Calcul de flèche d’une poutre

Comprendre le calcul de fleche d’une poutre

Dans la conception d’un petit pont piétonnier en acier, une poutre simplement appuyée de \(5\,m\) de longueur supporte une charge concentrée au centre (par exemple, le passage simultané de personnes ou le chargement ponctuel d’un élément). Avant de valider le dimensionnement, il est nécessaire de vérifier que la flèche maximale ne dépasse pas la limite admissible (souvent prescrite, par exemple, à \(\frac{L}{300}\)).

Données:

• Longueur de la poutre : \(L = 5\,\text{m}\)
• Charge concentrée appliquée au centre : \(F = 10\,\text{kN} = 10\,000\,\text{N}\)
• Module d’élasticité (acier) : \(E = 210\,\text{GPa} = 210 \times 10^9\,\text{N/m}^2\)
• Moment d’inertie de la section : \(I = 8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4\)
• Limite de flèche admissible (exemple) :
  \(\delta_{\mathrm{adm}} = \frac{L}{300} = \frac{5}{300} \approx 0,01667\,\text{m}\quad (\text{soit environ } 16,7\,\text{mm}) \)

Questions:

1. Expression théorique :
Donner la formule de la flèche maximale \(\delta_{\max}\) pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée placée en son centre.

2. Calcul numérique :
En utilisant la formule, calculer la flèche maximale de la poutre avec les données fournies.

3. Comparaison et commentaire :
Comparer la flèche calculée avec la limite admissible et indiquer si la poutre est conforme aux critères de déformation.

Correction : calcul de fleche d’une poutre

1. Calcul de la flèche maximale \(\delta_{\text{max}}\)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée placée en son centre, la déformation (flèche maximale) se calcule à partir de la formule standard en résistance des matériaux. Cette formule permet de déterminer la déformation en fonction de la charge appliquée, de la géométrie de la poutre et des propriétés du matériau (via le module d’élasticité \(E\) et le moment d’inertie \(I\)).

Formule:

La flèche maximale est donnée par :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{F\, L^3}{48\, E\, I} \]

Données:

Nous disposons des données suivantes :

• Charge appliquée : \( F = 10\,\text{kN} = 10\,000\,\text{N} \)
• Longueur de la poutre : \( L = 5\,\text{m} \)
• Module d’élasticité : \( E = 210\,\text{GPa} = 210 \times 10^9\,\text{N/m}^2 \)
• Moment d’inertie : \( I = 8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4 \)

Calcul:

Étape 1 : Calcul de \(L^3\)

\[ L^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\,\text{m}^3. \]

Étape 2 : Calcul du numérateur \(F \times L^3\)

\[ F \times L^3 = 10\,000\,\text{N} \times 125\,\text{m}^3 \] \[ = 1\,250\,000\,\text{N·m}^3. \]

Étape 3 : Calcul du dénominateur \(48 \times E \times I\)

a) Calcul de \(E \times I\):

\[ E \times I = 210 \times 10^9\,\text{N/m}^2 \times 8 \times 10^{-6}\,\text{m}^4. \]

Remarquez que :

\[ 10^9 \times 10^{-6} = 10^3. \]

Ainsi :

\[ E \times I = 210 \times 8 \times 10^3 \] \[ = 1680 \times 10^3 \] \[ = 1\,680\,000\,\text{N·m}^2. \]

b) Multiplication par 48:

\[ 48 \times (E \times I) \] \[ = 48 \times 1\,680\,000 \] \[ = 80\,640\,000\,\text{N·m}^2. \]

Étape 4 : Calcul final de \(\delta_{\text{max}}\)

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{1\,250\,000\,\text{N·m}^3}{80\,640\,000\,\text{N·m}^2} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,0155\,\text{m}. \]

La flèche maximale obtenue est donc d’environ 15,5 mm.

2. Vérification par rapport à la limite admissible

2.1 Données sur la limite admissible:

La limite de flèche admissible est définie par :

\[ \delta_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \] \[ \delta_{\text{adm}} = \frac{5}{300} \] \[ \delta_{\text{adm}} \approx 0,01667\,\text{m}, \]

ce qui correspond à environ 16,67 mm.

2.2 Comparaison et commentaire:

• Flèche calculée : \(\delta_{\text{max}} \approx 15,5\,\text{mm}\)
• Limite admissible : \(\delta_{\text{adm}} \approx 16,67\,\text{mm}\)

Conclusion :

Puisque \(15,5\,\text{mm} < 16,67\,\text{mm}\), la flèche maximale calculée est inférieure à la limite admissible. La poutre respecte donc les critères de déformation pour ce chargement.

Calcul de fleche d’une poutre

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