Application de la Méthode des Trois Moments
Comprendre l’Application de la Méthode des Trois Moments
On considère une poutre continue en béton armé reposant sur trois appuis simples (A, B, C). Cette poutre supporte à la fois des charges uniformément réparties et des charges ponctuelles, typiquement rencontrées dans les constructions de bâtiments.
Pour comprendre le Calcul du Moment Fléchissant Maximal, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Longueurs des travées:
– \( L_{AB} = 6 \, \text{m} \)
– \( L_{BC} = 4 \, \text{m} \)
- Charges réparties:
– Sur \( AB \): \( q_{AB} = 5 \, \text{kN/m} \)
– Sur \( BC \): \( q_{BC} = 3 \, \text{kN/m} \)
- Charges ponctuelles:
– Sur \( AB \), à 2 m de l’appui A: \( P = 15 \, \text{kN} \)
– Sur \( BC \), à 1 m de l’appui B: \( P = 10 \, \text{kN} \)
Question:
Calculer les moments fléchissants aux appuis \( M_A \), \( M_B \), et \( M_C \) en utilisant la Méthode des Trois Moments.
Correction : Application de la Méthode des Trois Moments
Étape 1: Calcul des moments dus aux charges réparties
Utilisons la formule du moment dû à une charge uniformément répartie:
\[ M = \frac{qL^2}{12} \]
- Travée AB:
\[ M_{q_{AB}} = \frac{5 \times 6^2}{12} \] \[ M_{q_{AB}} = 15 \, \text{kNm} \]
- Travée BC:
\[ M_{q_{BC}} = \frac{3 \times 4^2}{12} \] \[ M_{q_{BC}} = 4 \, \text{kNm} \]
Étape 2: Calcul des moments dus aux charges ponctuelles
Appliquons la formule pour une charge ponctuelle à une distance \( a \) de l’appui le plus proche:
\[ M = \frac{P \cdot a \cdot (L-a)}{L} \]
- Travée AB (charge à 2m de l’appui A):
\[ M_{P_{AB}} = \frac{15 \times 2 \times (6-2)}{6} \] \[ M_{P_{AB}} = 20 \, \text{kNm} \]
- Travée BC (charge à 1m de l’appui B):
\[ M_{P_{BC}} = \frac{10 \times 1 \times (4-1)}{4} \] \[ M_{P_{BC}} = 7.5 \, \text{kNm} \]
Étape 3: Application de la Méthode des Trois Moments
Dans cette étape, nous allons utiliser l’équation de la Méthode des Trois Moments pour trouver les moments fléchissants aux appuis de la poutre continue.
Cette méthode est particulièrement utile pour les poutres continues sur plusieurs appuis, car elle prend en compte la continuité de la poutre à travers ses appuis intermédiaires.
Formulation de l’équation:
L’équation générale des trois moments est :
\(6M_A + 10M_B + 6M_C + (\text{Effets des charges sur AB} + \text{Effets des charges sur BC}) = 0\)
- \( M_A, M_B, \) et \( M_C \) sont les moments fléchissants aux appuis A, B, et C respectivement.
- Les coefficients \( 6 \), \( 10 \), et \( 6 \) devant les moments \( M_A \), \( M_B \), et \( M_C \) représentent le produit des longueurs des travées adjacentes à chaque appui (exprimé en mètres). Pour simplifier, ces coefficients sont souvent ajustés pour équilibrer l’équation en fonction des longueurs réelles des travées.
Calcul des effets des charges:
- Effets des charges sur AB:
\[ = (15 + 20) \times \frac{6}{2} = 105 \, \text{kNm} \]
Ici, \( 15 \, \text{kNm} \) et \( 20 \, \text{kNm} \) sont les moments dus aux charges réparties et ponctuelles sur la travée AB.
Le produit par \( \frac{6}{2} \) (où \( 6 \) est la longueur de la travée AB) divise ce total par deux pour la contribution moyenne des moments sur l’appui B.
- Effets des charges sur BC:
\[ = (4 + 7.5) \times \frac{4}{2} = 23 \, \text{kNm} \]
De manière similaire, \( 4 \, \text{kNm} \) et \( 7.5 \, \text{kNm} \) sont les moments dus aux charges sur la travée BC, avec \( \frac{4}{2} \) ajustant pour la contribution moyenne sur l’appui B.
Substitution dans l’équation principale:
En substituant ces valeurs des effets de charge et sachant que \( M_A = M_C = 0 \) (car les appuis A et C sont des appuis simples), nous obtenons :
\[ 10M_B + 105 + 23 = 0 \] \[ 10M_B + 128 = 0 \] \[ M_B = -12.8 \, \text{kNm} \]
Interprétation:
Le moment fléchissant \( M_B \) de \(-12.8 \, \text{kNm}\) indique la nature et la magnitude du moment à l’appui B nécessaire pour équilibrer les moments induits par les charges sur la poutre.
Un moment négatif signifie que le moment tend à courber la poutre dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’appui.
Résumé:
Les moments fléchissants aux appuis sont donc:
- \( M_A = 0 \, \text{kNm} \) (car A est un appui simple)
- \( M_B = -12.8 \, \text{kNm} \)
- \( M_C = 0 \, \text{kNm} \) (car C est un appui simple)
Application de la Méthode des Trois Moments
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