Calcul de la Déflexion Totale

Calcul de la Déflexion Totale

Comprendre le calcul de la Déflexion Totale

Contexte et Données :

Une poutre horizontale uniforme de longueur L = 6 mètres, de module d’élasticité E = 200 GPa et de moment d’inertie I = 300 \times 10^{-6} m^4.

La poutre est simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle subit une charge uniformément répartie q = 5 kN/m sur toute sa longueur.

Questions :

1. Calcul de la Réaction aux Appuis :
Déterminer les réactions aux appuis en A et B.

2. Détermination de l’Équation de la Ligne Élastique :
Établir l’équation différentielle de la ligne élastique de la poutre. Résoudre cette équation pour obtenir la forme de la courbe de déflexion de la poutre.

3. Calcul de la Déflexion Maximale :
Calculer la déflexion maximale de la poutre. Identifier sa position le long de la poutre.

4. Analyse de l’Effet d’une Charge Ponctuelle :
Supposer maintenant qu’une charge ponctuelle P = 10 kN est appliquée au milieu de la poutre. Recalculer la déflexion maximale. Comparer cette déflexion à celle obtenue avec la charge uniformément répartie.

Correction : calcul de la Déflexion Totale

1. Calcul des Réactions aux Appuis

Pour une poutre simplement appuyée aux deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie q, les réactions aux appuis sont égales et chacune vaut la moitié de la charge totale. La charge totale Q est donnée par Q = q \times L.

    \[ Q = 5 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} = 30 \, \text{kN} \]

Ainsi, chaque réaction aux appuis, R_A et R_B, est de 15 \, \text{kN}.

2. Équation de la Ligne Élastique

L’équation différentielle de la ligne élastique pour une poutre sous charge uniformément répartie est :

    \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-q}{EI} \]

Pour une charge uniforme, cette équation se simplifie en :

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-5 \times 6}{200 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}}

Après avoir intégré l’équation différentielle deux fois, nous obtenons les expressions suivantes pour la pente y'(x) et la déflexion y(x) de la poutre :

  • Expression de la pente y'(x) :

    \[ y'(x) = C1 - 5.0 \times 10^{-7} \, x \]

  • Expression de la déflexion y(x) :

y(x) = C1 \times x + C2 - 2.5 \times 10^{-7} \, x^2

C1 et C2 sont des constantes d’intégration. Pour déterminer ces constantes, il faut utiliser les conditions aux limites de la poutre.

Par exemple, pour une poutre simplement appuyée, les conditions aux limites sont généralement que la déflexion est nulle aux appuis (en x = 0 et x = L).

Utilisons ces conditions pour trouver les valeurs de C1 et C2.

Expression de la déflexion y(x) avant application des conditions aux limites

y(x) = -2.5 \times 10^{-7} \, x^2 + C1 \, x + C2

Application des conditions aux limites

Pour une poutre simplement appuyée, la déflexion est nulle aux appuis, donc :

\text{À } x = 0, \, y(0) = 0
\text{À } x = L \, (\text{où } L = 6 \text{ mètres}), \, y(L) = 0

Établissement et résolution des équations

  • y(0) = 0

-2.5 \times 10^{-7} \times 0^2 + C1 \times 0 + C2 = 0

  • y(L) = 0

-2.5 \times 10^{-7} \times 6^2 + C1 \times 6 + C2 = 0

En résolvant ces équations, on obtient :

    \begin{align*}&C1 = 1.5 \times 10^{-6} \\&C2 = 0\end{align*}

Ainsi, l’équation de la courbe de déflexion y(x) de la poutre devient :

y(x) = -2.5 \times 10^{-7} \, x^2 + 1.5 \times 10^{-6} \, x

Cette équation décrit la forme de la courbe de déflexion de la poutre sous une charge uniformément répartie, en tenant compte des conditions aux limites d’une poutre simplement appuyée.

Elle permet de calculer la déflexion à n’importe quel point le long de la poutre.

3. Déflexion Maximale

La déflexion maximale pour une charge uniformément répartie se produit au milieu de la poutre et est donnée par la formule :

    \[ y_{\text{max}} = \frac{5qL^4}{384EI} \]

En substituant les valeurs, on obtient :

y_{\text{max}} = \frac{5 \times 5 \times 6^4}{384 \times 200 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}}

y_{\text{max, uniform}} = 1.406 \times 10^{-6} \, \text{m} \, (\text{ou} \, 1.406 \, \mu\text{m})

4. Effet d’une Charge Ponctuelle

Si une charge ponctuelle P = 10 \, \text{kN} est appliquée au milieu, la déflexion maximale due à cette charge est :

    \[ y_{\text{max, P}} = \frac{PL^3}{48EI} \]

En substituant les valeurs :

y_{\text{max, P}} = \frac{10 \times 6^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}}

y_{\text{max, point}} = 0.750 \times 10^{-6} \, \text{m} \, (\text{ou} \, 0.750 \, \mu\text{m})

  • Déflexion totale :

    \[ y_{\text{total}} = y_{\text{max, uniform}} + y_{\text{max, point}} \]

y_{\text{total}} = 2.156 \times 10^{-6} \, \text{m} \, (\text{ou} \, 2.156 \, \mu\text{m})

Calcul de la Déflexion Totale

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