Calcul de la Déflexion Totale
Comprendre le calcul de la Déflexion Totale
Contexte et Données :
Une poutre horizontale uniforme de longueur L = 6 mètres, de module d’élasticité E = 200 GPa et de moment d’inertie \(I = 300 \times 10^{-6}\) m\(^4\).
La poutre est simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle subit une charge uniformément répartie \(q = 5\) kN/m sur toute sa longueur.
Pour comprendre le Calcul de flèche d’une poutre, cliquez sur le lien.
Questions :
1. Calcul de la Réaction aux Appuis :
Déterminer les réactions aux appuis en A et B.
2. Détermination de l’Équation de la Ligne Élastique :
Établir l’équation différentielle de la ligne élastique de la poutre. Résoudre cette équation pour obtenir la forme de la courbe de déflexion de la poutre.
3. Calcul de la Déflexion Maximale :
Calculer la déflexion maximale de la poutre. Identifier sa position le long de la poutre.
4. Analyse de l’Effet d’une Charge Ponctuelle :
Supposer maintenant qu’une charge ponctuelle \(P = 10\) kN est appliquée au milieu de la poutre. Recalculer la déflexion maximale. Comparer cette déflexion à celle obtenue avec la charge uniformément répartie.
Correction : calcul de la Déflexion Totale
Données :
- Longueur de la poutre, \( L = 6 \) mètres
- Module d’élasticité, \( E = 200 \) GPa = \( 200 \times 10^9 \) Pa
- Moment d’inertie, \( I = 300 \times 10^{-6} \) m\(^4\)
- Charge uniformément répartie, \( q = 5 \) kN/m = \( 5000 \) N/m
- Charge ponctuelle, \( P = 10 \) kN = \( 10000 \) N
1. Calcul des Réactions aux Appuis
- La charge totale distribuée:
\[ Q = q \times L \] \[ Q = 5000 \times 6 \] \[ Q = 30000\, \text{N} \]
- Réactions aux appuis:
\[ R_A = R_B = \frac{Q}{2} = 15000\, \text{N} \]
2. Équation de la Ligne Élastique
Équation différentielle de base :
\[\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{q}{EI}\]
Substitution des valeurs :
\[\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{5000}{200 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}} \] \[\frac{d^2y}{dx^2} = -0.0000833333\, \text{m}^-1 \]
Intégration de l’équation différentielle :
- Première intégration :
\[ \frac{dy}{dx} = -0.0000833333 \times \frac{x^2}{2} + C_1 \]
- Seconde intégration :
\[ y = -0.0000833333 \times \frac{x^3}{6} + C_1x + C_2 \]
Conditions aux limites :
- À \( x = 0 \), \( y(0) = 0 \) donc \( C_2 = 0 \)
- À \( x = L = 6 \), \( y(6) = 0 \)
\[ 0 = -0.0000833333 \times \frac{6^3}{6} + 6C_1 \] \[ 0 = -0.5 + 6C_1 \] \[ C_1 = \frac{0.5}{6} = 0.0833333 \]
Équation finale de la déflexion :
\( y(x) = -0.0000833333 \times \frac{x^3}{6} + 0.0833333 \times x \)
3. Déflexion Maximale pour Charge Uniformément Répartie
- Déflexion maximale au centre : \( x = \frac{L}{2} = 3 \) mètres
\[ y(3) = -0.0000833333 \times \frac{3^3}{6} + 0.0833333 \times 3 \] \[ y(3) = -0.00125 + 0.25 = 0.24875\, \text{mètres} \]
4. Effet d’une Charge Ponctuelle au Centre
- Déflexion due à la charge ponctuelle :
\[ \Delta y = \frac{PL^3}{48EI} \]
\[ \Delta y = \frac{10000 \times 6^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}} = 0.01875\, \text{mètres} \]
Déflexion Totale au Centre
\[ y_{total} = y(3) + \Delta y \] \[ y_{total} = 0.24875 + 0.01875 \] \[ y_{total} = 0.2675\, \text{mètres} \]
Conclusion
La déflexion maximale de la poutre sous l’effet combiné de la charge uniformément répartie et de la charge ponctuelle au centre est de 0.2675 mètres.
Cette valeur est déterminée en tenant compte des normes de calcul des structures et en appliquant les principes de mécanique des matériaux.
Calcul de la Déflexion Totale
D’autres exercices de Rdm :
0 commentaires