Calcul de flèche d'une poutre
Vérification en service de la déformée d'une poutre de passerelle en profilé laminé
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Une passerelle piétonne de 8,00 m de portée est portée par deux poutres en profilé laminé supportant un platelage en caillebotis. La résistance de ces poutres a été vérifiée à l'état limite ultime : elles ne rompront pas. Reste une question d'une tout autre nature, celle du confort : une passerelle qui fléchit visiblement sous le passage d'un groupe est perçue comme peu sûre, même lorsqu'elle est parfaitement résistante. Cette perception ne relève pas de la ruine mais de l'aptitude au service, et elle se vérifie en calculant la déformée sous les charges réellement attendues, puis en la confrontant à un critère. Ce critère, contrairement à une résistance, n'est pas imposé par le règlement de calcul : il doit être défini pour le projet et convenu avec le maître d'ouvrage.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Un état limite de nature différente : L'état limite ultime protège contre la ruine, l'état limite de service contre l'inconfort et le désordre. Le second se vérifie sur les charges réellement attendues, sans majoration : une flèche est un déplacement que l'on peut aller mesurer sur l'ouvrage.
-
Une rigidité, non une résistance : La déformée ne dépend ni de la limite d'élasticité de l'acier ni de sa nuance. Elle dépend du module d'élasticité et du moment quadratique de la section : c'est la forme du profilé qui commande, pas la qualité de l'acier.
-
Un critère à définir, pas à recopier : L'EN 1990 § A1.4.2(2) demande que les critères d'aptitude au service soient spécifiés pour chaque projet et convenus avec le maître d'ouvrage. Un rapport tel que \( L/300 \) ne constitue donc un critère complet que s'il est accompagné de la grandeur sur laquelle il porte.
Établir la déformée de la poutre principale sous les charges de service et statuer sur le critère de flèche retenu au projet.
- Choisir la combinaison : Établir la charge de service à retenir pour le calcul de la déformée.
- Préparer les caractéristiques : Identifier l'inertie qui travaille et la convertir dans un système d'unités cohérent.
- Calculer la déformée : Déterminer la flèche à mi-portée, et distinguer la part due aux charges permanentes de celle due aux charges d'exploitation.
- Conclure : Confronter le résultat au critère convenu et statuer sur l'aptitude au service.
- La charge de service retenue pour le calcul de la déformée, et la combinaison qui la justifie.
- L'inertie de flexion du profilé, convertie dans le système d'unités du calcul.
- La flèche totale à mi-portée, et sa décomposition entre charges permanentes et charges d'exploitation.
- Le verdict de la vérification vis-à-vis du critère convenu au projet.
Les données ci-dessous sont celles nécessaires à la seule vérification de la déformée. On remarquera que la limite d'élasticité de l'acier n'y figure pas : elle gouverne la résistance, non la rigidité. Le critère de flèche, en revanche, est porté comme une donnée du projet et non comme une valeur normative, conformément à l'EN 1990 § A1.4.2(2).
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Combinaison caractéristique de service \( q_{\text{ser}} = G + Q \)
- Conversion du moment quadratique \( 1 \text{ cm}^4 = 10^{-8} \text{ m}^4 \)
- Flèche à mi-portée, charge uniforme \( w = \dfrac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I} \)
- Critère de flèche \( w \le w_{\text{lim}} \)
La poutre : géométrie, matériau et section
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( L \) | Portée entre axes des appareils d'appui | 8,00 | m |
| \( E \) | Module d'élasticité longitudinale de l'acier de construction — valeur unique, indépendante de la nuance EN 1993-1-1 § 3.2.6(1) | 210 000 | MPa |
| \( I_y \) | Moment quadratique du profilé IPE 300 par rapport à l'axe fort, celui autour duquel la poutre fléchit | 8 356 | cm⁴ |
| \( I_z \) | Moment quadratique du même profilé par rapport à l'axe faible — donné pour mémoire, il n'intervient pas dans une flexion verticale | 603,7 | cm⁴ |
| \( w_{\text{lim}} \) | Critère de flèche retenu au projet et convenu avec le maître d'ouvrage, portant sur la flèche totale sous combinaison caractéristique EN 1990 § A1.4.2(2) | L / 300 | mm |
- Limite d'élasticité : \( f_{\text{y}} \) sans objet ici
- Coefficients partiels : \( \gamma_{\text{F}} = 1{,}00 \)
- Inertie faible : \( I_z \) sans objet ici
Les charges de service appliquées à la poutre
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( G \) | Charge permanente linéique : poids propre du profilé et du platelage en caillebotis | 3,10 | kN/m |
| \( Q \) | Charge d'exploitation linéique due à la foule piétonne, action variable | 2,00 | kN/m |
| \( \gamma_{\text{F}} \) | Coefficient partiel des actions à l'état limite de service, implicitement pris égal à l'unité EN 1990 § 6.5.1(1)P | 1,00 | — |
- Charges non majorées : \( \gamma_{\text{F}} = 1{,}00 \)
- Une seule action variable : \( \psi_0 \) sans objet
- Charge de service : \( q_{\text{ser}} = G + Q \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Les trois combinaisons d'actions de l'état limite de service| Combinaison | Emploi |
|---|---|
| Caractéristique — cas traité | états limites irréversibles |
| Fréquente | états limites réversibles |
| Quasi-permanente | effets à long terme et aspect de l'ouvrage |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
La vérification suit l'enchaînement propre aux états limites de service : on établit d'abord la charge réellement attendue, on prépare ensuite les caractéristiques de la section, on calcule le déplacement, et l'on conclut en le confrontant au critère convenu pour le projet.
