de Reynolds (Re):
Utilisez la largeur du panneau comme longueur caractéristique pour calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement, afin de déterminer s’il est laminaire ou turbulent.

2. Détermination du régime d’écoulement:

3. Calcul de la traînée (D):
Pour un écoulement laminaire, utilisez la formule de traînée laminaire :
\[ C_{D, \text{lam}} = 1.328 \times Re^{-0.5} \]
Pour un écoulement turbulent, utilisez la formule de traînée turbulente :
\[ C_{D, \text{turb}} = 0.072 \times Re^{-0.2} \]
Ensuite, calculez la force de traînée :
\( D = \frac{1}{2} \times \rho \times U_{\infty}^2 \times C_D \times A \)
où \( A \) est la surface frontale du panneau (H x W).

4. Interprétation des résultats:
Analysez la valeur de la traînée et discutez des implications pour la conception du panneau publicitaire.

Correction : Calcul de la Force de Traînée

1. Calcul du nombre de Reynolds (\(Re\))

Le nombre de Reynolds caractérise le régime de l’écoulement. On choisit ici la largeur du panneau comme longueur caractéristique.

Formule:

\[ Re = \frac{U_\infty \times L}{\nu} \]

avec \( L = W \).

Substitution des données et calcul:

\[ Re = \frac{15 \, \text{m/s} \times 3 \, \text{m}}{1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}} \] \[ Re = \frac{45}{1.5 \times 10^{-5}} \] \[ Re = \frac{45}{0.000015} = 3\,000\,000 \]

Résultat:

\[ Re = 3 \times 10^6 \]

2. Détermination du régime d’écoulement

Pour des écoulements autour de corps, la transition du régime laminaire vers le turbulent se situe généralement pour des valeurs de \( Re \) de l’ordre de \( 5 \times 10^5 \) (voire moins, selon la configuration). Ici, \( Re = 3 \times 10^6 \) est bien supérieur à ce seuil.

Conclusion :

L’écoulement autour du panneau est turbulent.

3. Calcul de la traînée (\(D\))

A. Détermination du coefficient de traînée (pour un écoulement turbulent)

Formule:

Pour un écoulement turbulent, on utilise :

\[ C_{D,\text{turb}} = 0.072 \times Re^{-0.2} \] \[ C_{D,\text{turb}} = 0.072 \times 0.05066 \] \[ C_{D,\text{turb}} \approx 0.00365 \]

B. Calcul de l’aire frontale (\(A\)) du panneau

Formule:

\[ A = H \times W \]

Substitution des données:

\[ A = 5 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} = 15 \, \text{m}^2 \]

C. Calcul de la force de traînée (\(D\))

Formule:

\[ D = \frac{1}{2} \rho U_\infty^2 C_D A \]

où nous utilisons \( C_D = C_{D,\text{turb}} \).

Substitution des valeurs et calcul:

\(\rho = 1.2 \, \text{kg/m}^3\)
\(U_\infty = 15 \, \text{m/s} \quad (U_\infty^2 = 225 \, \text{m}^2/\text{s}^2)\)
\(C_D \approx 0.00365,\)
\(A = 15 \, \text{m}^2\)

\[ D = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 225 \times 0.00365 \times 15 \] \[ D \approx 7.39 \, \text{N} \]

4. Interprétation des résultats

Valeur de la traînée :
La force de traînée calculée est d’environ 7.39 N.
Ce résultat est obtenu en utilisant le coefficient de traînée caractéristique d’un écoulement turbulent sur une plaque plane (souvent utilisé pour estimer le frottement skin).
Implications pour la conception :
- Robustesse structurelle : Bien que 7.39 N semblent faibles, il est important de rappeler que cette méthode de calcul tient compte uniquement du frottement (skin friction) et ne prend pas en compte d’autres phénomènes (séparation du flux, vortex, etc.) qui peuvent augmenter la charge effective sur le panneau.
- Sécurité et vérification : Pour la conception d’un panneau publicitaire, il est recommandé de compléter ces estimations par des essais en soufflerie ou des simulations numériques afin de vérifier la robustesse face aux rafales et autres sollicitations dynamiques.
- Marges de sécurité : Dans le domaine du génie civil, il est courant d’appliquer des coefficients de sécurité pour garantir que la structure supportera des charges bien supérieures aux charges calculées théoriquement.