Calcul de flèche d’une poutre

Comprendre le calcul de fleche d’une poutre

Dans une entreprise de construction, vous êtes chargé de vérifier la résistance d’une poutre en acier utilisée dans la structure d’un petit pont piétonnier.

Données fournies :

• Matériau de la poutre : Acier, avec un module d’élasticité \(E = 210\, \text{GPa}\).
• Dimensions de la poutre : Longueur \(L = 6\, \text{m}\), largeur de la section transversale \(b = 150\, \text{mm}\), hauteur de la section transversale \(h = 300\, \text{mm}\).
• Charge uniformément répartie : \(q = 5\, \text{kN/m}\).

Questions :

1. Calculez le moment d’inertie \(I\) de la section transversale de la poutre.
2. Déterminez la flèche maximale \(\delta_{\text{max}}\) de la poutre sous l’effet de la charge répartie.
3. Évaluez si la flèche calculée est acceptable selon les normes de construction habituelles (par exemple, la flèche ne doit pas dépasser \(L/360\))

Pour comprendre le calcul du Déplacement de l’Extrémité Libre d’une poutre, cliquez sur le lien.

Correction : calcul de fleche d’une poutre

1. Calcul du Moment d’Inertie (I)

Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est donné par la formule :

\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

où \( b \) est la largeur de la section transversale et \( h \) est la hauteur. En remplaçant par les valeurs données :

• \(b = 150\, \text{mm} = 0.15\, \text{m} \quad \text{(conversion en mètres)}\)
• \(h = 300\, \text{mm} = 0.3\, \text{m}\)

\[ I = \frac{0.15 \times (0.3)^3}{12} \] \[ I = \frac{0.15 \times 0.027}{12} \] \[ I = 3.375 \times 10^{-4}\, \text{m}^4
\]

2. Détermination de la Flèche Maximale (\(\delta_{\text{max}}\))

La flèche maximale pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée aux deux extrémités:

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}
\]

En remplaçant par les valeurs données et calculées :

• \(q = 5\, \text{kN/m} = 5000\, \text{N/m} \quad \text{(conversion en Newtons)}\)
• \(L = 6\, \text{m}\)
• \(E = 210\, \text{GPa} = 210 \times 10^9\, \text{Pa} \quad \text{(conversion en Pascals)}\)
• \(I = 3.375 \times 10^{-4}\, \text{m}^4 \quad \text{(déjà calculé)}\)

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5000 \times 6^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 3.375 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5000 \times 1296}{384 \times 210 \times 10^9 \times 3.375 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{32400000}{26956800000} \] \[ \delta_{\text{max}} = 1.202 \times 10^{-3}\, \text{m} \] \[ \delta_{\text{max}} = 1.202\, \text{mm} \]

3. Évaluation de l’Acceptabilité de la Flèche

Les normes de construction habituelles stipulent que la flèche ne doit pas dépasser \( L/360 \). Pour une longueur de \( 6\, \text{m} \) :

\[ \frac{L}{360} = \frac{6}{360} = 0.0167\, \text{m} \] \[ = 16.7\, \text{mm} \]

La flèche calculée \(\delta_{\text{max}} = 1.202\, \text{mm}\) est donc largement inférieure à la limite acceptée de \( 16.7\, \text{mm} \).

Par conséquent, la flèche de la poutre est acceptable selon les normes de construction.

Calcul de fleche d’une poutre

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