Question 1 : Charge de service et combinaison retenue
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Une flèche est un déplacement observable. Demandez-vous si majorer les charges aurait un sens pour prédire un déplacement que l'on peut aller mesurer.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les coefficients partiels des actions valent l'unité à l'état limite de service : la combinaison se réduit alors à une simple somme.
Question 2 : Inertie de flexion et cohérence des unités
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Une poutre de plancher fléchit dans le plan vertical : elle tourne autour de l'axe horizontal de sa section.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Un centimètre vaut \( 10^{-2} \) mètre. Une puissance quatre porte donc l'exposant à \( 10^{-8} \), et non à \( 10^{-2} \) ni \( 10^{-4} \).
Question 3 : Flèche à mi-portée et décomposition par nature de charge
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La déformée est proportionnelle à la charge : chaque nature de charge produit sa propre part de flèche, et ces parts s'additionnent.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Vérifiez la dimension de l'expression avant de l'appliquer : elle doit produire une longueur, et non un nombre sans dimension.
Question 4 (Finale) : Vérification vis-à-vis du critère convenu
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La portée doit être exprimée dans la même unité que la flèche avant d'appliquer le rapport.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Comparez les deux lectures possibles du critère et regardez si elles conduisent au même verdict.
Calcul de flèche d'une poutre
"La question posée n'est plus « la poutre va-t-elle rompre ? » mais « de combien va-t-elle descendre ? ». Cette différence commande tout le reste. Une flèche est un déplacement que l'on peut aller mesurer avec un fil tendu et une règle : la calculer sur des charges majorées reviendrait à annoncer un déplacement qui ne se produira jamais. Je retiens donc les charges à leur valeur réelle."
- Ce que je cherche : La charge sous laquelle la poutre se déformera réellement en exploitation, et non une charge conventionnelle de dimensionnement.
- Ce que je retiens : La combinaison caractéristique, qui additionne les actions permanentes et l'action variable dominante sans les minorer. C'est celle qui convient à un état limite dont les conséquences seraient irréversibles.
- Ce que je vérifie : L'homogénéité. Les deux charges sont linéiques et exprimées dans la même unité : leur addition est directe.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Les règles de calcul distinguent deux familles de vérifications. L'état limite ultime protège contre la ruine : on y majore les charges pour couvrir des situations défavorables que l'on n'observera probablement jamais. L'état limite de service protège contre l'inconfort, le désordre et l'aspect : on y prend les charges telles qu'elles se produiront, puisque c'est un comportement réel que l'on cherche à prédire.
Une seule relation est nécessaire : la combinaison caractéristique de service, qui se réduit ici à une somme, une seule action variable étant présente.
Combinaison caractéristique de service :Elle donne la charge à retenir pour prédire un déplacement réellement observable.
L'établissement part de la forme générale de la combinaison caractéristique, qui additionne les actions permanentes, l'action variable dominante et les actions variables d'accompagnement. Deux simplifications successives la réduisent au cas traité. La première vient de l'EN 1990 § 6.5.1(1)P : les coefficients partiels des actions valent l'unité en service, et disparaissent donc de l'écriture. La seconde vient du chargement lui-même : une seule action variable étant présente, la somme des actions d'accompagnement est vide et le terme en \( \psi_0 \) s'annule. Il ne reste qu'une addition.
- \( q_{\text{ser}} \) : charge linéique de service, combinaison caractéristique, unité : kN/m
- \( G \) : charge permanente linéique caractéristique, unité : kN/m
- \( Q \) : charge d'exploitation linéique caractéristique, unité : kN/m
"Calculer la flèche sous la charge de calcul de l'état limite ultime, \( 1{,}35\,G + 1{,}50\,Q = 7{,}185 \text{ kN/m} \), au lieu de la charge de service."
- Pourquoi les coefficients n'ont pas lieu d'être : Un coefficient partiel majore une charge pour couvrir la probabilité qu'elle soit dépassée — précaution qui a un sens face à une ruine, dont les conséquences sont irréversibles et graves. Une flèche, elle, se mesure : la majorer revient à annoncer un déplacement qui ne se produira pas. L'EN 1990 § 6.5.1(1)P fixe d'ailleurs explicitement ces coefficients à 1,00 en service.
