Calcul de la déformation élastique

1. Contexte de la MissionPHASE : AVANT-PROJET DÉTAILLÉ (APD)

📝 Situation du Projet

Vous intégrez l'équipe "Ouvrages d'Art" d'un grand bureau d'ingénierie international basé à Lyon. Le projet actuel concerne la conception de la passerelle "Horizon", un ouvrage piétonnier franchissant une voie rapide urbaine. L'architecte souhaite une structure métallique épurée, donnant une impression de légèreté au-dessus du flux de véhicules. Cependant, cette finesse structurelle pose un défi majeur en termes de rigidité.

Lors des premières réunions de synthèse, le maître d'ouvrage a exprimé une inquiétude particulière concernant le confort des usagers. Il est impératif que la passerelle ne présente pas de "souplesse" excessive ressenti lors du passage de foules compactes, ce qui pourrait créer un sentiment d'insécurité ou de vertige. Votre responsable de pôle vous confie donc la tâche critique de vérifier le comportement de la poutre principale à l'État Limite de Service (ELS).

🎯

Votre Mission d'Expert :

En tant qu'Ingénieur Calculateur, vous devez modéliser le comportement mécanique de la poutre maîtresse, établir l'équation de la déformée (la "flèche") sous chargement réparti, et valider ou invalider le profilé métallique IPE 400 proposé par l'architecte au regard des critères normatifs de confort (Eurocode 3).

🗺️ VUE GLOBALE DE L'OUVRAGE

📌

Note du Responsable Technique :

"Attention, ne confonds pas Résistance (ELU) et Déformation (ELS). Ici, la poutre peut très bien tenir sans casser, mais fléchir de 10 cm, ce qui est inacceptable. Ta priorité absolue est le calcul de la flèche maximale \( v_{\text{max}} \) au centre de la travée."

2. Données Techniques de Référence

Pour mener à bien cette vérification, nous nous appuyons sur les caractéristiques mécaniques de l'acier de construction standard et sur les hypothèses de chargement définies dans le cahier des charges. Le modèle est simplifié en une poutre isostatique sur deux appuis simples.

📚 Référentiel Normatif & Théorique

Eurocode 3 (Acier) Théorie des Poutres (Euler-Bernoulli)

⚙️ Caractéristiques Matériau & Section (IPE 400)

ACIER DE CONSTRUCTION S355
Module de Young (Élasticité)	E = 210 000 MPa (ou 210 GPa)
Limite Élastique	fy = 355 MPa
PROFILÉ IPE 400 (Laminé)
Moment Quadratique (Inertie de flexion)	Iy = 23 130 cm⁴
Hauteur de section	h = 400 mm

📐 Géométrie & Modèle

Portée de calcul entre appuis : L = 14.00 m

Type d'appuis : Appui simple (A) + Appui Rouleau (B)
Modèle : Poutre Isostatique

⚖️ Chargement de Calcul (ELS)

Le chargement réparti linéique \( q \) comprend le poids propre de la structure, le platelage et la surcharge d'exploitation piétonne pondérée pour l'ELS.

Charge Répartie Uniforme (q) 18.5 kN/m

Critère de Flèche Limite L / 300

[MODÈLE MÉCANIQUE DE CALCUL]

Modèle de poutre bi-appuyée soumise à une charge uniformément répartie descendante. Le repère (x, y) est défini avec y orienté vers le bas pour simplifier le signe de la flèche.

📋 Récapitulatif des Données d'Entrée

Donnée	Symbole	Valeur	Unité
Portée	L	14.0	m
Charge linéique	q	18.5	kN/m
Module de Young	E	210 000	MPa (N/mm²)
Inertie de flexion	Iy	23 130	cm⁴
Critère Limite	f_lim	L/300	m

E. Protocole de Résolution

Pour garantir la sécurité et le confort des usagers, nous allons suivre une méthode rigoureuse issue de la Résistance des Matériaux (RDM). Chaque étape est conditionnée par la validation de la précédente.

Équilibre Statique & Réactions

Vérification de l'isostaticité du système et calcul des efforts de réaction aux appuis A et B via le Principe Fondamental de la Statique (PFS).