- Ce que l'erreur change numériquement : La flèche calculée passerait de 15,50 à 21,84 mm, la déformée étant proportionnelle à la charge. Le taux d'utilisation annoncé serait 0,819 au lieu de 0,581 : la marge réelle serait sous-estimée de 41 %. Le verdict resterait favorable ici, mais un projet légèrement plus tendu serait déclaré non conforme à tort, et une section plus lourde imposée sans nécessité.
- Comment on l'évite : En se demandant, avant chaque vérification, ce que l'on cherche à prédire : une ruine, qui appelle des charges majorées, ou un comportement observable, qui appelle des charges réelles.
Exécution de la Note de Calculs
- Les deux charges sont linéiques et exprimées en kilonewtons par mètre : leur addition est directe.
- Les coefficients partiels sont sans dimension et valent l'unité : ils ne modifient ni la valeur ni l'unité.
- La charge de service s'exprime donc en kilonewtons par mètre.
La charge de service est établie par somme des deux actions, prises à leur valeur caractéristique.
1. Résolution Numérique Calcul de la charge linéique de servicePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge qui produira le déplacement réel de la poutre, et donc la seule qui puisse être introduite dans le calcul de la flèche.
On additionne la charge permanente et la charge d'exploitation, toutes deux prises à leur valeur caractéristique, sans coefficient.
- Données employées : \( G = 3{,}10 \text{ kN/m} \) et \( Q = 2{,}00 \text{ kN/m} \).
- Coefficients appliqués : Aucun. L'EN 1990 § 6.5.1(1)P fixe implicitement les coefficients partiels des actions à 1,00 en service, et une seule action variable étant présente, aucun coefficient \( \psi_0 \) n'intervient.
La poutre supporte 5,10 kN par mètre linéaire en service, soit un peu plus d'une demi-tonne par mètre. Cet ordre de grandeur est cohérent avec une passerelle métallique légère recevant du public : une valeur de quelques dixièmes de kilonewton par mètre trahirait un oubli de charge, une valeur de plusieurs dizaines relèverait d'un ouvrage routier.
- Comparaison à la charge de calcul ultime : \( 1{,}35 \times 3{,}10 + 1{,}50 \times 2{,}00 = 7{,}185 \text{ kN/m} \), soit 41 % de plus. La charge de service est bien inférieure, comme elle doit l'être.
- Composition de la charge : \( 2{,}00/5{,}10 = 0{,}392 \) : la part variable atteint 39 % du total. La flèche dépendra donc sensiblement de l'affluence sur la passerelle.
Remarque pédagogique : Cette part variable élevée n'est pas anodine pour la suite. Elle signifie que la passerelle vide et la passerelle chargée ne présenteront pas la même déformée, et que la différence entre les deux — la part de flèche imputable aux piétons — est une grandeur distincte de la flèche totale. Cette distinction sera reprise au moment de la vérification.
"Le catalogue du producteur donne deux moments quadratiques pour le même profilé, et ils diffèrent d'un facteur considérable. Je dois choisir celui qui correspond au plan dans lequel la poutre fléchit. Ensuite viendra une conversion d'unités qui n'a rien d'anodin : le catalogue raisonne en centimètres, la formule de la flèche en mètres, et l'écart porte sur une puissance quatre."
- Ce que je cherche : Le moment quadratique par rapport à l'axe autour duquel la section tourne lorsque la poutre fléchit verticalement.
- Ce que je choisis : L'axe horizontal de la section, celui autour duquel les semelles sont les plus éloignées. C'est lui qui donne le grand moment quadratique.
- Ce que je surveille : L'exposant de la conversion. Un centimètre vaut \( 10^{-2} \) mètre, mais un centimètre puissance quatre vaut \( 10^{-8} \) mètre puissance quatre.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La rigidité d'une poutre en flexion ne dépend pas seulement de la quantité de matière, mais de sa répartition autour de l'axe de rotation de la section. Une même quantité d'acier disposée loin de cet axe résiste bien mieux que ramassée près de lui. Le moment quadratique quantifie cette répartition : chaque élément de matière y compte proportionnellement au carré de sa distance à l'axe.
Une seule relation est nécessaire, celle qui convertit une puissance quatre de longueur d'une unité à l'autre.
Conversion d'un moment quadratique :Elle transforme la valeur du catalogue en une valeur utilisable dans la formule de la flèche.
Un moment quadratique est homogène à une longueur à la puissance quatre. Chaque changement d'unité de longueur se répercute donc quatre fois : passer du centimètre au mètre divise par dix mille à chaque puissance, soit par cent millions au total.
- \( I_y \) : moment quadratique par rapport à l'axe fort, unité : m⁴
- \( \text{cm}^4 \) : unité du catalogue de produits sidérurgiques, unité : cm⁴
"Retenir le moment quadratique de l'axe faible, \( I_z = 603{,}7 \text{ cm}^4 \), au lieu de celui de l'axe fort."
- Comment on identifie le bon axe : La poutre fléchit dans le plan vertical : sa section tourne autour de l'axe horizontal. C'est donc le moment quadratique par rapport à cet axe qui intervient — celui autour duquel les semelles, qui portent l'essentiel de la matière, sont les plus éloignées.
- Ce que l'erreur change numériquement : Le rapport des deux moments quadratiques vaut \( 8356/603{,}7 = 13{,}8 \). La flèche calculée passerait donc de 15,50 à environ 214 mm, soit \( L/37 \). La poutre serait déclarée totalement inapte au service et remplacée par un profilé démesuré, alors qu'elle satisfait le critère avec 42 % de marge.
- Comment on la détecte : Par l'ordre de grandeur. Une flèche de 214 mm sur 8,00 m de portée serait visible à l'œil nu et rendrait la passerelle impraticable : aucun profilé retenu à l'issue d'un dimensionnement à la résistance ne peut conduire à un tel déplacement. Un résultat de cette ampleur signale toujours une erreur d'inertie ou d'unité.
Exécution de la Note de Calculs
- Le moment quadratique du catalogue est exprimé en centimètres puissance quatre.
- Un centimètre vaut \( 10^{-2} \) mètre, donc un centimètre puissance quatre vaut \( 10^{-8} \) mètre puissance quatre.
- Le résultat de la conversion s'exprime en mètres puissance quatre, unité de la formule de la flèche.
- Le module d'élasticité devra pareillement être exprimé en pascals, soit en newtons par mètre carré.
Le moment quadratique de l'axe fort est converti dans le système international, seul dans lequel la formule de la flèche est cohérente.
1. Résolution Numérique Conversion du moment quadratique en mètres puissance quatrePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la formule de la flèche fait intervenir le module d'élasticité en pascals, c'est-à-dire en newtons par mètre carré : toutes les longueurs doivent alors être en mètres, faute de quoi le résultat serait faux d'un facteur cent millions.
On multiplie la valeur du catalogue par \( 10^{-8} \), facteur de conversion d'un centimètre puissance quatre en mètre puissance quatre.
- Donnée employée : \( I_y = 8\,356 \text{ cm}^4 \), moment quadratique du profilé par rapport à l'axe fort, lu au catalogue du producteur.
- Écriture retenue : La notation scientifique est préférée à l'écriture décimale : elle rend l'exposant visible et supprime le risque d'erreur de comptage des zéros.
Le moment quadratique vaut \( 8{,}356 \times 10^{-5} \) m⁴. Cet ordre de grandeur, de quelques dizaines de millionièmes de mètre puissance quatre, est caractéristique d'un profilé laminé de trois cents millimètres de hauteur.
- Contrôle de l'exposant : \( 8356 \times 10^{-8} = 8{,}356 \times 10^{-5} \) : le déplacement de la virgule de trois rangs compense exactement la réduction de l'exposant de trois unités.
- Écart entre les deux axes : \( 8356/603{,}7 = 13{,}8 \). La même quantité d'acier est 13,8 fois plus efficace lorsqu'elle fléchit autour de l'axe fort : c'est toute la raison d'être de la forme en I.
Remarque pédagogique : Cette conversion est le point du calcul où se logent le plus d'erreurs d'ordre de grandeur, et elle mérite d'être isolée dans un bloc distinct plutôt que d'être glissée dans l'application numérique finale. Une conversion faite « au passage » dans une formule à cinq facteurs est presque impossible à relire.
"Tous les termes sont réunis. Je vais calculer la flèche totale, mais je veux aussi séparer ce qui revient aux charges permanentes de ce qui revient aux piétons : la première part est là en permanence et peut être compensée par une contreflèche à la fabrication, la seconde apparaît et disparaît avec l'affluence. Ce sont deux grandeurs de natures différentes, et le critère de flèche ne porte pas nécessairement sur la même."
- Ce que je cherche : Le déplacement vertical maximal de la poutre, atteint à mi-portée, sous la charge de service.
- Ce que j'exploite : La linéarité du comportement. La flèche étant proportionnelle à la charge, chaque nature de charge produit sa propre part, et ces parts s'additionnent exactement.
- Ce que je vérifie : La dimension de l'expression avant toute application numérique : elle doit produire une longueur.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Sous une charge uniforme, une poutre sur deux appuis simples prend une déformée dont le déplacement est nul aux appuis et maximal à mi-portée. L'expression de ce maximum s'obtient en intégrant deux fois l'équation de la ligne élastique, ce qui fait apparaître un coefficient numérique et une portée à la puissance quatre.
L'expression de la flèche n'est pas posée d'emblée : elle est établie en quatre temps, du moment fléchissant à la valeur du déplacement au milieu de la travée. Chaque étape fait apparaître une grandeur nouvelle, et occupe donc son propre bloc.
Étape 1 — Moment fléchissant le long de la travée :Il décrit la sollicitation en chaque section : c'est le point de départ obligé de toute recherche de déformée.