Sollicitations Internes (Moment Fléchissant)

Détermination de l'équation du Moment Fléchissant M(x) le long de la poutre par la méthode des coupures, condition nécessaire pour calculer la courbure.

Intégration de la Déformée

Résolution de l'équation différentielle de la ligne élastique (Navier-Bernoulli) par double intégration pour obtenir l'équation de la flèche v(x).

Vérification du Critère ELS

Calcul numérique de la flèche maximale à mi-travée et comparaison avec la limite normative L/300 pour valider le profilé IPE 400.

CORRECTION

Calcul de la déformation élastique

Calcul des Réactions aux Appuis

🎯 Objectif Scientifique

La première étape incontournable de tout dimensionnement structurel est d'isoler le système mécanique pour déterminer comment les charges extérieures (ici le poids et les piétons) se transmettent au sol via les fondations. Nous devons quantifier les forces de réaction verticales aux points A et B pour assurer l'équilibre statique global de la passerelle.

📚 Référentiel & Théorèmes

PFS (Principe Fondamental de la Statique) Loi de Newton (Action/Réaction)

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Dans ce cas précis, nous avons affaire à une configuration géométrique et un chargement parfaitement symétriques. La poutre est horizontale, la charge \( q \) est uniforme sur toute la longueur \( L \). Intuitivement, chaque appui va reprendre exactement la moitié de la charge totale. Cependant, pour la rigueur de la note de calcul, nous allons poser les équations formelles du PFS en utilisant l'équilibre des moments pour prouver ce résultat.

La charge totale \( Q_{\text{totale}} \) exercée sur la poutre est le produit de la charge linéique par la longueur :

\[ Q_{\text{totale}} = q \cdot L \]

Cette charge résultante s'applique au centre de gravité de la distribution, soit à \( L/2 \).

Rappel Théorique : Le P.F.S.

Pour qu'une structure soit immobile par rapport au sol (équilibre statique), la somme de toutes les forces extérieures et la somme de tous les moments doivent être nulles :

\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{(Pas de translation)} \]

\[ \sum \vec{M}_{\text{ext}/O} = \vec{0} \quad \text{(Pas de rotation)} \]

📐 Formule : Réaction sur poutre symétrique

\[ R_{\text{A}} = R_{\text{B}} = \frac{q \cdot L}{2} \]

Avec \( q \) la charge linéique en [kN/m] et \( L \) la portée en [m].

Paramètre	Valeur	Unité
Charge Linéique \( q \)	18.5	kN/m
Longueur \( L \)	14.0	m

Astuce Vérification

Toujours vérifier que \( R_{\text{A}} + R_{\text{B}} \) égale la charge totale.

\[ R_{\text{A}} + R_{\text{B}} = Q_{\text{totale}} \]

Ici, \( 129.5 + 129.5 = 259 \). Le compte est bon.

📝 Calcul Détaillé des Réactions

1. Calcul de la charge totale descendante :

Nous commençons par évaluer la résultante de la force uniformément répartie. Cette "force équivalente" s'applique théoriquement au centre de gravité de la charge.

\[ \begin{aligned} F_{\text{descendante}} &= q \cdot L \\ &= 18.5 \cdot 14.0 \\ &= 259.0 \text{ kN} \end{aligned} \]

La passerelle pèse donc (au sens large, charges comprises) 259 kN, soit environ 26 tonnes.

2. Détermination de la réaction en B (par le moment en A) :

Pour éliminer l'inconnue \( R_{\text{A}} \), nous écrivons l'équilibre des moments au point A (\( \sum M_{/\text{A}} = 0 \)). La charge totale \( qL \) tente de faire tourner la poutre dans le sens horaire (négatif), tandis que \( R_{\text{B}} \) la retient dans le sens anti-horaire (positif).

\[ \begin{aligned} \sum M_{/\text{A}} &= 0 \\ (R_{\text{B}} \cdot L) - (qL) \cdot \frac{L}{2} &= 0 \\ R_{\text{B}} \cdot L &= \frac{qL^2}{2} \\ R_{\text{B}} &= \frac{qL}{2} \end{aligned} \]

3. Détermination de la réaction en A (par les forces verticales) :

Nous utilisons l'équation de la résultante dynamique \( \sum F_{\text{y}} = 0 \).

\[ \begin{aligned} R_{\text{A}} + R_{\text{B}} - qL &= 0 \\ R_{\text{A}} &= qL - R_{\text{B}} \\ R_{\text{A}} &= qL - \frac{qL}{2} \\ R_{\text{A}} &= \frac{qL}{2} = 129.5 \text{ kN} \end{aligned} \]

\[ \textbf{R}_{\text{A}} = \textbf{R}_{\text{B}} = 129.5 \text{ kN} \]

La structure transmet 129.5 kN à chaque fondation.

Analyse de Cohérence

Une réaction de 13 tonnes par appui pour une passerelle de 14m est cohérent avec les standards du génie civil (poids propre + foule dense).

Points de Vigilance

Assurez-vous que le sol de fondation peut supporter cette descente de charge ponctuelle sans tassement différentiel.

Établissement du Moment Fléchissant M(x)

🎯 Objectif Scientifique

Pour calculer la déformation, nous devons savoir comment la poutre "souffre" en flexion à chaque endroit de sa longueur. L'outil mathématique pour décrire cette souffrance interne est le Moment Fléchissant \( M(x) \). C'est lui qui est directement responsable de la courbure de la poutre.

📚 Référentiel

Méthode des Coupures

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Nous allons effectuer une coupure fictive à une abscisse \( x \) quelconque comprise entre \( 0 \) et \( L \). En isolant la partie gauche de la poutre (entre \( 0 \) et \( x \)), nous écrivons l'équilibre des moments au point de coupure \( G \). Les forces agissant sur le tronçon gauche sont la réaction \( R_{\text{A}} \) et la portion de charge répartie \( q \cdot x \).

Convention de Signe

Nous utilisons ici la convention "RDM standard" pour les poutres horizontales : un moment est considéré positif s'il tend à comprimer la fibre supérieure (faire sourire la poutre). L'équation d'équilibre au point de coupure s'écrit :

\[ \sum M_{\text{coupure}} = 0 \Rightarrow M(x) - R_{\text{A}} \cdot x + (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} = 0 \]

📐 Formule du Moment Fléchissant

\[ M(x) = R_{\text{A}} \cdot x - \frac{q \cdot x^2}{2} \]

C'est une équation parabolique (polynôme du second degré), typique d'une charge répartie.

Variable	Signification
\( x \)	Abscisse le long de la poutre (m)
\( R_{\text{A}} \)	Réaction d'appui calculée en Q1 (129.5 kN)

Astuce Mathématique

La dérivée du moment fléchissant \( dM/dx \) doit être égale à l'effort tranchant \( T(x) \).

\[ \frac{dM(x)}{dx} = T(x) \]

C'est un excellent moyen de vérifier votre équation.

📝 Calcul Littéral & Vérification

1. Dérivation de l'équation du moment :

Nous partons de l'équation d'équilibre au point de coupure. Nous isolons \( M(x) \) et remplaçons \( R_{\text{A}} \) par sa valeur \( qL/2 \).

\[ \begin{aligned} M(x) &= R_{\text{A}} \cdot x - (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} \\ &= \left( \frac{q L}{2} \right) \cdot x - \frac{q x^2}{2} \\ &= \frac{q}{2} (Lx - x^2) \end{aligned} \]

Cette forme factorisée est très utile : elle montre immédiatement que le moment est nul en \( x=0 \) et en \( x=L \), ce qui est cohérent avec des appuis simples.

2. Calcul du Moment Maximum (à mi-travée) :

Pour trouver le maximum d'une fonction, on cherche où sa dérivée s'annule. Ici, par symétrie, nous savons que le sommet de la parabole est en \( x = L/2 \). Remplaçons \( x \) par \( L/2 \) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= M(L/2) \\ &= \frac{qL}{2} \cdot \left(\frac{L}{2}\right) - \frac{q}{2} \cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2 \\ &= \frac{qL^2}{4} - \frac{qL^2}{8} \\ &= \frac{2qL^2}{8} - \frac{qL^2}{8} \\ &= \frac{q L^2}{8} \end{aligned} \]

C'est une formule célèbre en RDM : \( \frac{ql^2}{8} \). Retenez-la, elle sert toute la vie d'un ingénieur !

\[ \textbf{M}_{\text{max}} = \frac{q L^2}{8} \]

Le moment sollicitant maximal se situe au centre de la poutre.