On coupe la poutre à une abscisse \( x \) quelconque et l'on fait le bilan des moments des forces situées à gauche de la coupure. Deux forces s'y trouvent : la réaction d'appui, qui vaut \( qL/2 \) par symétrie du chargement et dont le bras de levier est \( x \) ; et la part de charge répartie déjà rencontrée, qui vaut \( qx \) et dont la résultante s'applique au milieu de la longueur chargée, soit à \( x/2 \) de la coupure. Le moment fléchissant est la différence de leurs moments.
- \( M(x) \) : moment fléchissant à l'abscisse x, unité : N·m
- \( q \) : charge uniformément répartie, unité : N/m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
- \( x \) : abscisse mesurée depuis l'appui gauche, unité : m
Elle relie la courbure de la déformée au moment fléchissant, et ouvre la voie au calcul du déplacement.
Lorsqu'une poutre fléchit, ses fibres supérieures se raccourcissent et ses fibres inférieures s'allongent : la section tourne. En écrivant que la déformation d'une fibre située à la distance \( v \) de l'axe neutre vaut \( \sigma/E \) et que la contrainte y vaut \( M v/I \), on obtient une courbure proportionnelle au moment et inversement proportionnelle à la rigidité de flexion. Pour de petits déplacements, cette courbure se confond avec la dérivée seconde de la déformée : c'est l'équation ci-dessous, dont le signe traduit le sens de l'axe vertical retenu.
- \( y(x) \) : déplacement vertical de la fibre moyenne, unité : m
- \( E \) : module d'élasticité du matériau, unité : Pa
- \( I \) : moment quadratique de la section, unité : m⁴
- \( M(x) \) : moment fléchissant établi à l'étape précédente, unité : N·m
Elle donne le déplacement en tout point de la travée, une fois les constantes d'intégration fixées par les appuis.
Intégrer une première fois donne la pente de la déformée, à une constante près ; intégrer une seconde fois donne le déplacement, à une seconde constante près. Ces deux constantes se déterminent par les conditions d'appui : le déplacement est nul en \( x = 0 \) et en \( x = L \). La première condition annule la constante du second degré, la seconde fixe celle du premier. On obtient alors l'expression ci-dessous, valable sur toute la travée.
- \( y(x) \) : déplacement vertical à l'abscisse x, unité : m
- \( q \) : charge uniformément répartie, unité : N/m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
- \( E\,I \) : rigidité de flexion de la poutre, unité : N·m²
Elle donne le déplacement vertical maximal en fonction du chargement, de la portée et de la rigidité de flexion.
Le chargement étant symétrique, la déformée l'est aussi et son maximum se situe nécessairement à mi-portée. Il suffit donc de substituer \( x = L/2 \) dans l'expression établie à l'étape précédente. Les trois termes de la parenthèse deviennent \( L^4/16 \), \( -L^4/4 \) et \( L^4/2 \) ; réduits au même dénominateur, ils valent \( (1 - 4 + 8)\,L^4/16 \), soit \( 5L^4/16 \). Le produit par \( 1/24 \) fait alors apparaître le coefficient \( 5/384 \), qui n'a donc rien d'arbitraire : il est le résultat de cette réduction.
- \( w \) : flèche maximale à mi-portée, unité : m
- \( q \) : charge uniformément répartie, exprimée en newtons par mètre, unité : N/m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
- \( E \) : module d'élasticité de l'acier, exprimé en pascals, unité : Pa
- \( I \) : moment quadratique de l'axe de flexion, unité : m⁴
"Écrire la portée au cube au lieu de la puissance quatre, par confusion avec les expressions de rotation ou d'effort."
- Ce que l'erreur change numériquement : Avec un cube, la flèche vaudrait \( 15{,}50/8{,}00 = 1{,}94 \text{ mm} \), soit huit fois moins. Cette valeur ne choque pas : elle correspondrait à une poutre très rigide, et le critère serait déclaré satisfait avec une marge apparente de 93 %. Une poutre réellement sous-dimensionnée pourrait ainsi être validée.
- Comment on la détecte : Par l'analyse dimensionnelle, sans aucune connaissance du problème. \( q\,L^4/(E\,I) \) est homogène à \( (\text{N/m}) \times \text{m}^4 / ((\text{N/m}^2) \times \text{m}^4) \), soit des mètres. Avec un cube, la même analyse donne un nombre sans dimension : le résultat ne peut alors pas être une flèche.
- Comment on l'évite : En contrôlant la dimension de l'expression avant d'y introduire le moindre nombre. Ce contrôle prend quelques secondes et discrimine sans ambiguïté les deux écritures.
Exécution de la Note de Calculs
- La charge est convertie de kilonewtons par mètre en newtons par mètre : \( 5{,}10 \text{ kN/m} = 5100 \text{ N/m} \).