Analyse de Cohérence

La forme parabolique est cohérente avec une charge répartie constante. Les valeurs aux appuis sont nulles, respectant les conditions limites.

Points de Vigilance

Attention aux unités lors de l'application numérique future. Si \( q \) est en kN/m et \( L \) en m, le Moment sera en kN.m.

Intégration de la Déformée v(x)

🎯 Objectif Scientifique

Nous devons maintenant passer du monde des "Forces" (Moment) au monde de la "Géométrie" (Déformation). C'est le cœur de l'exercice. Nous allons établir la fonction mathématique \( v(x) \) qui décrit la position verticale de la poutre en tout point \( x \).

📚 Référentiel

Équation de la Ligne Élastique Calcul Intégral

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

La relation fondamentale qui lie la courbure (\( v''(x) \)) au moment (\( M(x) \)) est :

\[ E \cdot I_y \cdot v''(x) = - M(x) \]

Le produit \( E \cdot I_y \) représente la rigidité flexionnelle de la poutre. Plus elle est grande, moins la poutre se courbe.

Théorie de Navier-Bernoulli

L'hypothèse des sections planes restant planes permet de lier directement la courbure au moment. L'intégration double fait apparaître deux constantes \( C_1 \) et \( C_2 \) qui représentent les conditions physiques de fixation de la poutre (appuis).

📐 Équation Différentielle de base

\[ E I_y v''(x) = - \left( \frac{q L}{2} x - \frac{q x^2}{2} \right) \]

Condition Limite	Expression Mathématique
Appui A (x=0)	Flèche nulle : \( v(0) = 0 \)
Appui B (x=L)	Flèche nulle : \( v(L) = 0 \)

Astuce de Calcul

Utilisez la formule d'intégration des polynômes :

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \]

Ne développez pas le terme \( 1/(EI) \) avant la toute fin.

📝 Calcul Détaillé des Intégrales

1. Première intégration (Obtention de la Pente) :

Nous intégrons l'expression du moment par rapport à \( x \). Le signe moins devant l'équation différentielle change les signes.

\[ \begin{aligned} E I_y v'(x) &= \int \left( - \frac{q L}{2} x + \frac{q x^2}{2} \right) dx \\ &= - \frac{q L}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{q}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 \\ &= - \frac{q L x^2}{4} + \frac{q x^3}{6} + C_1 \end{aligned} \]

2. Seconde intégration (Obtention de la Flèche) :

Nous intégrons à nouveau pour obtenir le déplacement \( v(x) \).

\[ \begin{aligned} E I_y v(x) &= \int \left( - \frac{q L x^2}{4} + \frac{q x^3}{6} + C_1 \right) dx \\ &= - \frac{q L}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{q}{6} \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 x + C_2 \\ &= - \frac{q L x^3}{12} + \frac{q x^4}{24} + C_1 x + C_2 \end{aligned} \]

3. Recherche des Constantes (Utilisation des conditions aux limites) :

Condition 1 : En \( x=0 \), la flèche est nulle. Tous les termes en \( x \) s'annulent.

\[ \begin{aligned} E I_y v(0) &= 0 + 0 + 0 + C_2 = 0 \\ \Rightarrow C_2 &= 0 \end{aligned} \]

Condition 2 : En \( x=L \), la flèche est nulle.

\[ \begin{aligned} E I_y v(L) &= - \frac{q L (L)^3}{12} + \frac{q (L)^4}{24} + C_1 L = 0 \\ C_1 L &= \frac{q L^4}{12} - \frac{q L^4}{24} \\ C_1 L &= \frac{2 q L^4}{24} - \frac{q L^4}{24} \\ C_1 L &= \frac{q L^4}{24} \\ \Rightarrow C_1 &= \frac{q L^3}{24} \end{aligned} \]

4. Équation Finale Factorisée :

En réinjectant \( C_1 \) et \( C_2 \) dans l'équation de l'étape 2 et en sortant \( qx/24 \) en facteur commun :

\[ \begin{aligned} v(x) &= \frac{1}{E I_y} \left( - \frac{2 q L x^3}{24} + \frac{q x^4}{24} + \frac{q L^3 x}{24} \right) \\ &= \frac{q x}{24 E I_y} \left( -2 L x^2 + x^3 + L^3 \right) \end{aligned} \]

\[ \textbf{v}(x) = \frac{q x (L^3 - 2Lx^2 + x^3)}{24 E I_y} \]

Nous avons établi le modèle prédictif complet de la déformation.

Analyse de Cohérence

L'équation est homogène :

\[ \frac{[N/mm] \cdot [mm] \cdot [mm^3]}{[N/mm^2] \cdot [mm^4]} = [mm] \]

Le résultat est bien une longueur.

Points de Vigilance

Cette équation n'est valable que dans le domaine élastique (si la contrainte reste inférieure à \( f_{\text{y}} \)).

Calcul Numérique & Validation (ELS)

🎯 Objectif Scientifique

C'est l'heure de vérité. Nous avons le modèle mathématique parfait, il faut maintenant le confronter à la réalité physique en injectant les valeurs numériques du projet. Nous allons calculer la flèche maximale (qui se trouve au milieu par symétrie, \( x = L/2 \)) et la comparer à la tolérance de l'Eurocode pour savoir si la passerelle sera confortable.

📚 Référentiel

Eurocode 3 - Critères ELS

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Le piège absolu ici, ce sont les unités. C'est la cause n°1 d'erreurs en bureau d'étude. Pour assurer la cohérence, nous convertirons TOUT en Newtons (N) et en millimètres (mm) avant de calculer. C'est la seule façon de garantir un résultat juste.

Critères d'État Limite de Service (ELS)

Les critères ELS ne concernent pas la ruine de l'ouvrage, mais son aptitude au service (apparence, confort, fonctionnement). Pour une passerelle, la limitation de flèche vise à éviter l'effet psychologique de "molesse".

📐 Formule de la Flèche Maximale

\[ v_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

Obtenue en posant \( x = L/2 \) dans l'équation générale.

Grandeur	Valeur Initiale	Valeur Convertie (N, mm)
Charge \( q \)	18.5 kN/m	18.5 N/mm (car 1000 N / 1000 mm)
Longueur \( L \)	14.0 m	14 000 mm
Module \( E \)	210 000 MPa	210 000 N/mm²
Inertie \( I_y \)	23 130 cm⁴	231 300 000 mm⁴ (\( 10^4 \))

Astuce

1 cm⁴ = 10 mm × 10 mm × 10 mm × 10 mm = 10,000 mm⁴. Ne l'oubliez jamais !

📝 Calcul Numérique

1. Simplification de la formule (pour x = L/2) :

Partons de l'équation générale \( v(x) = \frac{qx}{24EI}(L^3 - 2Lx^2 + x^3) \) et remplaçons \( x \) par \( L/2 \).

\[ \begin{aligned} v(L/2) &= \frac{q(L/2)}{24EI} \left( L^3 - 2L(\frac{L}{2})^2 + (\frac{L}{2})^3 \right) \\ &= \frac{qL}{48EI} \left( L^3 - \frac{2L^3}{4} + \frac{L^3}{8} \right) \\ &= \frac{qL}{48EI} \left( \frac{8L^3}{8} - \frac{4L^3}{8} + \frac{L^3}{8} \right) \\ &= \frac{qL}{48EI} \left( \frac{5L^3}{8} \right) \\ &= \frac{5 q L^4}{384 EI} \end{aligned} \]

2. Application Numérique :

On remplace avec les valeurs "N et mm".

\[ \begin{aligned} v_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot 18.5 \cdot (14\,000)^4}{384 \cdot 210\,000 \cdot 2.313 \times 10^8} \\ &= \frac{5 \cdot 18.5 \cdot 3.8416 \times 10^{16}}{384 \cdot 210\,000 \cdot 2.313 \times 10^8} \\ &= \frac{3.553 \times 10^{18}}{1.865 \times 10^{16}} \\ &= 190.5 \text{ mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la Flèche Limite (Critère) :

Le critère de confort imposé est \( L/300 \).

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{14\,000}{300} \\ &= 46.7 \text{ mm} \end{aligned} \]

\[ \textbf{NON CONFORME} : v_{\text{max}} (190.5) > f_{\text{lim}} (46.7) \]

Le profilé est beaucoup trop souple.