- Le module d'élasticité est converti de mégapascals en pascals : \( 210\,000 \text{ MPa} = 210 \times 10^9 \text{ Pa} \).
- Le moment quadratique est déjà en mètres puissance quatre.
- Le résultat sort en mètres, puis est converti en millimètres par multiplication par mille.
La flèche totale est calculée d'abord, puis convertie en millimètres, et enfin décomposée pour isoler la part due aux seules charges d'exploitation.
1. Résolution Numérique Calcul de la flèche totale à mi-portéePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le déplacement que prendra effectivement la poutre lorsque la passerelle sera pleine, et la grandeur que l'on pourrait mesurer lors d'un essai de réception.
On applique l'expression en introduisant toutes les grandeurs dans le système international : la charge en newtons par mètre, la portée en mètres, le module d'élasticité en pascals et le moment quadratique en mètres puissance quatre.
- Données employées : \( q_{\text{ser}} = 5100 \text{ N/m} \), \( L = 8{,}00 \text{ m} \), \( E = 210 \times 10^9 \text{ Pa} \) et \( I_y = 8{,}356 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \).
- Ordre des opérations : Le dénominateur est regroupé en une seule valeur avant la division finale, ce qui rend le calcul relisible et permet de le réutiliser pour la décomposition.
La poutre descend de quinze millièmes de mètre au milieu de sa portée. Le résultat est exprimé en mètres, unité du système international dans lequel le calcul a été conduit, et sera converti en millimètres au bloc suivant pour être exploitable.
- Contrôle dimensionnel : Le numérateur est en \( \text{N} \cdot \text{m}^3 \) et le dénominateur en \( \text{N} \cdot \text{m}^2 \) : leur quotient est bien une longueur.
- Rigidité de flexion : \( 210 \times 10^9 \times 8{,}356 \times 10^{-5} = 1{,}755 \times 10^7 \) N·m². C'est cette valeur unique qui résume l'opposition de la poutre à la déformation.
Remarque pédagogique : Le module d'élasticité employé est celui de l'acier de construction, indépendant de la nuance. Une poutre en acier à haute limite d'élasticité, de section identique, présenterait exactement la même flèche : la nuance décide de la résistance, jamais de la rigidité. C'est la raison pour laquelle une vérification de déformée ne se résout pas en changeant de nuance, mais en changeant de section.
Conversion de la flèche en millimètresPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le mètre n'est pas une unité parlante pour un déplacement de structure : les tolérances de montage, les critères de confort et les mesures de réception s'expriment tous en millimètres.
On multiplie le résultat en mètres par mille.
- Donnée employée : \( w = 0{,}01550 \text{ m} \) du bloc précédent.
- Précision retenue : Deux décimales en millimètres, précision très supérieure à celle d'une mesure de réception mais cohérente avec les données du calcul.
La poutre fléchit de 15,50 mm au milieu de sa portée, soit environ un centimètre et demi. C'est un déplacement qu'un œil attentif peut percevoir en visant le long de la passerelle, mais qui reste modéré pour un ouvrage de cette envergure.
- Rapport à la portée : \( 15{,}50/8000 = 1/516 \). La poutre fléchit d'un cinq-cent-seizième de sa portée, ordre de grandeur usuel pour une structure métallique correctement dimensionnée.
- Sensibilité à la portée : La flèche variant comme la puissance quatre de la portée, une passerelle de 9,00 m au lieu de 8,00 m fléchirait de \( 15{,}50 \times 1{,}60 = 24{,}8 \text{ mm} \), soit 60 % de plus pour 12,5 % de portée supplémentaire.
Remarque pédagogique : Une flèche de cet ordre peut être compensée à la fabrication par une contreflèche : la poutre est cintrée vers le haut d'une valeur voisine de la flèche due aux charges permanentes, de sorte qu'elle se retrouve rectiligne une fois l'ouvrage achevé. Cette pratique ne dispense pas de la vérification, mais elle explique que la part permanente et la part variable de la flèche soient traitées séparément.
Calcul de la flèche due aux seules charges d'exploitationPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette part est celle qui apparaît et disparaît avec l'affluence : c'est elle que l'usager perçoit comme un mouvement, et c'est sur elle que portent certains critères de flèche.
On applique la même expression en n'y introduisant que la charge d'exploitation, le comportement étant linéaire et les effets des charges donc additifs.
- Donnée employée : \( Q = 2000 \text{ N/m} \), la portée et la rigidité de flexion restant inchangées.
- Justification de la décomposition : Le comportement étant élastique, la flèche est proportionnelle à la charge : les parts calculées séparément s'additionnent exactement.
La part de flèche due aux piétons vaut 6,08 mm, soit 39 % de la flèche totale — exactement la proportion que la charge d'exploitation représente dans la charge de service, ce qui confirme la linéarité du comportement.
- Contrôle d'additivité : La part permanente vaut \( 15{,}50 - 6{,}08 = 9{,}42 \text{ mm} \). La somme des deux parts restitue bien la flèche totale.
- Proportionnalité vérifiée : \( 6{,}08/15{,}50 = 0{,}392 \), soit exactement le rapport \( 2{,}00/5{,}10 \) des charges. Le comportement est bien linéaire.
Remarque pédagogique : La distinction entre ces deux parts n'est pas académique. La part permanente est présente en permanence et peut être compensée par une contreflèche ; la part variable, elle, constitue le mouvement que l'usager ressent lorsqu'un groupe s'engage sur la passerelle. Selon la préoccupation retenue au projet — aspect de l'ouvrage ou confort de marche — le critère de flèche portera sur l'une ou sur l'autre.
"Il me reste à confronter le déplacement calculé à une limite. Et c'est ici qu'il faut être précis : contrairement à une résistance, cette limite n'est pas donnée par le règlement de calcul. Celui-ci demande que le critère soit défini pour le projet et convenu avec le maître d'ouvrage. Un rapport comme \( L/300 \) ne devient un critère complet qu'une fois précisée la grandeur sur laquelle il porte."
- Ce que je cherche : La valeur numérique du critère et le taux d'utilisation de la poutre vis-à-vis de celui-ci.
- Ce que je précise : La grandeur sur laquelle le critère porte. Le projet a retenu la flèche totale sous combinaison caractéristique, lecture la plus sévère des deux usuelles.
- Ce que je vérifie : L'homogénéité des unités. La portée doit être exprimée en millimètres avant d'appliquer le rapport, faute de quoi la limite sortirait en mètres.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Une résistance est une propriété du matériau et de la section : elle se calcule, et le règlement en fixe les règles. Un critère de service est d'une autre nature : il traduit ce que le maître d'ouvrage et l'usage attendent de l'ouvrage. Le règlement de calcul organise donc la vérification sans en fixer le seuil.
Deux relations sont mobilisées : celle qui traduit le rapport en une valeur numérique, puis celle qui exprime le taux d'utilisation.
Valeur numérique du critère de flèche :Elle transforme le rapport convenu au projet en un déplacement limite exprimé en millimètres.
Un critère de flèche s'exprime en fraction de la portée parce que la perception d'une déformation est relative : quinze millimètres sur huit mètres passent inaperçus, les mêmes quinze millimètres sur un mètre seraient spectaculaires. Rapporter la flèche à la portée rend le critère transposable d'un ouvrage à l'autre.
- \( w_{\text{lim}} \) : flèche limite convenue au projet, unité : mm
- \( L \) : portée entre appuis, exprimée en millimètres, unité : mm
Il exprime la part de la flèche admissible effectivement consommée.
Rapporter la flèche calculée à la flèche limite ramène la vérification à une comparaison à l'unité, indépendante des unités employées et directement comparable d'un élément à l'autre.
- \( \text{UR} \) : taux d'utilisation vis-à-vis du critère de flèche, unité : —
- \( w \) : flèche calculée, unité : mm
- \( w_{\text{lim}} \) : flèche limite convenue au projet, unité : mm
"Présenter \( L/300 \) comme une limite imposée par le règlement de calcul, et l'appliquer sans préciser sur quelle flèche elle porte."
- Pourquoi ce n'est pas une valeur réglementaire : L'EN 1990 § A1.4.2(2) demande que les critères d'aptitude au service soient spécifiés pour chaque projet et convenus avec le maître d'ouvrage. Présenter \( L/300 \) comme imposé revient à attribuer au règlement une prescription qu'il ne contient pas, et à priver le maître d'ouvrage d'un arbitrage qui lui revient.
- Ce que l'imprécision change numériquement : Selon que le rapport porte sur la flèche totale ou sur la seule part due aux charges d'exploitation, le taux d'utilisation vaut 0,581 ou 0,228. Les deux conduisent ici au même verdict, mais l'écart est d'un facteur 2,5 : sur un projet plus tendu, la même imprécision déciderait de la conformité.
- Comment on l'évite : En faisant figurer le critère parmi les données du projet et non parmi les références normatives, et en énonçant systématiquement les deux éléments qui le composent : le rapport, et la flèche sur laquelle il porte.
Exécution de la Note de Calculs
- La portée est convertie de mètres en millimètres : \( 8{,}00 \text{ m} = 8000 \text{ mm} \).
- Le dénominateur du rapport est un nombre sans dimension : la limite sort donc en millimètres.
- Le taux d'utilisation, rapport de deux longueurs, est un nombre sans dimension.
La limite est établie en premier, puis le taux d'utilisation est calculé sur la grandeur retenue au projet.
1. Résolution Numérique Calcul de la flèche limitePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le critère est exprimé sous forme de rapport, et qu'il faut le traduire en millimètres pour le confronter au résultat du calcul.
On divise la portée, exprimée en millimètres, par le dénominateur du rapport convenu au projet.
- Donnée employée : \( L = 8000 \text{ mm} \), portée entre axes d'appuis convertie en millimètres.