Analyse de Cohérence

Une flèche de 19 cm pour 14 m de portée est énorme visuellement et catastrophique pour le confort (effet trampoline). L'inertie du profilé IPE 400 est clairement insuffisante pour cette portée sans appui intermédiaire.

Points de Vigilance

Ne pas augmenter simplement la nuance d'acier (S355 -> S460) ! Cela n'augmenterait pas la rigidité car le Module de Young \( E \) reste le même pour tous les aciers. Il faut changer la géométrie (Inertie \( I \)).

📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)

REFUSÉ

STRUCT
INGÉ

Projet : PASSERELLE "HORIZON"

NOTE DE CALCULS - VÉRIFICATION ELS (FLÈCHE)

Affaire :RDM-042

Phase :APD

Date :24/10/2024

Indice :B

Ind.	Date	Objet de la modification	Rédacteur
A	20/10/2024	Création du document	J. Martin
B	24/10/2024	Vérification flèche IPE 400	Expert IA

1. Hypothèses & Données d'Entrée

1.1. Référentiel Normatif

Eurocode 0 : Bases de calcul des structures (EN 1990)
Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)

1.2. Matériaux & Géométrie

Profilé	IPE 400 (S355)
Inertie de Flexion (Iy)	23 130 cm⁴
Charge ELS (q)	18.5 kN/m
Portée (L)	14.0 m

2. Note de Calculs Justificative

Vérification de la déformation verticale maximale à mi-travée sous chargement quasi-permanent.

2.1. Calcul Analytique (Navier-Bernoulli)

Formule flèche max :v_max = (5 * q * L^4) / (384 * E * Iy)

Application num. :v_max = (5 * 18.5 * 14000^4) / (384 * 210000 * 2.313e8)

Résultat (S) :190.5 mm

2.2. Vérification Critère Confort (L/300)

Valeur Limite (R) :14000 / 300 = 46.7 mm

Ratio de dépassement :408 %

3. Conclusion & Décision

DÉCISION TECHNIQUE

❌ PROFILÉ IPE 400 REJETÉ

Solution préconisée : Augmenter l'inertie (Passer à un HEA ou PRS)

4. Bilan de Déformation

Calculé par :
Ing. Structures

Vérifié par :
Chef de Projet

REFUS VALIDATION

B.E.T. STRUCT-INGÉ

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Calcul de la déformation élastique

📝 Situation du Projet

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📐 Géométrie & Modèle

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E. Protocole de Résolution

Équilibre Statique & Réactions

Sollicitations Internes (Moment Fléchissant)

Intégration de la Déformée

Vérification du Critère ELS

Calcul de la déformation élastique

🎯 Objectif Scientifique

📚 Référentiel & Théorèmes

📝 Calcul Détaillé des Réactions

1. Calcul de la charge totale descendante :

2. Détermination de la réaction en B (par le moment en A) :

3. Détermination de la réaction en A (par les forces verticales) :

🎯 Objectif Scientifique

📚 Référentiel

📝 Calcul Littéral & Vérification

1. Dérivation de l'équation du moment :

2. Calcul du Moment Maximum (à mi-travée) :

🎯 Objectif Scientifique

📚 Référentiel

📝 Calcul Détaillé des Intégrales

1. Première intégration (Obtention de la Pente) :

2. Seconde intégration (Obtention de la Flèche) :

3. Recherche des Constantes (Utilisation des conditions aux limites) :

4. Équation Finale Factorisée :

🎯 Objectif Scientifique

📚 Référentiel

📝 Calcul Numérique

1. Simplification de la formule (pour x = L/2) :

2. Application Numérique :

3. Calcul de la Flèche Limite (Critère) :

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Intégration de la Déformée

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📝 Calcul Détaillé des Réactions

1. Calcul de la charge totale descendante :

2. Détermination de la réaction en B (par le moment en A) :

3. Détermination de la réaction en A (par les forces verticales) :

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1. Dérivation de l'équation du moment :

2. Calcul du Moment Maximum (à mi-travée) :

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2. Seconde intégration (Obtention de la Flèche) :

3. Recherche des Constantes (Utilisation des conditions aux limites) :

4. Équation Finale Factorisée :

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