- Origine du critère : Le rapport \( L/300 \) est une donnée du cahier des charges du projet, convenue avec le maître d'ouvrage conformément à l'EN 1990 § A1.4.2(2), et non une valeur tirée du règlement de calcul.
La poutre ne doit pas descendre de plus de 26,67 mm, soit un peu moins de trois centimètres, au milieu de sa portée. Rapporté à la portée, ce déplacement en représente le trois-centième : c'est cette proportion, et non la valeur absolue, qui rend le critère transposable à un ouvrage de dimensions différentes.
- Cohérence des unités : Une longueur en millimètres divisée par un nombre sans dimension donne bien une longueur en millimètres.
- Sensibilité au critère retenu : Un critère \( L/500 \), usuel pour un plancher supportant des cloisons fragiles, abaisserait la limite à 16,00 mm. La poutre le satisferait encore, mais avec seulement 3 % de marge.
Remarque pédagogique : Il serait tentant de lire ce rapport comme une pente, mais ce n'en est pas une, et l'expression de la déformée permet de le vérifier. La pente est maximale aux appuis et vaut \( q L^3/(24\,E\,I) \), tandis que la flèche vaut \( 5\,q\,L^4/(384\,E\,I) \) : leur rapport donne une pente aux appuis égale à \( 3{,}2\,w/L \). Un critère de \( L/300 \) correspond donc à une inclinaison de \( 3{,}2/300 \), soit environ un quatre-vingt-quatorzième, et non un trois-centième. Le rapport \( L/300 \) est bien une flèche relative, non une pente.
Calcul du taux d'utilisation et verdictPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la mission demande de statuer, et que le verdict s'exprime par un rapport comparé à l'unité.
On divise la flèche calculée par la flèche limite. Le projet ayant retenu un critère portant sur la flèche totale, c'est cette dernière qui figure au numérateur.
- Données employées : \( w = 15{,}50 \text{ mm} \), flèche totale sous combinaison caractéristique, et \( w_{\text{lim}} = 26{,}67 \text{ mm} \).
- Grandeur retenue : La flèche totale, et non la seule part variable. C'est la lecture la plus sévère du critère, et celle que le cahier des charges du projet a retenue.
Le taux d'utilisation s'établit à 0,581 : la poutre consomme un peu moins de six dixièmes de la déformation admissible. Le critère est donc satisfait, avec une réserve de 11,17 mm entre la flèche calculée et la limite convenue.
- Verdict : \( 0{,}581 \le 1{,}00 \) : le critère d'aptitude au service est satisfait, et la passerelle peut être réceptionnée sur ce point.
- Ce que donnerait l'autre lecture du critère : Appliqué à la seule part due aux charges d'exploitation, le taux vaudrait \( 6{,}08/26{,}67 = 0{,}228 \). Les deux lectures conduisent au même verdict ici, mais elles diffèrent d'un facteur 2,5 : le cahier des charges doit préciser laquelle s'applique.
Remarque pédagogique : Une réserve confortable sur la flèche ne clôt pas la question du confort. Une passerelle piétonne peut satisfaire tout critère de déformation statique et néanmoins présenter des vibrations inconfortables sous une marche cadencée, phénomène qui dépend de sa fréquence propre et non de sa flèche. Cette vérification est distincte et relève d'une étude dynamique propre.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
La poutre de la passerelle supporte 5,10 kN/m en service, charges prises sans majoration puisque les coefficients partiels valent l'unité à l'état limite de service. Le profilé IPE 300 présente un moment quadratique de flexion forte de \( 8{,}356 \times 10^{-5} \) m⁴ une fois converti dans le système international. La flèche à mi-portée s'établit à 15,50 mm, dont 9,42 mm dus aux charges permanentes et 6,08 mm aux charges d'exploitation. Confrontée à la limite de 26,67 mm convenue au projet, elle conduit à un taux d'utilisation de 0,581 : le critère d'aptitude au service est satisfait avec 42 % de réserve.
Deux enseignements se dégagent. Le premier tient à la nature de la vérification : une flèche est un déplacement observable, et c'est pourquoi elle se calcule sur les charges réellement attendues. Les majorer produirait un chiffre qui ne correspondrait à aucune situation — ici 21,84 mm au lieu de 15,50, soit une marge sous-estimée de 41 %. Le second, plus important, porte sur le statut du critère. Contrairement à une résistance, la limite de flèche n'est pas fixée par le règlement de calcul : celui-ci demande qu'elle soit spécifiée pour chaque projet et convenue avec le maître d'ouvrage. Un rapport isolé tel que \( L/300 \) n'est donc pas un critère complet — il faut préciser s'il porte sur la flèche totale ou sur la seule part due aux actions variables. L'écart entre les deux lectures atteint ici un facteur 2,5, avec des taux de 0,581 et 0,228 : sur un projet plus tendu, cette imprécision déciderait à elle seule de la conformité.
